（整理版）指數(shù)函數(shù)典例解析

1、指數(shù)函數(shù)典例解析(1) ；(2) ；(3) ；(4) .分析:求定義域時要特別注意與指數(shù)式有關(guān)的式子有意義的條件.解: (1) ；(2)由 得 ；(3) ；(4)由 得 ,當 時, ；當 時, .點評:在這種題目中假設遇到底數(shù)含有字母的不等式的求解時,注意分為 和 兩種情況進行討論,求解時,可借助相應的指數(shù)函數(shù)圖象來幫助.例2.比擬以下各組數(shù)的大小:(1) 和 ；(2) 和 ；(3) 和 ；(4) 和 , .分析:當兩個冪形數(shù)底數(shù)相同時,要比擬這兩個數(shù)的大小可根據(jù)它們的特征構(gòu)造相應的指數(shù)函數(shù),借助函數(shù)的單調(diào)性來比擬大小.解:(1) 在 上是減函數(shù),又 ,故 < .(2)= ,由 的單調(diào)性

2、可得, > 即 > .(3)由 >1而 <1,可知 > .(4)當 時, < ,當 時, > .點評:此題中第(3)小題的兩個數(shù)不能看成某個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值,此時可以借助一些特殊數(shù)如0或1來搭橋間接比擬兩個數(shù)的大小,而(2)小題那么可以通過指數(shù)運算化為底數(shù)相同的兩個冪,可構(gòu)造指數(shù)函數(shù)來比擬大小.例3.(1)指數(shù)函數(shù) 滿足不等式 ,那么它們的圖象是() 分析:此題應首先根據(jù)底數(shù)的范圍判斷圖象的升降性,再根據(jù)兩個底數(shù)的大小比擬判斷對應的曲線.解:由 可知應為兩條遞減的曲線,故只可能是 或 ,進而再判斷與 和 的對應關(guān)系,此時判斷的方法很多,不妨選特殊點

3、法,令 ,對應的函數(shù)值分別為和 ,由 可知應選 .(2)曲線 分別是指數(shù)函數(shù) , 和 的圖象,那么 與1的大小關(guān)系是). 分析:首先可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性,確定 ,在 軸右側(cè)令 ,對應的函數(shù)值由小到大依次為 ,故應選 .點評:這種類型題目是比擬典型的數(shù)形結(jié)合的題目,第(1)題是由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,第(2)題那么是由圖到數(shù)的翻譯,它的主要目的是提高學生識圖,用圖的意識.例4(1)函數(shù) 的圖象一定過_象限.(2)函數(shù) 的圖象一定過定點 ,那么 點的坐標是_.(3)函數(shù) 與_的圖象關(guān)于 軸對稱.分析:此題涉及有關(guān)圖象變換,搞清圖象平移和對稱變換是解決此題的關(guān)鍵.解:(1) = ,它可以看作是指數(shù)函數(shù) 圖

4、象作關(guān)于 軸對稱的圖象,因此一定過第三象限和第四象限.(2) 的圖象可以看作把 的圖象向右平移一個再向上平移3個而得到,且 一定過點 ,那么 應過點 .(3)圖象與 關(guān)于 軸對稱的函數(shù)為 .點評:通過此題要求學生明確 與 兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系及表達在圖象上任意一點的坐標之間的變化規(guī)律.例5.(1)函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是_.(2)函數(shù) 的值域為_.分析:應利用換元法研究這類題目,而且要注意二次函數(shù)相關(guān)知識的配合使用.解:(1)令 ,顯然當 時,由 是增函數(shù),此函數(shù)是單調(diào)遞增的.(2)令 ,由 ,得 .那么 .當 即 時, 有最小值 ,當 即 時, 有最大值57.函數(shù)的值域為 .點評:第(2)小

5、題通過換元把問題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上二次函數(shù)的值域問題,這種轉(zhuǎn)化的方法是處理類似問題非常重要的方法,應引起關(guān)注,且換元時應注意中間變量的取值范圍.小試牛刀1.世界人口已超過56億,假設按千分之一的年增長率計算,那么兩年增長的人口相當于一個() ,試把 用含 的式子表示出來,并化簡.1、分析:這是指數(shù)函數(shù)的應用問題,根據(jù)題意列出函數(shù)解析式后再進行相應的計算.解: 兩年增長的人口應為560000(1+1) 1120(萬),所以應選 .說明:與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的應用問題較多,如放射性物質(zhì)的蛻變,人口增長,利率等,遇到類似問題時,應能主動調(diào)動指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識來解決.2、分析:此題涉及指數(shù)式的變換和分類討論的使用.解: 由 可知 , = , 當 時,假設 ,那么 ,此時 ,假設 ,那么 ,此時 .當