高中常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型案例

1、高中常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型案例中華人民共和國(guó)教育部2003年4月制定的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容”，“數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力?！苯滩闹谐Ｒ?jiàn)模型有如下幾種:一、函數(shù)模型用函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的、最常用的方法。函數(shù)模型與方法在處理實(shí)際問(wèn)題中的廣泛運(yùn)用，兩個(gè)變量或幾個(gè)變量，凡能找到它們之間

2、的聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)，建立起一個(gè)函數(shù)關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），然后運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，這些都屬于函數(shù)模型的范疇。1、正比例、反比例函數(shù)問(wèn)題例1：某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利銷(xiāo)售后仍可獲得售價(jià)25%的純利，則此商人經(jīng)營(yíng)者中貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系是_。分析：欲求貨物數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是要弄清原價(jià)、進(jìn)價(jià)、新價(jià)之間的關(guān)系。若設(shè)新價(jià)為b，則售價(jià)為b（120%），因?yàn)樵瓋r(jià)為a，所以進(jìn)價(jià)為a（125）解：依題意，有化簡(jiǎn)得，所以，即2、一次函數(shù)問(wèn)題 例2：某人開(kāi)汽車(chē)以60km/h的速度從A地到150km

3、遠(yuǎn)處的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽車(chē)離開(kāi)A地的路x（km）表示為時(shí)間t（h）的函數(shù)，并畫(huà)出函數(shù)的圖像。分析：根據(jù)路程速度×時(shí)間，可得出路程x和時(shí)間t得函數(shù)關(guān)系式x（t）；同樣，可列出v(t)的關(guān)系式。要注意v(t)是一個(gè)矢量，從B地返回時(shí)速度為負(fù)值，重點(diǎn)應(yīng)注意如何畫(huà)這兩個(gè)函數(shù)的圖像，要知道這兩個(gè)函數(shù)所反映的變化關(guān)系是不一樣的。解：汽車(chē)離開(kāi)A地的距離x km與時(shí)間t h之間的關(guān)系式是：，圖略。速度vkm/h與時(shí)間t h的函數(shù)關(guān)系式是：，圖略。3、二次函數(shù)問(wèn)題 例3：有L米長(zhǎng)的鋼材，要做成如圖所示的窗架，上半部分為半圓，下半部分為六個(gè)全等小矩形組成的矩形，

4、試問(wèn)小矩形的長(zhǎng)、寬比為多少時(shí)，窗所通過(guò)的光線最多，并具體標(biāo)出窗框面積的最大值。解：設(shè)小矩形長(zhǎng)為x，寬為y，則由圖形條件可得：要使窗所通過(guò)的光線最多，即要窗框面積最大，則： 當(dāng)時(shí)，即： 此時(shí)窗框面積S有最大值。可見(jiàn)，一般的設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問(wèn)題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其它相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。二、數(shù)列模型數(shù)列模型有增長(zhǎng)率問(wèn)題和銀行中的儲(chǔ)蓄與貸款問(wèn)題。在高一年級(jí)教材中就有這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，下面以一個(gè)例題來(lái)分析銀行中的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。例4：某銀行設(shè)立了教育助學(xué)貸款，其中規(guī)定一年期以上貸款月

5、均等額還本付息，如果貸款10000元，兩年還清，月利率為0.4575，那么每月應(yīng)還多少錢(qián)呢？分析與假設(shè)：按照規(guī)定，償還貸款既要償還本金，還要支付利息。在上述問(wèn)題中，到貸款兩年（即24個(gè)月）付清時(shí)，10000元貸款的本金與它的利息之和是多少呢？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)填表來(lái)回答： 10000元貸款的本金（元）與它的利息之和1個(gè)月后 2個(gè)月后 3個(gè)月后 23個(gè)月后 24個(gè)月后 通過(guò)對(duì)例子的分析，與學(xué)生交流使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：到期償還貸款的含義即各月所付款連同到貸款付清時(shí)所生利息之和，等于貸款本金及到貸款付清時(shí)的利息之和，計(jì)算每月應(yīng)付款額?？梢园l(fā)現(xiàn)，上述等式是一個(gè)關(guān)于

6、x的一次方程，且等號(hào)左邊括號(hào)內(nèi)是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為1.004575的等比數(shù)列的前24項(xiàng)的和，于是：即解之得提出問(wèn)題：如果采用上述分期付款方式貸款a元，m個(gè)月將款全部付清，月利率為r，那么每月付款款額的計(jì)算公式是什么？ 顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為建立關(guān)于x的方程。設(shè)采用分期付款方式貸a元，m個(gè)月將款全部付清，月利率為r，每月付款x元，那么：把右邊求和，得，所以：萬(wàn)元。 三、初等概率模型古典概率不僅要求基本實(shí)踐的出現(xiàn)具有等可能性，而且要求樣本空間為有限集，但實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常會(huì)碰到無(wú)限樣本空間的情形，對(duì)于無(wú)限樣本空間的情形，常可轉(zhuǎn)化為幾何概率來(lái)解決。例5：將n個(gè)球隨機(jī)地放入n個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子恰有一個(gè)球的

7、概率。分析與求解：因?yàn)槊恳粋€(gè)球都可以放進(jìn)n個(gè)盒子中的任一個(gè)盒子，共有n種不同的放法，n個(gè)球放進(jìn)n個(gè)盒子就有n×n××n=種不同的放法，而每種放法就是樣本空間中的一個(gè)元素，所以樣本空間中元素的總數(shù)為個(gè)?，F(xiàn)在來(lái)求每個(gè)盒子恰有一個(gè)球時(shí)，球的不同放法的種數(shù)。 第一個(gè)球可以放進(jìn)n個(gè)盒子之一，有n種放法；第二個(gè)球只能放進(jìn)余下的（n-1）個(gè)盒子之一，有（n-1）種放法，最后一個(gè)球只可以放進(jìn)唯一余下的盒子，所以n個(gè)球放進(jìn)n個(gè)盒子中要使每個(gè)盒子中都恰有一個(gè)球，共有種不同的放法，因而所求得概率為：。幾何概率所描述的隨機(jī)試驗(yàn)滿足：試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)可度量的幾何區(qū)域（這個(gè)區(qū)域可以是一維

8、、二維甚至n維）；試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點(diǎn)落入某一個(gè)可度量的子集A的可能性與A的幾何測(cè)度成正比，而與A的形狀及位置無(wú)關(guān)。如下面的例子“會(huì)面問(wèn)題”是幾何概率的典型例子。例7：兩位網(wǎng)友相約見(jiàn)面，約定在下午4:00到5:00之間在某一街角相會(huì)，他們約好當(dāng)其中一人先到后，一定要等另一人20分鐘，若另一人仍不到則離去，試問(wèn)這兩位朋友能相遇的概率為多少？（假定他們到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間是隨機(jī)的，且都在約定的一小時(shí)內(nèi)）解：以x、y分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻，則兩人相遇必須滿足下列條件：xy20，兩人到達(dá)時(shí)刻的所有可能結(jié)果可用邊長(zhǎng)為60的正方形區(qū)域上的任意點(diǎn)（x，y）表示，該正方形上的所有點(diǎn)的集合構(gòu)成了樣本空間。如下圖的陰影部分（滿足不等式xy20的點(diǎn)的集合）表示“兩人能相遇”這一事件的概率應(yīng)等于圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比。通過(guò)這一段的研究，筆