2011年高考一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 3-5數(shù)列的綜合應(yīng)用 理 同步練習(xí)（名師解析）

1、第3章 第5節(jié) 知能訓(xùn)練·提升考點(diǎn)一：等差數(shù)列應(yīng)用題1某大學(xué)教學(xué)樓的圓形樓頂上安裝有1 890盞一樣的普通小燈泡，教學(xué)樓大門正中間頂上的燈泡被設(shè)定為第一盞燈，當(dāng)這些小燈泡的總開關(guān)打開時，這些小燈泡就按一定的次序依次閃爍：先第一盞燈亮，過了1 s，第一盞燈滅掉，而第三盞燈又亮，過了1 s，第三盞燈滅掉，而第六盞燈又亮，亮的燈依次為1,3,6,10,15，.直到第1盞燈亮?xí)r就停止，然后再按此規(guī)律依次閃爍如果將此過程中一直沒有亮過的燈改裝成另一線路的彩燈，則共要更換_盞燈答案：1 8302我國北方某城市嚴(yán)重缺水，曾一度取消全市的洗車行業(yè)時間久了，車容影響了市容市貌今年該市決定了引進(jìn)一種高科

2、技產(chǎn)品污水凈化器，允許洗車行開始營業(yè)，規(guī)定洗車行必須購買這種污水凈化器，使用凈化后的污水(達(dá)到生活用水標(biāo)準(zhǔn))洗車污水凈化器的價格是每臺100萬元，全市統(tǒng)一洗車價格10元該市今年的汽車總量是101 000輛，預(yù)計今后每年汽車數(shù)量將增加2 000輛洗車行A經(jīng)過預(yù)算，如果全市的汽車總量是x，那么一年內(nèi)在該洗車行洗車的平均輛次是x，該洗車行每年的其他費(fèi)用是1萬元問：洗車行A從今年開始至少經(jīng)過多少年才能收回購買凈化器的成本？解：設(shè)從今年開始至少經(jīng)過n年收回成本，n年內(nèi)的汽車數(shù)量構(gòu)成以101 000為首項，2 000為公差的等差數(shù)列，汽車數(shù)量總和為101 000n×2 000.n年內(nèi)的洗車收入為

3、10××.依題意有10××n×1 0000100×104，化簡得n280n2 0000，解得n20.因此，洗車行A從今年開始至少經(jīng)過20年才能收回買凈化器的成本考點(diǎn)二：等比數(shù)列應(yīng)用題3某科研單位，欲拿出一定的經(jīng)費(fèi)獎勵科研人員，第一名得全部獎金的一半多一萬元，第二名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第七名恰好獎金分完，則需拿出獎金()A250萬元B252萬元C254萬元 D256萬元答案：C4某地區(qū)為教育現(xiàn)代化，近五年為中小學(xué)每年新購置的電腦臺數(shù)均按10%的比例增長，其中2005年、2006年兩年新購置的電腦臺

4、數(shù)之和為1 000臺，該地區(qū)準(zhǔn)備繼續(xù)照此增長比例購置，則2007年起四年內(nèi)該地區(qū)中小學(xué)將新購置電腦的臺數(shù)為()A1 464 B2 310C2 420 D267答案：D5某市2009年共有1萬輛燃油型公交車，有關(guān)部門計劃于2010年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，試問：(1)該市在2016年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？(2)到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的？解：(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列an，其中a1128，q1.5.則在2016年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7a1·q6128×1.56145

5、8(輛)(2)記Sna1a2an，依據(jù)題意，得.于是Sn5 000(輛)，即1.5n，經(jīng)驗證，n8.到2017年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的.考點(diǎn)三：增長率或分期付款問題6銀行按規(guī)定在一定時間結(jié)算利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計算方法叫做復(fù)利，現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案一次性貸款10萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年卻比前一年增加利潤5千元，兩種方案使用期都是10年，到期一次性還本付息，若銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計算，試比較兩方案的優(yōu)劣(計算時，精確到千元，并取1.11

6、02.594,1.31013.79)解：甲方案10年共獲利1(130%)(130%)942.63.到期時，銀行貸款本息為10(110%)1025.94.按甲方案扣除貸款本息后，凈收益為426325.9416.7(萬元)乙方案10年共獲利11.5(19×0.5)32.5.到期時，銀行貸款本息為(110%)(110%)2(110%)101.1×17.53，按乙方案扣除貸款本息后，凈收益為32.517.5314.97(萬元)所以甲方案略優(yōu)于乙方案考點(diǎn)四：等差、等比數(shù)列綜合問題7(2010·淄博模擬)已知數(shù)列an滿足an2an12n2(n2)，a12.(1)求a2，a3，

7、a4；(2)是否存在一個實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(3)求數(shù)列an的前n項和Sn.解：(1)a244210，a3208230，a46016278.(2)假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列，則1恒為常數(shù)，20，即2，此時2，1.當(dāng)2時數(shù)列是首項為2、公差為1的等差數(shù)列(3)由(2)得(n1)n1，an(n1)2n2.Sn2·23·224·23(n1)2n2n，2Sn2·223·234·24(n1)2n14n.兩式相減得Sn2·222232n(n1)2n12nn·2n12n，S

8、nn·2n12n.8(2010·鄭州質(zhì)檢)把正奇數(shù)數(shù)列1,3,5,7，中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：1357911設(shè)三角形數(shù)表中第m行的第一個數(shù)為am.(1)試用m表示am(不要求證明)；(2)請判斷2 007是該三角形數(shù)表中第幾行的第幾個數(shù)；(3)已知函數(shù)f(x)()n·(x0)，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為bn，求數(shù)列f(bn)的前n項和Sn.解：(1)第m行第一個數(shù)是2·1m2m1.(2)由題意，先求使得m是不等式m2m12 007的最大正整數(shù)解由m2m12 007，得m2m2 0060.mN*，0m45.5.m

9、45.于是，第45行第1個數(shù)是4524511 981，m114.2 007是第45行的第14個數(shù)(3)第n行第一個數(shù)是n2n1，且有n個數(shù)，若將n2n1看成第n行第1個數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，故bnn(n2n1)×2n3.f(bn)()n·n()n.故Sn2()23()3(n1)()n1n()n，Sn()22()33()4(n1)()nn()n1，兩式相減，得Sn()2()3()nn()n1n()n11()nn()n1，Sn2(n2)()n.1.(2009·江西)數(shù)列an的通項ann2(cos2sin2)，其前n項和為Sn，則S30為()A470B4

10、90C495D510解析：ann2(cos2sin2)n2cos.當(dāng)n3k時，a3k(3k)29k2；當(dāng)n3k1時，a3k1(3k1)2·cos(3k1)2；當(dāng)n3k2時，a3k2(3k2)2cos(3k2)2.S30(a3a6a9a30)(a1a4a7a28)(a2a5a8a29)(326292302)(124272282)(225282292)(326292302)(122232282292302)×32·(122232102)··470，故選A.答案：A2(2009·上海)已知函數(shù)f(x)sinxtanx.項數(shù)為27的等差數(shù)列a

11、n滿足an(，)，且公差d0.若f(a1)f(a2)f(a27)0，則當(dāng)k_時，f(ak)0.解析：f(x)sinxtanx為奇函數(shù)，f(0)0，an為等差數(shù)列且d0，an(1n27，nN*)對稱分布在原點(diǎn)及原點(diǎn)兩側(cè)，f(a1)f(a2)f(a27)0f(a14)0.k14.答案：143(2007·安徽)某國采用養(yǎng)老儲備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d0)，因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目a1，a2，是一個公差為d的等差數(shù)列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利這就是說，如果固定年利率為r(r0)，那

12、么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額(1)寫出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式；(2)求證：TnAnBn，其中An是一個等比數(shù)列，Bn是一個等差數(shù)列解：(1)我們有TnTn1(1r)an(n2)(2)證明：T1a1，對n2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an.在式兩端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(

13、1r)an(1r)n1ra1(1r)nan，即Tn(1r)nn.如果記An(1r)n，Bnn，則TnAnBn，其中An是以(1r)為首項，以1r(r0)為公比的等比數(shù)列；Bn是以為首項，以為公差的等差數(shù)列.已知正數(shù)數(shù)列an的前n項和為Sn，且aaaaS.(1)求證：a2Snan；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)若bn3n(1)n1·2an(為非零常數(shù)，nN*)，問是否存在整數(shù)，使得對任意nN*，都有bn1bn.解：(1)證明：當(dāng)n2時，由aaaaS，得aaaS，兩式相減，得aSS(SnSn1)(SnSn1)(SnSn1)an.an0，aSnSnan2Snan.又當(dāng)n1時，aa，a10，a11.a1，且2S1a11.n1時，a2Snan也成立a2Snan成立(2)當(dāng)n2時，由a2Snan，得a2Sn1an1.兩式相減，得aa2(SnSn1)anan12ananan1anan1，anan10，an