（整理版）考點(diǎn)10數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、考點(diǎn)10 數(shù)列的綜合應(yīng)用一、解答題1. ·湖北高考理科·t19本小題總分值13分?jǐn)?shù)列的前項和為，且滿足： ， n*，.1求數(shù)列的通項公式；2假設(shè)存在 n*，使得，成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的n*，且，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】(1)利用，將轉(zhuǎn)化為，再與 分兩種情況求解；2時易證明；時，由“存在使得成等差數(shù)列可得，據(jù)此可求出，最后可證明，即對任意的且時，有成等差數(shù)列.【精講精析】由，可得，兩式相減可得即，又，所以時，數(shù)列為：當(dāng)，時，由，所以，于是由，可得，成等比數(shù)列，綜上，數(shù)列的通項公式為對于任意的n*，且，成等差數(shù)列.證明如下 ：當(dāng)時，由知，對于任意的n

2、*，且，成等差數(shù)列.當(dāng)，時，.假設(shè)存在，使得使得成等差數(shù)列，那么，即，由知，的公比，于是對于任意的n*，且，從而，即成等差數(shù)列.綜上，對于任意的且時，有成等差數(shù)列.2.·湖北高考文科·17本小題總分值12分成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的、.(i) 求數(shù)列的通項公式；(ii) 數(shù)列的前n項和為，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.【思路點(diǎn)撥】()設(shè)等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為，由條件可構(gòu)造含有的方程組求解；()由先求出，再利用定義證明數(shù)列是等比數(shù)列.【精講精析】()設(shè)等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d，a，a+d.依題意是，得a-d+a+a+d

3、=15，解得a=5.所以中的b3,b4,b5依次為7-d，10,18+d.依題意，有(7-d)(18+d)=100，解得d=2或d=-13(舍去).故的第3項為5，公比為2.由b3=b1·22，即5=b1·22，解得.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，其通項公式為：.()數(shù)列的前n項各，即.所以，.因此數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列.3·全國高考理科·20設(shè)數(shù)列滿足且求的通項公式；設(shè)【思路點(diǎn)撥】解此題突破口關(guān)鍵是由式子得到是等差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項公式.第ii問求出的通項公式注意觀察到能采用裂項相消的方式求和.【精講精析】 (i) 是公差為1

4、的等差數(shù)列，所以(ii).4、·上海高考理科·t22數(shù)列和的通項公式分別為，.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列1寫出；2求證：在數(shù)列中，但不在數(shù)列中的項恰為；3求數(shù)列的通項公式.【思路點(diǎn)撥】此題考查數(shù)列有關(guān)知識，利用兩個等差數(shù)列，組合成一個新的數(shù)列，進(jìn)而考察新數(shù)列性質(zhì)，以及求其通項公式，緊緊圍繞新數(shù)列的構(gòu)成特點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵?！揪v精析】1對數(shù)列，依次是9，12，15，18，21對數(shù)列，依次是9，11，13，15，17，19，21，所以，（2） 表示的是從12開始的所有的能被6整除的數(shù)，當(dāng)然能被2整除，而表示的是從9開始的所有奇數(shù)，故均不在中；再證明：項均在中，表

5、示的·是從9開始除以6余3的數(shù)，故都是奇數(shù)，而表示的是從9開始的所有奇數(shù)，故項均在中，這就證明了在數(shù)列中的的項恰好是所有的偶數(shù)項.（3） 根據(jù)上面的討論可知6是數(shù)列在自然數(shù)中的截取周期，即在從9開始連續(xù)的6項自然數(shù)中，第一項一定是與的公共項，第二項不存在于中，第三項一定是中的項，第四項一定是中的項，第五項是中的項，第六項不在中，這樣的話數(shù)列是以4為截取周期的，故的通項公式是5、·上海高考文科·t23數(shù)列和的通項公式分別為，.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列1求三個最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項，又是數(shù)列中的項；2數(shù)列中有多少項不是數(shù)列中的項？請說明理由；3

6、求數(shù)列的前項和.【思路點(diǎn)撥】此題考查數(shù)列有關(guān)知識，利用兩個等差數(shù)列，組合成一個新的數(shù)列，進(jìn)而考察新數(shù)列性質(zhì)，以及求其通項公式，緊緊圍繞新數(shù)列的構(gòu)成特點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵?！揪v精析】1顯然表示的是從9開始能被3整除的所有的正整數(shù)，故最小的三個數(shù)為9，15，21（2） 可知6是數(shù)列在自然數(shù)中的截取周期，即在從9開始連續(xù)的6項自然數(shù)中，第一項一定是與的公共項，第二項不存在于中，第三項一定是中的項，第四項一定是中的項，第五項是中的項，第六項不在中，3由2可得數(shù)列是以4為截取周期的，故的通項公式是因為=所以6、·四川高考文科·20是以為首項，為公比的等比數(shù)列，為它的前項和.當(dāng)成等差數(shù)列時，求的值；()當(dāng)成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)也成等差數(shù)列.【思路點(diǎn)撥】直接利用求公比. ()當(dāng)時，顯然成等差數(shù)列. 當(dāng)時，即為 可得再證明成立.【精講精析】由得 當(dāng)成等差數(shù)列時， 可得化簡得 解得 ()假設(shè)的每項，此時顯然成等差數(shù)列. 假設(shè)由成等差數(shù)列可得. 即 整理得 成等差數(shù)列.7.(·重慶高考理科·t21) 本小題總分值12分，()小問5分，()小問7分設(shè)實數(shù)數(shù)列的前項和滿足n()假設(shè)成等比數(shù)列,求和;()求證:對有.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中的條件可以列出等式求和的值,靈活運(yùn)用題目中的條件,找到與的關(guān)系是求解第