（整理版）等比數(shù)列2

1、 等比數(shù)列一【課標(biāo)要求】1通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；2探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；3能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)?？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等根底知識(shí)和根本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)根本的運(yùn)算要求比擬高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具預(yù)測(cè)高考對(duì)本講的考察為：1題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的12道客觀題目；2關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)；3解決問(wèn)題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過(guò)逆推思想、函

2、數(shù)與方程、歸納猜測(cè)、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力三【要點(diǎn)精講】1等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：數(shù)列對(duì)于數(shù)列123都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。注意：“從第二項(xiàng)起、“常數(shù)、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零2等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。說(shuō)明：1由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：假設(shè)為等比數(shù)列，那么。3等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)兩

3、個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，錯(cuò)位相減法。說(shuō)明：1和各三個(gè)可求第四個(gè)；2注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；3應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。四【典例解析】題型1：等比數(shù)列的概念例1“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當(dāng)首項(xiàng)a1<

4、;0時(shí)，an<0，那么an>an，即an+1>an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列；3中，假設(shè)a=b=0，cr，此時(shí)有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，假設(shè)將條件改為b=，那么成為不必要也不充分條件。點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。例21：假設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=an+b(a1)，那么數(shù)列an是等比數(shù)列；2：假設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=an2+bn+c(a0)，那么數(shù)列an是等差數(shù)列；3：假設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=nan，那么數(shù)列an a0個(gè) b1個(gè) c2個(gè) d3個(gè)解析：

5、1得，a1=a+b，當(dāng)n2時(shí)，an=snsn1=(a1)·an1。假設(shè)an是等比數(shù)列，那么=a，即=a，所以只有當(dāng)b=1且a0時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列。2得，a1=a+b+c，當(dāng)n2時(shí)，an=snsn1=2na+ba，假設(shè)an是等差數(shù)列，那么a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列an才是等差數(shù)列。3得，a1=a1，當(dāng)n2時(shí)，an=snsn1=a1，顯然an是一個(gè)常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a10；即a1時(shí)數(shù)列an才又是等比數(shù)列。sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確判斷數(shù)列ana。題型2：等比數(shù)列的判定例3等比數(shù)列中，那么其前3項(xiàng)的和的取值范圍是(d ) 【

6、解1】：等比數(shù)列中 當(dāng)公比為1時(shí)， ； 當(dāng)公比為時(shí)， 從而淘汰應(yīng)選d；【解2】：等比數(shù)列中 當(dāng)公比時(shí)，； 當(dāng)公比時(shí)， 應(yīng)選d；【考點(diǎn)】：此題重點(diǎn)考察等比數(shù)列前項(xiàng)和的意義，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及均值不等式的應(yīng)用；【突破】：特殊數(shù)列入手淘汰；重視等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和，以及均值不等式的應(yīng)用，特別是均值不等式使用的條件；點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等比數(shù)列的概念和根本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。例4浙江文設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù) i 求及； ii假設(shè)對(duì)于任意的，成等比數(shù)列，求的值解當(dāng)， 經(jīng)驗(yàn)，式成立， 成等比數(shù)列，即，整理得：，對(duì)任意的成立， 題型3：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用例5一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把

7、第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；那么2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，。點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的根本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。例6(山東卷文)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. 1求r的值；11當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和解:因?yàn)閷?duì)任意的

8、,點(diǎn)，均在函數(shù)且,當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列, 所以, 公比為, 所以2當(dāng)b=2時(shí)，, 那么 相減,得所以求的基此題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.例71安徽卷文數(shù)列 的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時(shí)，【思路】由可求出，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出后，進(jìn)而得到，接下來(lái)用作差法來(lái)比擬大小，這也是一常用方法【解析】(1)由于當(dāng)時(shí), 又當(dāng)時(shí)數(shù)列項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為 (2)由(1)知由即即又時(shí)成立,即由于恒成立. 因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于等比數(shù)列求和問(wèn)題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)應(yīng)好首項(xiàng)和

9、公比求出最終結(jié)果即可例81設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分別求出an及bn的前10項(xiàng)的和s10及t10；2在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3，an，使這n2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，bn，使這n2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記ana1a2a3an，bnb1b2b3bn.求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)；當(dāng)n7時(shí)，比擬an與bn的大小，并證明你的結(jié)論。3an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a10，a23，an1anan12an22，n3，4，5，求a3；證明anan22，n3，4，5，；求an的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和sn。解析：1an為等差數(shù)

10、列，bn為等比數(shù)列，a2a42a3，b2b4b32a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b3，a3由a11，a3知an的公差為d，s1010a1由b11，b3知bn的公比為q或q當(dāng)q時(shí)，當(dāng)q時(shí)，。2設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，bn，2。那么a1a11·q a21·q·1·q2 a31·q·1·q2·1·q3又an21·qn12得qn12，anq·q2qnqn1，2，3又bn21n1d2 n1d1b1

11、b11d b2b2b11d12d bn1d1ndnanbn，當(dāng)n7時(shí)證明：當(dāng)n7時(shí)，2358·an bn×7，anbn設(shè)當(dāng)nk時(shí)，anbn，那么當(dāng)nk1時(shí)，又ak+1·且akbk ak1·kak1bk1又k8，9，10 ak1bk10，綜上所述，anbn成立.3解：由題設(shè)得a3a410，且a3、a4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10假設(shè)a31，那么a410，a5，與題設(shè)矛盾假設(shè)a35，那么a42，a5，與題設(shè)矛盾假設(shè)a310，那么a41，a560，a6，與題設(shè)矛盾.所以a32.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3，a3a12，等式成立；假設(shè)當(dāng)nkk3

12、時(shí)等式成立，即akak22,由題設(shè)ak1akak12·ak22，因?yàn)閍kak220，所以ak1ak12，也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，等式ak1ak12成立；根據(jù)和，對(duì)于所有n3，有an+1=an1+2。解：由a2k1a2k112，a10，及a2ka2k12，a23得a2k12k1，a2k2k1，k1，2，3，即ann1n，n1，2，3，。所以sn點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等根底知識(shí)，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問(wèn)題的能力。題型5：等比數(shù)列的性質(zhì)例91在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，那么a3a4a5 a33 b72 c84 d1892上海，12在等差數(shù)

13、列an中，假設(shè)a100，那么有等式a1+a2+an=a1+a2+a19nn19，nn成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，假設(shè)b91，那么有等式 成立解析：1答案：c；解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4應(yīng)選c。2答案：b1b2bnb1b2b17nn17，nn*；解：在等差數(shù)列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a1

14、9，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，假設(shè)a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相應(yīng)地等比數(shù)列bn中，那么可得：b1b2bnb1b2b17nn17，nn*。點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。例101設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q。2在和之間插入n個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積。3設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列l(wèi)gan的前多少

15、項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4)解析：1設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，依題意設(shè)：a10，sn=80 ，s2n=6560。 s2n2sn ，q1；從而 =80，且=6560。兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81。a1=q10 即q1,從而等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)。a1qn-1=54,從而(q1)qn-1=qn-qn-1=54。qn-1=8154=27 q=3。a1=q1=2故此數(shù)列的首為2，公比為3。2解法1：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為，且公比為q，那么。解法2：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為，。3解法一設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,mn*，依題意有：，化簡(jiǎn)得，設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前

16、n項(xiàng)和為sn，那么sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg3)·n可見，當(dāng)n=時(shí)，sn最大，而=5,故lgan的前5項(xiàng)和最大，解法二 接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg，數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，令lgan0，得2lg2(n4)lg30，n，由于nn*,可見數(shù)列l(wèi)gan的前5項(xiàng)和最大。點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的根本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)

17、列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到。題型6：等差、等比綜合問(wèn)題例11公比為的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。()求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；()對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列求數(shù)列的前10項(xiàng)之和解析：()依題意可知：，()由()知,，所以數(shù)列的首項(xiàng)為,公差，,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。五【思維總結(jié)】1等比數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)1掌握等比數(shù)列定義q常數(shù)nn，同樣是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由an·an2來(lái)判