2初等模型詳解

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.4 汽車剎車距離汽車剎車距離2.5 劃艇比賽的成績(jī)劃艇比賽的成績(jī)2.6 動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重 2.7 實(shí)物交換實(shí)物交換2.8 核軍備競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽2.9 啟帆遠(yuǎn)航啟帆遠(yuǎn)航2.10 量綱分析與無(wú)量綱化量綱分析與無(wú)量綱化2.1 公平的席位分配公平的席位分配系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100

2、.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問(wèn)問(wèn)題題三個(gè)系學(xué)生共三個(gè)系學(xué)生共200名名(甲甲100，乙，乙60，丙，丙40)，代表會(huì)，代表會(huì)議共議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為席，按比例分配，三個(gè)系分別為10, 6, 4席席.因?qū)W生轉(zhuǎn)系因?qū)W生轉(zhuǎn)系, 三系人數(shù)為三系人數(shù)為103, 63, 34, 如何分配如何分配20席席?若代表會(huì)議增加若代表會(huì)議增加1席，如何分配席，如何分配21席席?比比例例加加慣慣例例對(duì)對(duì)丙丙系系公公平平嗎嗎系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲

3、 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21背背景景Hamilton (比例加慣例比例加慣例) 方法方法-1792年美國(guó)國(guó)會(huì)用于分配各州眾議員名額年美國(guó)國(guó)會(huì)用于分

4、配各州眾議員名額已知已知: m方人數(shù)分別為方人數(shù)分別為 p1, p2, pm, 記總?cè)藬?shù)為記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為待分配的總席位為N.記記 qi=Npi /P, 稱為第稱為第i方的份額方的份額(i =1,2, m) 各方先分配各方先分配qi的整數(shù)部分的整數(shù)部分qi, 總余額為總余額為miiqNN1 記記ri =qi-qi, 則第則第i方的分配名額方的分配名額ni為為其它個(gè)最大的, 1iiiiqNrqn要要求求已知份額向量已知份額向量q=(q1, , qm), 找一個(gè)整數(shù)找一個(gè)整數(shù)分配向量分配向量n=(n1, , nm), 使使n與與q最最接近接近.Hamilton

5、方法的不公平性方法的不公平性1. p1, p2, pm不變不變, N的增加會(huì)使某個(gè)的增加會(huì)使某個(gè)ni減少減少 (上例上例).2. N不變不變, pi 比比pj的增長(zhǎng)率大的增長(zhǎng)率大, 會(huì)使會(huì)使 ni減少減少 nj增加增加(例例1).3. p1, p2, pm不變不變, m增加增加1, N的增加會(huì)使某個(gè)的增加會(huì)使某個(gè)ni增加增加而某個(gè)而某個(gè)ni減少減少(例例2).pinii=110310i=2636i=3344總和總和 20020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215qi10.605.863.54 20ni116320pi10363346206qi10.506.423.470.6

6、1 21ni1163121例例1例例2“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 人數(shù)人數(shù) 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當(dāng)當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平時(shí)，分配公平 p1/n1 p2/n2 對(duì)對(duì)A的的絕對(duì)不公平度絕對(duì)不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對(duì)但后者對(duì)A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者雖二者的的絕對(duì)絕對(duì)不公平度

7、相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì)，對(duì) 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案應(yīng)公平分配方案應(yīng)使使 rA , rB 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席席, 若增加若增加1席席, 問(wèn)應(yīng)分給問(wèn)應(yīng)分給A, 還是還是B?不妨設(shè)分配開始時(shí)不妨設(shè)分配開始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)，即對(duì)A不公平不公平.),(/21222211nnrnpnpnpA 對(duì)對(duì)A的的相對(duì)不公平度相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即

8、即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義，定義1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2)應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問(wèn)：?jiǎn)枺?p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B當(dāng)當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給該席給ArA, rB的定義的定義)1()1(11212222nnpnnp該席給該席給A否則否則, 該席給該席給B, 2 , 1,)1(2innpQiii

9、i 定義定義該席給該席給Q值值較大的一方較大的一方推廣到推廣到m方方分配席位分配席位minnpQiiii,2 , 1,)1(2計(jì)算計(jì)算該席給該席給Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法 (Huntington)三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21個(gè)席位個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢席分配完畢甲系：甲系：p1=103, n1=10乙系：乙系：p2= 63, n2= 6丙系：丙系：p3= 34, n3= 3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席3 .964334, 5 .947663, 4 .961110103232

10、221QQQ第第21席席3221, 4 .801211103QQQ同上同上Q3最大，第最大，第21席給丙系席給丙系甲系甲系11席席, 乙系乙系6席席, 丙系丙系4席席Q值方法值方法分配結(jié)果分配結(jié)果公平嗎？公平嗎？Q1最大，第最大，第20席給甲系席給甲系模型的公理化研究模型的公理化研究Q值方法比值方法比“比例加慣例比例加慣例”方法更公平嗎？方法更公平嗎？席位分配的公理席位分配的公理 (1974)份額份額qi=Npi /P, 分配名額分配名額ni = ni (N, p1, , pm )已知已知p1, p2, pm , P, N1) qi ni qi+1 (i=1,2, m) 公平分配性公平分配性2

11、) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) 名額單調(diào)性名額單調(diào)性3) 若若pi車身的平均長(zhǎng)度車身的平均長(zhǎng)度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”與與“10英里英里/小時(shí)加一車身小時(shí)加一車身”規(guī)則規(guī)則不同不同剎剎車車距距離離反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間司機(jī)司機(jī)狀況狀況制動(dòng)系統(tǒng)制動(dòng)系統(tǒng)靈活性靈活性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng).車速車速常數(shù)常數(shù)反反應(yīng)應(yīng)距距離離制制動(dòng)動(dòng)距距離離常數(shù)常數(shù)假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 剎車距離剎車距離 d

12、等于反應(yīng)距離等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離與制動(dòng)距離 d2 之和之和.2. 反應(yīng)距離反應(yīng)距離 d1與車速與車速 v成正比成正比.3. 剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變作功等于汽車動(dòng)能的改變;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1為反應(yīng)時(shí)間為反應(yīng)時(shí)間21ddd且且F與車的質(zhì)量與車的質(zhì)量m成正比成正比.22kvd 反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒秒.參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k.21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.0256計(jì)算剎車距離、

13、剎車時(shí)間計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速車速(英里英里/小時(shí)小時(shí)) (英尺英尺/秒秒)實(shí)際剎車距離實(shí)際剎車距離（英尺）（英尺）計(jì)算剎車距離計(jì)算剎車距離（英尺）（英尺）剎車時(shí)間剎車時(shí)間（秒）（秒）2029.342（44）43.91.53044.073.5（78）82.51.84058.7116（124）132.12.15073.3173（186）192.22.56088.0248（268）263.83.070102.7343（372）346.53.680117.3464（506）439.54.3“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)秒準(zhǔn)則則”2210256. 075. 0vvkvvtd模模 型

14、型車速車速(英里英里/小時(shí)小時(shí))剎車時(shí)間剎車時(shí)間（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里車速（英里/小時(shí)）小時(shí)）010104040606080t（秒）（秒）12342.5 劃艇比賽的成績(jī)劃艇比賽的成績(jī)賽艇賽艇 2000米成績(jī)米成績(jī) t (分分)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇長(zhǎng)艇長(zhǎng)l 艇寬艇寬b (米米) (米

15、米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對(duì)四種賽艇對(duì)四種賽艇 (單人、雙人、四人、八人單人、雙人、四人、八人) 4次國(guó)際次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系種關(guān)系. 試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問(wèn)問(wèn)題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備調(diào)查賽艇的尺寸和重量調(diào)查賽艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不變基本不變問(wèn)題分析問(wèn)題分析 前進(jìn)阻力前進(jìn)阻力 浸沒(méi)部分與水的

16、摩擦力浸沒(méi)部分與水的摩擦力 前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)動(dòng)力 漿手的劃漿功率漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系.賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定.劃漿劃漿功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進(jìn)前進(jìn)動(dòng)力動(dòng)力前進(jìn)前進(jìn)阻力阻力漿手漿手?jǐn)?shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒(méi)浸沒(méi)面積面積 對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定. . 運(yùn)用合適的物理定律建立模型運(yùn)用合適的物理定律建立模型. .模型假設(shè)模型假設(shè)1）艇形狀相同）艇形狀相同(l/b為常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)，阻力是常數(shù)

17、，阻力 f與與 sv2成正比成正比符號(hào)：艇速符號(hào)：艇速 v, 浸沒(méi)面積浸沒(méi)面積 s, 浸沒(méi)體積浸沒(méi)體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率漿手功率 p, 漿手體重漿手體重 w, 艇重艇重 W.艇的靜態(tài)特性艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比漿手的特征漿手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績(jī)比賽成績(jī) t n 1/9np fv,模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant

18、11. 021. 7ntnbatloglog線性最小二乘法線性最小二乘法利用利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型成績(jī)對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn).tn12487.216.886.325.84與模型吻合！與模型吻合！劃艇比賽的成績(jī)劃艇比賽的成績(jī) 對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題. 利用物理基本知識(shí)分析問(wèn)題利用物理基本知識(shí)分析問(wèn)題. 模型假設(shè)比較粗糙模型假設(shè)比較粗糙. 利用合適的物理定律及簡(jiǎn)單的比例利用合適的物理定律及簡(jiǎn)單的比例方法建模方法建模(只考慮各種艇的相對(duì)速度只考慮各種艇的相對(duì)速度). 模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合

19、模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合 (巧合！巧合！)2.6 動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重背景與問(wèn)題背景與問(wèn)題 研究四足動(dòng)物軀干的長(zhǎng)度與體重的關(guān)系研究四足動(dòng)物軀干的長(zhǎng)度與體重的關(guān)系. 家畜收購(gòu)站家畜收購(gòu)站 (屠宰場(chǎng)屠宰場(chǎng)) 希望從軀干長(zhǎng)度估計(jì)體重希望從軀干長(zhǎng)度估計(jì)體重. 不陷入各種動(dòng)物生理結(jié)構(gòu)的研究不陷入各種動(dòng)物生理結(jié)構(gòu)的研究.問(wèn)題分析問(wèn)題分析 將動(dòng)物軀干將動(dòng)物軀干類比類比為圓柱形的彈性梁，四肢為為圓柱形的彈性梁，四肢為支架，借助彈性力學(xué)的已有結(jié)果進(jìn)行分析支架，借助彈性力學(xué)的已有結(jié)果進(jìn)行分析.假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 軀干為圓柱體，長(zhǎng)度軀干為圓柱體，長(zhǎng)度 l, 直徑直徑 d, 斷面面積斷面

20、面積 s.2. 圓柱體為彈性梁，四肢為支架圓柱體為彈性梁，四肢為支架.3. 動(dòng)物在自身體重動(dòng)物在自身體重 f 作用下，軀干作用下，軀干最大下垂為最大下垂為 b (梁的最大彎曲梁的最大彎曲).4. 彈性力學(xué)的已有結(jié)果：彈性力學(xué)的已有結(jié)果：dlbf23sdflb 5. 由由 f sl ,得得23dllbb/l是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度.在長(zhǎng)期進(jìn)化過(guò)程中每種動(dòng)物的在長(zhǎng)期進(jìn)化過(guò)程中每種動(dòng)物的 b/l 已經(jīng)達(dá)到最已經(jīng)達(dá)到最合適的數(shù)值，即合適的數(shù)值，即 b/l=常數(shù)常數(shù)(與動(dòng)物尺寸無(wú)關(guān)與動(dòng)物尺寸無(wú)關(guān)). b/l 太大，四肢無(wú)法支撐；太大，四肢無(wú)法支撐； b/l 太小，四肢的尺寸超過(guò)支撐軀

21、干太小，四肢的尺寸超過(guò)支撐軀干的需要，不合乎生物進(jìn)化論的需要，不合乎生物進(jìn)化論.對(duì)于一種四足動(dòng)物對(duì)于一種四足動(dòng)物( (如生豬如生豬) )由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定系數(shù)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定系數(shù)k .l3 d2 f sl, s d2, l3 d2 軀干的相對(duì)下垂度軀干的相對(duì)下垂度b/l l 3/d2 dlbf假設(shè)與建模假設(shè)與建模 f l4f =kl4可以從軀干長(zhǎng)度可以從軀干長(zhǎng)度 l 估計(jì)動(dòng)物體重估計(jì)動(dòng)物體重 f .動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重將動(dòng)物軀干將動(dòng)物軀干類比類比為彈性梁為彈性梁充滿想象力的充滿想象力的大膽假設(shè)大膽假設(shè)!轉(zhuǎn)化為有確切研究成果的彈性梁在自重下的轉(zhuǎn)化為有確切研究成果的彈性梁在自重下的撓曲問(wèn)題撓

22、曲問(wèn)題.類比法是數(shù)學(xué)建模的一種常用方法類比法是數(shù)學(xué)建模的一種常用方法.問(wèn)問(wèn)題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案.yxp.用用x,y分別表示甲分別表示甲(乙乙)占有占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙占有Y的的數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對(duì)若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x

23、, y0 -y). xyyo0 xo2.7 實(shí)物交換實(shí)物交換xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無(wú)差別曲線甲的無(wú)差別曲線分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度具有同樣的滿意程度,即即p1, p2對(duì)甲是無(wú)差別的對(duì)甲是無(wú)差別的.MN將所有與將所有與p1, p2無(wú)差別的點(diǎn)無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái)連接起來(lái), 得到一條得到一條無(wú)差別無(wú)差別曲線曲線MN.線上各點(diǎn)的滿意度相同線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對(duì)線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛程度的偏愛程度.N1M1P3(x3,y3).比比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)

24、差別曲，在另一條無(wú)差別曲線線M1N1上上, 于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）.yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：無(wú)差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點(diǎn)凸向原點(diǎn)) 互不相交互不相交在在p1點(diǎn)占有點(diǎn)占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點(diǎn)占有點(diǎn)占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y.甲的無(wú)差別曲線族記作甲的無(wú)差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線）甲的無(wú)差別曲

25、線甲的無(wú)差別曲線xyOg(x,y)=c2c2 乙的無(wú)差別曲線族乙的無(wú)差別曲線族 g(x,y)=c2具有具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）相同性質(zhì)（形狀可以不同）. 雙方的交換路徑雙方的交換路徑xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的無(wú)差別曲線族乙的無(wú)差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)系坐標(biāo)系xOy, 且反向）且反向）甲的無(wú)差別曲線族甲的無(wú)差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上! !因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)外的任一點(diǎn)p, (雙方雙方)滿意度低于滿意度低于AB上的點(diǎn)上的點(diǎn)p.兩族曲線切點(diǎn)連線記作兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB分析與建模分析與建模

26、AB 交換方案的進(jìn)一步確定交換方案的進(jìn)一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形內(nèi)任一點(diǎn)矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路交換路徑徑AB雙方的無(wú)差別曲線族雙方的無(wú)差別曲線族等價(jià)交等價(jià)交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線兩點(diǎn)的連線CD.AB與與CD的交點(diǎn)的交點(diǎn)p設(shè)設(shè)X單價(jià)單價(jià)a, Y單價(jià)單價(jià)b, 則等價(jià)交換下則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.xp.2.8 核軍備

27、競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全, 實(shí)行實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”, 核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí). 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束, 雙方通過(guò)了雙方通過(guò)了一系列核裁軍協(xié)議一系列核裁軍協(xié)議. 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張?jiān)谑裁辞闆r下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張, 而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài). 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí), 平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化. 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少

28、的核武器數(shù)量估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響.背背景景與與問(wèn)問(wèn)題題以雙方以雙方(戰(zhàn)略戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地； 己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚

29、核在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地.摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定攻擊精度和另一方的防御能力決定.模模型型假假設(shè)設(shè)圖圖的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線乙安全線)x=g(y)乙有乙有y枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(甲安全線甲安全線)當(dāng)當(dāng) x=0時(shí)時(shí) y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方

30、甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線乙安全線分析分析模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率基地，基地未被摧毀的概率.sx個(gè)基地未被摧毀，個(gè)基地未被摧毀，yx個(gè)基地未被攻擊個(gè)基地未被攻擊.xy甲方以甲方以 x枚導(dǎo)彈攻擊乙方枚導(dǎo)彈攻擊乙方 y個(gè)基地中的個(gè)基地中的 x個(gè)個(gè),

31、y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個(gè)基地被攻擊個(gè)基地被攻擊2次次, s2(xy)個(gè)未被摧毀個(gè)未被摧毀;y (xy)=2y x個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊1次次, s(2y x )個(gè)未被摧毀個(gè)未被摧毀.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 a交換比交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比)x=a y,分析分析模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾值威懾值s殘存率殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上

32、移、變陡.s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平.a變大，變大，y增加，曲線變陡增加，曲線變陡.xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí).),(mmyxP（其它因素不變）（其它因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)PP 甲方將固定核

33、導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架.乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0和交換比不變和交換比不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少.PP 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo)雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值減小，殘存率不變，交

34、換比增加雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加.y0減小減小 y下移且變平下移且變平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP a 變大變大 y增加且變陡增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析.?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x)?PP 核核 軍軍 備備 競(jìng)競(jìng) 賽賽 對(duì)對(duì)“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用圖做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過(guò)程的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過(guò)程. 提出提出安全曲線安全曲線概念，給出它的一般形式概念，給出

35、它的一般形式. 通過(guò)更精細(xì)的分析找到影響安全線的通過(guò)更精細(xì)的分析找到影響安全線的3個(gè)參數(shù)：個(gè)參數(shù)：威威懾值、殘存率和交換比懾值、殘存率和交換比，給出安全線的分析表達(dá)式，給出安全線的分析表達(dá)式. 利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向.簡(jiǎn)化問(wèn)題簡(jiǎn)化問(wèn)題AB 風(fēng)向風(fēng)向北北航向航向帆船帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從要從A點(diǎn)駛向正東方的點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向確定起航時(shí)的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 .2

36、.9 啟帆遠(yuǎn)航啟帆遠(yuǎn)航模型分析模型分析 風(fēng)風(fēng)(通過(guò)帆通過(guò)帆)對(duì)船的推力對(duì)船的推力w 風(fēng)對(duì)船體部分的阻力風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假設(shè)假設(shè) w與帆迎風(fēng)面積與帆迎風(fēng)面積s1成正比，成正比，p與船迎風(fēng)面積與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于 s2 .f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 模型模型假設(shè)假設(shè) wpw1w2f1f2p2

37、p1 w2與帆面平行，可忽略與帆面平行，可忽略. f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消.模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v與力與力f=f1-p1成正比成正比.v=k1(f1-p1)v1v2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 當(dāng)當(dāng) 固定時(shí)求固定時(shí)求 使使f1最大最大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 時(shí)時(shí) f1=w(1-cos )/2最大最大= k1(f1-p1)cos f1=w1si

38、n =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12sstt備備注注 只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型. 航行過(guò)程中終點(diǎn)航行過(guò)程中終點(diǎn)B將不在正東方，應(yīng)調(diào)整將不在正東方，應(yīng)調(diào)整 和和 . 記記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos s22.10

39、量綱分析與無(wú)量綱化量綱分析與無(wú)量綱化物物理理量量的的量量綱綱長(zhǎng)度長(zhǎng)度 l 的量綱記的量綱記 L=l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時(shí)間時(shí)間 t 的量綱記的量綱記 T=t動(dòng)力學(xué)中動(dòng)力學(xué)中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱221rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對(duì)無(wú)量綱量對(duì)無(wú)量綱量 ， =1(=L0M0T0)2.10.1 量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-2=L3M-1T-2量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致量綱分析

40、量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng))1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動(dòng)周期求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式的表達(dá)式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達(dá)式的量綱表達(dá)式glt2對(duì)比對(duì)比33212TLMT12003321對(duì)對(duì) x,y,z的兩組量測(cè)值的兩組量測(cè)值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )212

41、1pppp為什么假設(shè)這種形式為什么假設(shè)這種形式?設(shè)設(shè)p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp量綱齊量綱齊次原則次原則321glmt 單擺運(yùn)動(dòng)單擺運(yùn)動(dòng)0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運(yùn)動(dòng)中單擺運(yùn)動(dòng)中

42、t, m, l, g 的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量0)(F設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià), F未定未定.Pi定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，是與量

43、綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2, Xn 是是基本量綱基本量綱, n m, q1, q2, qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rArank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個(gè)基本解，記作個(gè)基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量, 且且則則)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力航船阻力航船阻

44、力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒(méi)面積浸沒(méi)面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g .mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個(gè)基本解個(gè)基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個(gè)基本解個(gè)基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmj

45、yjssjq1m-r 個(gè)無(wú)量綱量個(gè)無(wú)量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力 F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價(jià)等價(jià)flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式表達(dá)式的顯式表達(dá)式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià)221213,),(lsglvglf量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力量綱分析法的評(píng)注量綱分析法的評(píng)注 物理量的選取物理

46、量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)基本量綱個(gè)數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無(wú)量綱量未定和無(wú)量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識(shí)不需要特定的專業(yè)知識(shí).2.10.2 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已

47、知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量測(cè)量測(cè) f，可算出，可算出 f1 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf2.10.3 無(wú)量綱化無(wú)量綱化例：火箭發(fā)射例：火箭發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射火箭。初速星球表面豎直發(fā)射火箭。初速v, 星星球半徑球半徑r, 星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律.t=0 時(shí)時(shí) x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律)0( xgx grkm223個(gè)獨(dú)立參數(shù)個(gè)獨(dú)立參數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)用無(wú)