數(shù)學(xué)中考-圓、圓柱、圓錐

1、圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱(circular cylinder)，即以AG矩形的一條邊為軸，旋轉(zhuǎn)360°所得的幾何體就是圓柱。定義 1、以矩形的 一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱(circular cylinder)，即AG矩形的一條邊為軸，旋轉(zhuǎn)360°所得的幾何體就是圓柱。其中AG叫做圓柱的軸，AG的長度叫做圓柱的高，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線 。DA和D'G旋轉(zhuǎn)形成的兩個圓叫做圓柱的底面，DD'旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做

2、圓柱的側(cè)面。2、在同一個平面內(nèi)有一條定直線和一條動線，當這個平面繞著這條定直線旋轉(zhuǎn)一周時，這條動線所成的面叫做旋轉(zhuǎn)面，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)面的軸，這條動線叫做旋轉(zhuǎn)面的母線。如果母線是和軸平行的一條直線，那么所生成的旋轉(zhuǎn)面叫做圓柱面。如果用垂直于軸的兩個平面去截圓柱面，那么兩個截面和圓柱面所圍成的幾何體叫做直圓柱，簡稱圓柱。分類 直體 直圓柱也叫正圓柱、圓柱，就是底面和頂面是同樣半徑（r）的圓，并且兩圓圓心的連線和頂面、底面的互相垂直，并且我們可以得知，圓柱側(cè)面展開圖是長方形1  。直圓柱 高：h底面半徑：r底面直徑：d D=2r側(cè)面積：S=總表面積：T= 體積：V= 底面積：A;B 斜

3、體 所謂的圓柱就是頂面和底面是同樣半徑(r)的圓，兩圓圓心的連線和頂面、底面不互相垂直，并且我們可以得知，圓柱側(cè)面展開圖是平行四邊形形。斜圓柱 S= T= V=Ah=Bh=圓柱的底面是兩個完全相等的圓，圓錐只有一個底面是個圓。兩個底面之間的距離叫做圓柱的高。圓柱有無數(shù)條高，且高的長度都相等。圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高，圓錐只有一條高。圓柱和圓錐的側(cè)面是曲面。但圓柱的側(cè)面展開圖是正方形或長方形（沿高剪），而圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形。體積圓柱所占空間的大小，叫做這個圓柱體的體積求圓柱的體積跟求長方體、正方體一樣，都是底面積×高：設(shè)一個圓柱底面半徑為r，高為h，則體積V=r*

4、rh如S為底面積，高為h，體積為V：V=Sh，也可以是V=r*rh面積計算圓柱的側(cè)面積=底面的周長×高。2  S側(cè)=Ch（C表示底面的周長，h表示圓柱的高）圓柱的底面積=r*r;圓柱的表面積圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個底面積（s表=s側(cè)+2s底）S表=2r*r+2rh 或 ，s側(cè)=dh，s底=r²組成名稱圓柱的兩個完全相同的圓面叫做底面（又分上底和下底）；圓柱有一個曲面，叫做側(cè)面；兩個底面的對應(yīng)點之間的距離叫做高（高有無數(shù)條）。特征：1、圓柱的底面都是圓，并且大小一樣。2、圓柱兩個面之間的垂直距離叫做高，把圓柱的側(cè)面打開，得到一個長方形，這個長方形的長就是圓柱的底周

5、長。 與圓錐的關(guān)系等底等高的圓錐積是圓柱體積的三分之一。體積和高相等的圓錐與圓柱，圓錐的底面積是圓柱的三倍。體積和底面積相等的圓錐與圓柱，圓錐的高是圓柱的三倍。等底等高間圓柱與圓錐之間的側(cè)面積之比關(guān)系為 S圓柱側(cè)/S圓錐側(cè)=【（360²-n²）】/180 其中n為圓錐展開后的圓周角度數(shù)。圓錐圓錐是一種幾何圖形，有兩種定義。解析幾何定義：圓錐面和一個截它的平面（滿足交線為圓）組成的空間幾何圖形叫圓錐。立體幾何定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸。 垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐

6、的底面。不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線。（邊是指直角三角形兩個旋轉(zhuǎn)邊）定義 圓錐面和一個截它的平面（滿足交線為圓）組成的空間幾何圖形叫圓錐。以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。注意：圓錐不是特殊的圓柱。組成圓錐的高：圓錐的頂點到圓錐的底面圓心之間的距離叫做圓錐的高；1  圓錐母線：圓錐的側(cè)面展開形成的扇形的半徑、底面圓周上任意一點到頂點的距離。圓錐的側(cè)面積：將圓錐的側(cè)面沿母線展開，是一個扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,而扇形的半徑等于圓錐的母線的長. 圓錐的側(cè)面積就

7、是弧長為圓錐底面的周長×母線/2；沒展開時是一個曲面。圓錐有一個底面、一個側(cè)面、一個頂點、一條高、無數(shù)條母線，且底面展開圖為一圓形，側(cè)面展開圖是扇形。測量 高 （l：母線長，r：底面半徑）底面周長 （r：底面半徑， ：側(cè)面展開圖圓心角弧度，l：母線長）表面積 一個圓錐表面的面積叫做這個圓錐的表面積圓錐的表面積由側(cè)面積和底面積兩部分組成。全面積（S）=S側(cè)+S底 其中，S側(cè)= （r：底面半徑，l：圓錐母線， ：側(cè)面展開圖圓心角弧度）體積 圓錐 一個圓錐所占空間的大小，叫做這個圓錐的體積。一個圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱的體積的1/3。根據(jù)圓柱體積公式V=Sh（V=r2h），得出圓錐

8、體積公式： ，其中S是圓柱的底面積，h是圓柱的高，r是圓柱的底面半徑。圓錐證明：把圓錐沿高分成k分 每份高 ，第 n份半徑： ，第 n份底面積： 第 n份體積：，總體積: 總體積: 當n越來越大，總體積越接近于圓錐體積， 越接近于0 V圓柱 ， V圓錐是與它等底等高的V圓柱體積的 繪制方法 體展開圖 圓錐體展開圖由一個扇形（圓錐的側(cè)面）和一個圓（圓錐的底面）組成。(如右圖） 在繪制指定圓錐的展開圖時，一般知道a（母線長）和d（底面直徑）弧AB=O的周長 弧AB=d弧AB=2a(1/360°) 2a(1/360°)=d2a(1/360°)=d將a,d帶入2a(1/3

9、60°)=d得到1的值。這樣繪制展開圖的所有所需數(shù)據(jù)都求出來了。根據(jù)數(shù)據(jù)即可畫出圓錐的展開圖。母線長等于底面圓直徑的圓錐，展開的扇形就是半圓。所有圓錐展開的扇形角度等于（底面直徑÷母線）×180度。三視圖 圓錐三視圖是觀測者從三個不同位置觀察而畫出的圖形。其主視圖和側(cè)視圖均為等腰三角形，俯視圖是一個圓和圓心。應(yīng)用 生活中沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、鉛筆頭、鉆頭、鉛錘等都可以近似地看作圓錐。圓錐在日常生活中也是不可或缺的。圓當一條線段繞著它的一個端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。圓是一種幾何圖形

10、。根據(jù)定義，通常用圓規(guī)來畫圓。 同圓內(nèi)圓的半徑長度永遠相同，圓有無數(shù)條半徑和無數(shù)條直徑。圓是軸對稱、中心對稱圖形。對稱軸是直徑所在的直線。 同時，圓又是“正無限多邊形”，而“無限”只是一個概念。當多邊形的邊數(shù)越多時，其形狀、周長、面積就都越接近于圓。所以，世界上沒有真正的圓，圓實際上只是概念性的圖形。目錄1 相關(guān)概念 2 字母表示 3 計算公式 4 位置關(guān)系 5 圓的性質(zhì) 6 相關(guān)定理 7 圓的方程 8 關(guān)于圓的習(xí)題 9 繪制圓 10 圓的歷史 相關(guān)概念 圓 1 在同一平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓1  （circle）。這個定點叫做圓的圓心。圓形一周的長度，就是圓的周長

11、。【注：圓的第二定義平面內(nèi)一動點到兩定點的距離的比，等于一個常數(shù)，則此動點的軌跡是圓?！? 連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，字母表示為r（radius）。3 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d（diameter）。直徑所在的直線是圓的對稱軸。4 連接圓上任意兩點的線段叫做弦（chord）.在同一個圓內(nèi)最長的弦是直徑。直徑所在的直線是圓的對稱軸，因此，圓的對稱軸有無數(shù)條。5 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧（arc）以字母l表示。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧，所以半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧是用三個字母表示，劣弧用兩個字母表示。優(yōu)弧是所對心周角大于

12、180度的弧，劣弧是所對圓心角小于180度的弧。圓的周長公式 ，圓的面積公式 。（以此類推，半圓的周長公式： ，面積公式： ）6 頂點在圓心上的角叫做圓心角（central angle）。7 頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。8 由圓心角的兩條半徑和圓心角所對應(yīng)的一段弧圍成的圖形叫做扇形（sector）。9 由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。10 圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，通常用字母 表示， =3.14159265計算時通常取3.14。我們可以說圓的周長是直徑的倍，或大約3.14倍，不能直接說圓的周長是直徑的3.14倍！11

13、圓周角等于相同弧所對的圓心角的一半。12 圓是一個正n邊形（n為無限大的正整數(shù)），邊長無限接近0但不等于0。13 把圓分成若干等份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬相當于圓的半徑。14.能完全重合的兩條弧叫做等弧。15.圓只包括外面的一個圈，圓不是一個平面。16能夠重合的兩個圓叫等圓。字母表示 圓 ；半徑r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母）；圓心O；??；直徑d ；扇形弧長L ； 周長C ； 面積S。計算公式 1.圓的周長 2.圓的面積 3.扇形弧長L=圓心角（弧度制） * r = nr/180（n為圓心角）4.扇形面積S=n r²/360=Lr/2（L為扇形的弧長）5.圓的直徑

14、 d=2r6.半圓的周長 c=r+2r7.圓周長的一半 c=r8.圓錐側(cè)面積 S=rl（l為母線長）9.圓錐底面半徑 r=n/360L（L為母線長）（r為底面半徑）圓的周長公式推導(dǎo)（此方面涉及到弧微分）設(shè)圓的參數(shù)方程為 ， 圓在一周內(nèi)周長的積分代入，可得即 圓的面積計算公式-圓周率 S-面積 C-周長 r-圓半徑d-圓直徑圓的面積計算公式：S = ×r²=3.1416×r²圓周長計算公式：C = 2××r(圓的面積說白了一點就是:半徑乘于半徑乘于3.14)已知圓的面積求直徑：直徑：2(面積÷圓周率)2  扇形的弧長

15、公式角度制計算, l是弧長，n是扇形圓心角，是圓周率，r是底圓半徑弧度制計算，l是弧長，|是弧l所對的圓心角的弧度數(shù)的絕對值，r是底圓半徑扇形面積公式R是扇形半徑，n是弧所對圓心角度數(shù)，是圓周率，L是扇形對應(yīng)的弧長。也可以用扇形所在圓的面積除以360再乘以扇形圓心角的角度n，如下：（L為弧長，R為扇形半徑）推導(dǎo)過程:S=r²×L/2r=LR/2(L=·R)位置關(guān)系 點和圓位置關(guān)系P在圓O外，則 PO>r。P在圓O上，則 PO=r。P在圓O內(nèi)，則 PO<r。反過來也是如此。平面內(nèi)，點P(x0,y0)與圓(x-a)²+(y-b)²=r&

16、#178;的位置關(guān)系判斷一般方法是：如果(x0-a)²+(y0-b)²<r²，則P在圓內(nèi)。如果(x0-a)²+(y0-b)²=r²，則P在圓上。如果(x0-a)²+(y0-b)²>r²，則P在圓外。直線和圓位置關(guān)系直線和圓無公共點，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與O相交，d<r。直線和圓有且只有一公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。圓心與切點的連線垂直于切線。AB與O相切，d=r。（d為圓心到直

17、線的距離）平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成為一個關(guān)于x的方程如果b2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。如果b2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。如果b2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離。2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y軸（或垂直于x軸），將x²+y²+Dx+Ey+F=0化為（x

18、-a）²+（y-b）²=r²令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，并且規(guī)定x1<x2，那么：當x=-C/A<x1或x=-C/A>x2時，直線與圓相離；當x1<x=-C/A<x2時，直線與圓相交。圓和圓位置關(guān)系無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含。有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切。有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且Rr，圓心距為P，則結(jié)論：外離P>R+r；外切P=R+r；內(nèi)含P<R-r；內(nèi)切P=R-r；相交R-r<P<R+r。圓的性質(zhì)

19、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側(cè)）。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。圓心角計算公式：=(L/2r)×360°=180°L/r

20、=L/r(弧度)。即圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)；圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。R=2S÷L（R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。兩相切圓的連心線過切點。（連心線：兩個圓心相連的直線）圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。（4

21、）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。（6）圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半。（7）圓外角的度數(shù)等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。（8）周長相等，圓面積比正方形、長方形、三角形的面積大。相關(guān)定理 與切線有關(guān)的定理垂直于過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端點，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓的切線。切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點垂直于過切點的半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。切線長定理：

22、從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。切割線定理圓的一條切線與一條割線相交于p點，切線交圓于C點，割線交圓于A B兩點 ， 則有pC2=pA·pB割線定理與切割線定理相似 兩條割線交于p點，割線m交圓于A1 B1兩點，割線n交圓于A2 B2兩點，則pA1·pB1=pA2·pB2。垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧。弦切角定理弦切角等于對應(yīng)的圓周角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）圓的方程 1、圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。特別

23、地，以原點為圓心，半徑為r（r>0）的圓的標準方程為x2+y2=r2。2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：（1）、當D2+E2-4F>0時，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以（D2+E2-4F）/2為半徑的圓；（2）、當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點（-D/2，-E/2）；（3）、當D2+E2-4F<0時，方程不表示任何圖形。3、圓的參數(shù)方程：以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是 x=a+r*cos, y=b+r*sin, （其中為參數(shù)）圓的端點式：若已知

24、兩點A（a1,b1）,B（a2,b2），則以線段AB為直徑的 圓的方程為 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。經(jīng)過圓 x2+y2=r2上一點M（a0，b0）的切線方程為 a0*x+b0*y=r2在圓（x2+y2=r2）外一點M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為 a0*x+b0*y=r2。4、圓的三點式方程：過不共線的三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的圓的方程為3  繪制圓 一般情況下可用圓規(guī)畫出圓形，或用一段繩子，一頭固定在地上，一頭轉(zhuǎn)，就能轉(zhuǎn)出圓

25、，繩子越長，圓越大。在AutoCAD“繪圖”下拉菜單中，列出了6種“圓”的繪制方法，簡述如下：圓的歷史 圓形，是一個看來簡單，實際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很像圓。到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉(zhuǎn)盤上制成的。當人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發(fā)現(xiàn)搬運圓的木頭時滾著走比較省勁。后來他們在搬運重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當然比扛著走省勁得多。約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子圓型的木盤。大約在4

26、000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。會作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)。古代埃及人就認為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。任意一個圓的周長與它直徑的比值是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用字母表示。它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，=3.1415926535但在實際運用中一般只取它的近似值，即3.14.如果用C表示圓的周長：C=d或C=2r.周髀算經(jīng)上說"周三

27、徑一"，把圓周率看成3，但是這只是一個近似值。美索不達來亞人在作第一個輪子的時候，也只知道圓周率是3。魏晉時期的劉徽于公元263年給九章算術(shù)作注時，發(fā)現(xiàn)"周三徑一"只是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無限增加時，周長就越逼近圓周長。他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率，= 3927/1250。劉徽把極限的概念運用于解決實際的數(shù)學(xué)問題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計算基礎(chǔ)上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數(shù)精確值，他還用兩個分數(shù)值來表示