（整理版）　幾何證明選講

1、74幾何證明選講(二)直線與圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論；2.理解圓的切線的判定及性質(zhì)定理；3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理；4.理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定自主梳理1圓周角、弦切角及圓心角定理(1)_的度數(shù)等于其的對(duì)_的度數(shù)的一半推論1：_(或_)所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角_相等推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的_等于90°.反之，90°的圓周角所對(duì)的弧是_(或_)(2)弦切角的度數(shù)等于其所夾孤的度數(shù)的_(3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)2圓中比例線段有關(guān)定理(1)相交弦定理：_的兩條_，每條弦被交點(diǎn)分成的_的積

2、相等(2)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的_(3)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條_，該點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等溫馨提示相交弦定理，切割線定理，割線定理揭示了與圓有關(guān)的線段間的比例關(guān)系，在與圓有關(guān)的比例線段問(wèn)題的證明、計(jì)算以及證明線段或角相等等問(wèn)題中應(yīng)用甚廣3切線長(zhǎng)定理從_一點(diǎn)引圓的兩條切線，_相等4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角_推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)角的_(2)判定定理：如果四邊形的_，那么四邊形內(nèi)接于_推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的_，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂

3、點(diǎn)_5圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的_推論1：經(jīng)過(guò)_且_與垂直的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)推論2：經(jīng)過(guò)_且切線與垂直的直線必經(jīng)過(guò)_(2)判定定理：過(guò)半徑_且與這條半徑_的直線是圓的切線自我檢測(cè)1如圖在rtabc中，b90°，d是ab上一點(diǎn)，且ad2db，以d為圓心，db為半徑的圓與ac相切，那么sin a_.2(·南京模擬)如圖，ab是圓o的直徑，ef切圓o于c，adef于d，ad2，ab6，那么ac長(zhǎng)為_(kāi)3(·湖南)如圖，a，e是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑bc4，adbc，垂足為d，be與ad相交于點(diǎn)f，那么af的長(zhǎng)為_(kāi)4如下圖，ab是o

4、的直徑，bc是o的切線，ac交o于點(diǎn)d，假設(shè)ad32，cd18，那么ab_.5(·揭陽(yáng)模擬)如圖，p是o外一點(diǎn)，pd為o的切線，d為切點(diǎn)，割線pef經(jīng)過(guò)圓心o，pf12，pd4，那么圓o的半徑長(zhǎng)為_(kāi)、efd的度數(shù)為_(kāi).探究點(diǎn)一與圓有關(guān)的等角、等弧、等弦的判定例1 如圖，o的兩條弦ac，bd互相垂直，oeab，垂足為點(diǎn)e.求證：oecd.變式遷移1 在abc中，cm是acb的平分線，amc的外接圓o交bc于點(diǎn)n；假設(shè)acab，求證：bn3mn.探究點(diǎn)二四點(diǎn)共圓的判定例2 如圖，四邊形abcd中，ab、dc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)e，ad，bc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)f，aed，afb的角平分線交于點(diǎn)m，且

5、emfm.求證：四邊形abcd內(nèi)接于圓變式遷移2 如圖，ap是o的切線，p為切點(diǎn)，ac是o的割線，與o交于b、c兩點(diǎn)，圓心o在pac的內(nèi)部，點(diǎn)m是bc的中點(diǎn)(1)證明：a，p，o，m四點(diǎn)共圓；(2)求oamapm的大小探究點(diǎn)三與圓有關(guān)的比例線段的證明例3 如圖，pa切o于點(diǎn)a，割線pbc交o于點(diǎn)b，c，apc的角平分線分別與ab，ac相交于點(diǎn)d，e，求證：(1)adae；(2)ad2db·ec.變式遷移3 (·全國(guó))如圖，圓上的弧，過(guò)c點(diǎn)的圓的切線與ba的延長(zhǎng)線交于e點(diǎn)，證明：(1)acebcd；(2)bc2be×cd.1圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時(shí)有較普

6、遍的應(yīng)用，尤其是利用定理進(jìn)行等角代換與傳遞2要注意一些常用的添加輔助線的方法，假設(shè)證明直線與圓相切，那么連結(jié)直線與圓的公共點(diǎn)和圓心證垂直；遇到直徑時(shí)，一般要引直徑所對(duì)的圓周角，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角解決有關(guān)問(wèn)題3判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過(guò)三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明4證明多點(diǎn)共圓的常用方法：(1)證明幾個(gè)點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)距離相等；(2)如果某兩點(diǎn)在某條線段的同旁，證明這兩點(diǎn)對(duì)這條線段的張角相等；(3)證明凸四邊形內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)(或外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角)5圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比

7、(總分值：75分)一、填空題(每題5分，共40分)1如圖，ab，cd是o的兩條弦，且abcd，oeab，ofcd，垂足分別是e，f，那么結(jié)論，aobcod，oeof，中，正確的有_個(gè)2(·湖南)如下圖，過(guò)o外一點(diǎn)p作一條直線與o交于a、b兩點(diǎn)pa2，點(diǎn)p到o的切線長(zhǎng)pt4，那么弦ab的長(zhǎng)為_(kāi)3(·陜西)如圖，rtabc的兩條直角邊ac，bc的長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm，以ac為直徑的圓與ab交于點(diǎn)d，那么_.4(·廣東)如圖，點(diǎn)a，b，c是圓o上的點(diǎn)，且ab4，acb45°，那么圓o的面積為_(kāi)5pa是圓o的切線，切點(diǎn)為a，pa2，ac是圓o的直徑，pc與

8、圓o交于點(diǎn)b，pb1，那么圓o的半徑r_.6如圖，圓o是abc的外接圓，過(guò)點(diǎn)c的切線交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)d，cd2，ab3.那么bd的長(zhǎng)為_(kāi)7(·天津)如圖，圓中兩條弦ab與cd相交于點(diǎn)f，e是ab延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且dfcf，affbbe421.假設(shè)ce與圓相切，那么線段ce的長(zhǎng)為_(kāi)，那么的值為_(kāi)二、解答題(共35分)9(11分)如圖，三角形abc中，abac，o經(jīng)過(guò)點(diǎn)a，與bc相切于b，與ac相交于d，假設(shè)adcd1，求o的半徑r.10(12分)(·江蘇)如圖，在四邊形abcd中，abcbad.求證：abcd.11(12分)(·江蘇)如圖，圓o1與圓o2內(nèi)切于點(diǎn)a，

9、其半徑分別為r1與r2(r1>r2)圓o1的弦ab交圓o2于點(diǎn)c(o1不在ab上)求證：abac為定值74幾何證明選講(二)直線與圓的位置關(guān)系自主梳理1(1)圓周角弧同弧等弧所對(duì)的弧圓周角半圓弦為直徑(2)一半2.(1)圓相交弦兩條線段長(zhǎng)(2)等比中項(xiàng)(3)割線3.圓外切線長(zhǎng)4.(1)互補(bǔ)對(duì)角(2)對(duì)角互補(bǔ)圓內(nèi)角的對(duì)角共圓5(1)半徑圓心切線切點(diǎn)圓心(2)外端垂直自我檢測(cè)1.解析設(shè)切點(diǎn)為t，那么dtac，ad2db2dt，a30°，sin a.22解析連接cb，那么dcacba，又adcacb90°，adcacb.ac2ab·ad2×612.ac2

10、.3.解析如圖，連接ce，ao，ab.根據(jù)a，e是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，bc為直徑，可得ceb90°，cbe30°，aob60°，故aob為等邊三角形，ad，odbd1，df，afaddf.440解析如圖，連接bd，那么bdac，由射影定理知，ab2ad·ac32×501 600，故ab40.5430°解析由切割線定理得pd2pe·pf，pe4，ef8，od4.又odpd，odpo，p30°，pod60°2efd，efd30°.課堂活動(dòng)區(qū)例1 解題導(dǎo)引(1)借用等弦或等弧所對(duì)圓周角相等，所對(duì)的

11、圓心角相等，進(jìn)行角的等量代換；同時(shí)也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(或圓心角)所對(duì)的弧相等，進(jìn)行弧(或弦)的等量代換(2)此題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的常用方法證明作直徑af，連接bf，cf，那么abfacf90°.又oeab，o為af的中點(diǎn)，那么oebf.acbd，dbcacb90°，又af為直徑，bafbfa90°，afbacb，dbcbaf，即有cdbf.從而得oecd.變式遷移1 證明cm是acb的平分線，即bcac·，又由割線定理得bm·babn·bc，bn·ac·bm·ba，

12、又acab，bn3am，在圓o內(nèi)acmmcn，ammn，bn3mn.例2 解題導(dǎo)引證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)它們?cè)谝粭l線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，那么證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)證明連接ef，因?yàn)閑m是aec的角平分線，所以fecfea2fem.同理，efcefa2efm.而bcdbadecfbad(180°fecefc)(180°feaefa)360°2(femefm)360°2(180°emf)2emf180°，即bcd與bad互補(bǔ)所以四邊形abcd內(nèi)接于圓變式

13、遷移2 (1)證明連接op，om，因?yàn)閍p與o相切于點(diǎn)p，所以opap.因?yàn)閙是o的弦bc的中點(diǎn)，所以ombc.于是opaoma180°，由圓心o在pac的內(nèi)部，可知四邊形apom的對(duì)角互補(bǔ)，所以a，p，o，m四點(diǎn)共圓(2)解由(1)得a，p，o，m四點(diǎn)共圓，所以oamopm.由(1)得opap.由圓心o在pac的內(nèi)部，可知opmapm90°，所以oamapm90°.例3 解題導(dǎo)引尋找適當(dāng)?shù)南嗨迫切危褞讞l要證的線段集中到這些相似三角形中，再用圓中角、與圓有關(guān)的比例線段的定理找到需要的比例式，使問(wèn)題得證證明(1)aedepcc，adeapdpab.因pe是apc

14、的角平分線，故epcapd，pa是o的切線，故cpab.所以aedade.故adae.(2)pcepad；paepbd.又pa是切線，pbc是割線pa2pb·pc.故，又adae，故ad2db·ec.變式遷移3 證明(1)因?yàn)椋詁cdabc.又因?yàn)閑c與圓相切于點(diǎn)c，故aceabc，所以acebcd.(2)因?yàn)閑cbcdb，ebcbcd，所以bdcecb，故，即bc2be×cd.課后練習(xí)區(qū)14解析在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)弦心距相等，故成立，又由，得，正確26解析連接bt，由切割線定理，得pt2pa·pb，所以pb8，故

15、ab6.3.解析adbd(cm)，.48解析連接oa，ob，bca45°，aob90°.設(shè)圓o的半徑為r，在rtaob中，r2r2ab216，r28.圓o的面積為8.5.解析如圖，依題意，aopa，abpc，pa2，pb1，p60°，在rtcap中，有2oa2r2tan 60°2，r.64解析由切割線定理得：db·dadc2，即db(dbba)dc2，db23db280，db4.7.解析設(shè)bea，那么af4a，fb2a.af·fbdf·fc，8a22，a，af2，fb1，be，ae.又ce為圓的切線，ce2eb·ea×.ce.8.解析pp，pcbpad，pcbpad.，.9.解過(guò)b點(diǎn)作beac交圓于點(diǎn)e，連接ae，bo并延長(zhǎng)交ae于f，由題意abcacbaeb，(2分)又beac，cababe，那么abac知，abcacbaebbae，(4分)那么aebc，四邊形