（整理版）線面面面平行的判定與性質(zhì)

1、9-4線面、面面平行的判定與性質(zhì)根底穩(wěn)固強(qiáng)化l是直線，、a假設(shè)l，l，那么b假設(shè)，l，那么lc假設(shè)l，l，那么d假設(shè)l，那么l答案c解析如圖在正方體abcda1b1c1d1中，取平面add1a1為，平面abcd為，b1c1為l，那么排除a、b；又取平面add1a1為，平面bcc1b1為，b1c1為l，排除d.2(文)m、n是兩條直線，、假設(shè)n，n，那么；假設(shè)平面上有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，那么；假設(shè)n、m為異面直線，n，n，m，m，那么a3個(gè)b2個(gè)c1個(gè)d0個(gè)答案b解析垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故正確；對(duì)于，假設(shè)平面上的三點(diǎn)在平面的異側(cè)，那么它們相交，故錯(cuò)；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和面

2、面平行的判定定理，可知正確(理)一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖，在原正方體紙盒中有以下結(jié)論：abefab與cm成60°ef與mn是異面直線mncd其中正確的選項(xiàng)是()a b c d答案d解析此題考查學(xué)生的空間想象能力，將其復(fù)原成正方體如下圖，abef，ef與mn是異面直線，abcm，mncd.只有正確，應(yīng)選d.3(·北京海淀期中)平面l，m是內(nèi)不同于l錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()a假設(shè)m，那么ml b假設(shè)ml，那么mc假設(shè)m，那么ml d假設(shè)ml，那么m答案d解析a符合直線與平面平行的性質(zhì)定理；b符合直線與平面平行的判定定理；c符合直線與平面垂直的性質(zhì)；對(duì)于d，只有時(shí)，才能成立4(文)(&#

3、183;安徽省合肥市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))設(shè)a、b是兩條不同的直線，、a假設(shè)a，b，那么abb假設(shè)a，ba，b，那么c假設(shè)a，b，那么abd假設(shè)a，a，那么答案d解析對(duì)于選項(xiàng)d，可能會(huì)出現(xiàn)或與相交應(yīng)選項(xiàng)d錯(cuò)誤點(diǎn)評(píng)對(duì)于a，過(guò)b作平面b1，那么b，bb1，a，ab1，ab；對(duì)于b，a，ba，b，b，；對(duì)于c，a，a，又b，ab.(理)對(duì)于平面和共面的直線m、na假設(shè)m，n與所成的角相等，那么mnb假設(shè)m，n，那么mnc假設(shè)m，mn，那么nd假設(shè)m，n，那么mn答案d解析正三棱錐pabc的側(cè)棱pa、pb與底面成角相等，但pa與pb相交應(yīng)排除a；假設(shè)m，n，那么m與n平行或相交，應(yīng)排除b；假設(shè)m，mn，那

4、么n或n，應(yīng)排除c.m、n共面，設(shè)經(jīng)過(guò)m、n的平面為，m，m，n，nm，故d正確5(·河南省鄭州市模擬)設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，a、ba假設(shè)a，b，那么abb假設(shè)a，b，ab，那么c假設(shè)a，b，ab，那么d假設(shè)a、b在平面內(nèi)的射影互相垂直，那么ab答案c解析a，ab，b.又b，.選項(xiàng)c正確；對(duì)于a選項(xiàng)可能出現(xiàn)兩直線相交或異面的情況；選項(xiàng)b中可能出現(xiàn)兩平面相交的情況；三棱錐pabc中，pa、ab、ac兩兩垂直，且相等，顯然pb、pc在平面abc內(nèi)的射影ab、ac垂直，而bpc60°，故d錯(cuò).6(·青島模擬)設(shè)兩個(gè)平面、，直線l，以下三個(gè)條件：l；l；a3 b2 c1

5、d0答案c解析； l，此時(shí)可能l，l，此時(shí)l與還可能平行、斜交，應(yīng)選c.7正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1cm，過(guò)ac作平行于對(duì)角線bd1的截面，那么截面面積為_(kāi)答案cm2解析如圖，截面acebd1，平面bdd1平面aceef，其中f為ac與bd的交點(diǎn)，e為dd1的中點(diǎn)，易求sacecm2.8互相平行的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線；假設(shè)平面平面，那么平面內(nèi)任意一條直線m平面；假設(shè)平面與平面的交線為m，平面內(nèi)的直線n直線m，那么直線n平面；假設(shè)平面內(nèi)的三點(diǎn)a、b、c到平面的距離相等，那么.答案解析中，互相平行的兩條直線的射影可能重合，錯(cuò)誤；正確；中，平面與平面不一

6、定垂直，所以直線n就不一定垂直于平面，錯(cuò)誤；中，假設(shè)平面內(nèi)的三點(diǎn)a、b、c在一條直線上，那么平面與平面可以相交，錯(cuò)誤9(·浙江五校聯(lián)考)m、n是兩條不重合的直線，、假設(shè)m，n，m，n，那么；假設(shè)，m，n，那么mn；假設(shè)m，mn，那么n；假設(shè)n，n，m，那么mn.答案解析中，直線m、n中，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面的位置關(guān)系可以平行或相交，假設(shè)相交，其交線必與第三個(gè)平面垂直，m，又n，mn正確；假設(shè)mn，m，那么n，又，那么n或n.10(文)(·遼寧文，18)如圖，直三棱柱abcabc，bac90°，abac，aa1，點(diǎn)m、n分別為ab和bc的中點(diǎn)(1)證明：mn平

7、面aacc；(2)求三棱錐amnc的體積(錐體體積公式vsh，其中s為底面面積，h為高)分析(1)欲證mn平面aacc，須在平面aacc內(nèi)找到一條直線與mn平行，由于m、n分別為ab，bc的中點(diǎn)，bc與平面aacc相交，又m為直三棱柱側(cè)面abba的對(duì)角線ab的中點(diǎn)，從而m為ab的中點(diǎn)，故mn為abc的中位線，得證(2)欲求三棱錐amnc的體積，注意到直三棱柱的特殊性和點(diǎn)m、n為中點(diǎn)，可考慮哪一個(gè)面作為底面有利于問(wèn)題的解決，視amc為底面，那么samcsabc，vamncvnabc，又vnabcvanbc，易知an為三棱錐anbc的高，于是易得待求體積解析(1)證明：連接ab，ac，由題意知，a

8、bba為平行四邊形，所以m為ab中點(diǎn)又因?yàn)閚為bc的中點(diǎn)，所以mnac.又mn平面aacc，ac平面aacc，因此mn平面aacc.(2)連接bn，由bac90°，abac，三棱柱abcabc為直三棱柱，anbc，平面abc平面bbccbc，所以an平面nbc.又anbc1，故vamncvnamcvnabcvanbc.點(diǎn)評(píng)此題考查了線面平行的證明，錐體的體積兩方面的問(wèn)題，對(duì)于(1)還可以利用面面平行(平面mpn平面aacc，其中p為ab的中點(diǎn))來(lái)證明；(2)還可利用割補(bǔ)法求解(理)(·浙江文，20)如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，adab，

9、ab，ad2，bc4，aa12，e是dd1的中點(diǎn)，f是平面b1c1e與直線aa1的交點(diǎn)(1)證明：efa1d1；ba1平面b1c1ef；(2)求bc1與平面b1c1ef所成角的正弦值分析(1)欲證efa1d1，b1c1a1d1，只需證efb1c1，故由線面平行的性質(zhì)定理“線面平行線線平行可推證要證ba1平面b1c1ef，需證ba1b1c1，ba1b1f，要證ba1b1c1，只需證b1c1平面aa1b1b，要證ba1b1f，通過(guò)在側(cè)面正方形aa1b1b中計(jì)算證明即可(2)設(shè)ba1與b1f交于點(diǎn)h，連接c1h，那么bc1h就是所求的角解析(1)證明：c1b1a1d1，c1b1平面add1a1，c1

10、b1平面a1d1da.又平面b1c1ef平面a1d1daef，c1b1ef，a1d1ef.bb1平面a1b1c1d1，bb1b1c1，又b1c1b1a1，b1c1平面abb1a1.b1c1ba1.在矩形abb1a1中，f是aa1的中點(diǎn)，tana1b1ftanaa1b，即a1b1faa1b，ba1b1f.又ba1b1c1，所以ba1平面b1c1ef.(2)設(shè)ba1與b1f交點(diǎn)為h，連接c1h.由(1)知ba1平面b1c1ef，所以bc1h是bc1與平面b1c1ef所成的角在矩形aa1b1b中，由ab，aa12，得bh.在rtbhc1中，由bc12，bh得，sinbc1h.所以bc1與平面b1c1

11、ef所成角的正弦值是.點(diǎn)評(píng)此題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，線面角等根底知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力.能力拓展提升11.(·廣東省廣州市質(zhì)檢)如圖，正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別為棱ab、cc1的中點(diǎn)，在平面add1a1內(nèi)且與平面d1ef平行的直線()a不存在 b有1條c有2條 d有無(wú)數(shù)條答案d解析由題設(shè)知平面add1a1與平面d1ef有公共點(diǎn)d1，由平面的根本性質(zhì)3知必有過(guò)該點(diǎn)的公共直線l，在平面add1a1內(nèi)與l平行的直線有無(wú)數(shù)條，且它們都不在平面d1ef內(nèi)，由線面平行的判定定理知它們都與平面d1ef平行，應(yīng)選d.12(文)如圖，假設(shè)是長(zhǎng)方體abcd

12、a1b1c1d1被平面efgh截去幾何體efghb1c1后得到的幾何體，其中e為線段a1b1上異于b1的點(diǎn)，f為線段bb1上異于b1的點(diǎn)，且eha1d1，那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是()aehfgb四邊形efgh是矩形c是棱柱d是棱臺(tái)答案d解析eha1d1，ehb1c1b1c1平面efgh，b1c1fg，是棱柱，應(yīng)選d.a三角形的兩條邊平行于一個(gè)平面，那么第三邊也平行于這個(gè)平面b平面平面，a，過(guò)內(nèi)的一點(diǎn)b有唯一的一條直線b，使bac，、與、的交線分別為a、b和c、d，那么abcdd一條直線與兩個(gè)平面成等角是這兩個(gè)平面平行的充要條件答案d解析三角形的任意兩邊必相交，故三角形所在的平面與這個(gè)平面平

13、行，從而第三邊也與這個(gè)平面平行，a真；假設(shè)在內(nèi)經(jīng)過(guò)b點(diǎn)有兩條直線b、c都與a平行，那么bc，與b、c都過(guò)b點(diǎn)矛盾，故b真；，a，b，ab，同理cd；又，a，c，al，abcd，故c真；在正三棱錐pabc中，pa、pb與底面abc成等角，但pa與pb相交，故d假13(·南昌二模)假設(shè)p是兩條異面直線l、m過(guò)點(diǎn)p有且僅有一條直線與l、m都平行；過(guò)點(diǎn)p有且僅有一條直線與l、m都垂直；過(guò)點(diǎn)p有且僅有一條直線與l、m都相交；過(guò)點(diǎn)p有且僅有一條直線與l、m都異面答案解析p不存在一條直線與l、m都平行；p有且僅有一條直線與l，m都垂直，這條直線與兩異面直線的公垂線平行或重合；p也可能沒(méi)有一條直線與

14、l、m都相交；p可以作出無(wú)數(shù)條直線與l、m都異面，這無(wú)數(shù)條直線在過(guò)點(diǎn)p且與l、m都平行的平面上點(diǎn)評(píng)第p與l確定的平面m時(shí)，或點(diǎn)p與m確定的平面l時(shí)，過(guò)點(diǎn)p與l、m都相交的直線不存在14以下四個(gè)正方體圖形中，a、b為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，m、n、p分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出ab平面mnp的圖形的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào))答案解析如圖，mnad，npac，平面mnp平面adbc，ab平面mnp.如圖，假設(shè)ab平面mnp，設(shè)bdmpq，那么nq為平面abd與平面mnp的交線，abnq，n為ad的中點(diǎn)，q為bd的中點(diǎn)，但由m、p分別為棱的中點(diǎn)知，q為bd的分點(diǎn)，矛盾，ab 平面mnp.如圖，

15、bd綊ac，四邊形abdc為平行四邊形，abcd，又m、p為棱的中點(diǎn)，mpcd，abmp，從而可得ab平面mnp.如圖，假設(shè)ab平面mnp，并設(shè)直線ac平面mnpd，那么有abmd，m為bc中點(diǎn)，d為ac中點(diǎn)，這樣平面mnd平面ab，顯然與題設(shè)條件不符，ab 平面mnp.15(文)(·廣東揭陽(yáng)一模)如圖，平行四邊形abcd中，bc6，正方形adef所在平面與平面abcd垂直，g、h分別是df、be的中點(diǎn)(1)求證：gh平面cde；(2)假設(shè)cd2，db4，求四棱錐fabcd的體積解析(1)證法1：efad，adbc，efbc.又efadbc，四邊形efbc是平行四邊形，h為fc的中點(diǎn)

16、又g是fd的中點(diǎn)，ghcd.gh平面cde，cd平面cde，gh平面cde.證法2：連接ea，adef是正方形，g是ae的中點(diǎn)在eab中，ghab.又abcd，ghcd.hg平面cde，cd平面cde，gh平面cde.(2)平面adef平面abcd，交線為ad，且faad，fa平面abcd.adbc6，faad6.又cd2，db4，cd2db2bc2，bdcd.sabcdcd·bd8，vfabcdsabcd·fa×8×616.(理)如圖，在多面體abcdef中，四邊形abcd是正方形，ab2ef2，efab，effb，bfc90°，bffc，h

17、為bc的中點(diǎn)(1)求證：fh平面edb；(2)求證：ac平面edb；(3)求四面體bdef的體積解析(1)證明：設(shè)ac與bd交于點(diǎn)g，聯(lián)結(jié)eg、gh.那么g為ac中點(diǎn)，h是bc中點(diǎn)，gh綊ab，又ef綊ab，四邊形efhg為平行四邊形fheg.又eg平面edb，而fh平面edb，fh平面edb.(2)證明：efab，effb.abfb.又四邊形abcd為正方形，abbc，又fbbcb，ab平面bfc.fh平面bfc，abfh.又fbfc，h是bc中點(diǎn)，fhbc.又abbcb，fh平面abcd，fhac.又egfh，egac，又acbd，bdegg，ac平面edb.(3)efbf，bffc且ef

18、fcf，bf平面cdef，即bf平面def.bf為四面體bdef的高又bcab2，bffc.四邊形cdef為直角梯形，且ef1，cd2.sdef(12)××2×vbdef××.16.(·遼寧大連市、沈陽(yáng)市聯(lián)考)如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，四邊形abcd為長(zhǎng)方形，ad2ab，點(diǎn)e、f分別是線段pd、pc的中點(diǎn)(1)證明：ef平面pab；(2)在線段ad上是否存在一點(diǎn)o，使得bo平面pac，假設(shè)存在，請(qǐng)指出點(diǎn)o的位置，并證明bo平面pac；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析(1)證明：efcd，cdab，efab，又ef平面pa

19、b，ab平面pab，ef平面pab.(2)在線段ad上存在一點(diǎn)o，使得bo平面pac，此時(shí)點(diǎn)o為線段ad的四等分點(diǎn)，且aoad，pa底面abcd，pabo，又長(zhǎng)方形abcd中，ad2ab，abodac，abobacdacbac90°，acbo，又paaca，bo平面pac.a假設(shè)兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線平行b假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，那么這兩個(gè)平面平行c假設(shè)一條直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行d假設(shè)兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行答案c解析此題考查了線面角，面面垂直，線面平行，面面平行等位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，對(duì)于a選項(xiàng)，兩條直線也可相交，b選項(xiàng)假設(shè)三點(diǎn)在同一條直線上，平面可相交d選項(xiàng)這兩個(gè)平面可相交(