“三線合一”性質(zhì)的逆定理

1、一、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的逆定理“三線合一”性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的 高互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分線和它所對(duì)邊的中線重合，那 么這個(gè)三角形是等腰三角形。如果三角形中任一角的角平分線和它所對(duì)邊的高重合，那么 這個(gè)三角形是等腰三角形。如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個(gè) 三角形是等腰三角形。簡言之：三角形中任意兩線合一，必能推導(dǎo)出它是一個(gè)等腰三角形。證明：E知：_JABC中，AD是/BAC的角平分線，AD是BC邊上的中線, 求證：ABC是等腰三角形。分析：要證等腰三角形就是要證AB=AC,直接通過證明這兩條線所在的三角形全等不

2、行,那就換種思跖，在有中點(diǎn)的幾何證明題中常用的添輔助 線的方法是“延長加倍”，即延長AD到E點(diǎn),使AD=ED, 由此問題就解決了。證明：延長AD到E點(diǎn)，使AD=ED,連接CE在ABD和ECD中zAD=r>E±ADB=/EDC、D=CDJABP JECP .AB=CE, ZBAD=ZCEP AD是BAC的角平分線/._BAD=ZCAD CED=/CAD.'.AC=CE/.AB=AC是等腰三角形。三個(gè)逆定理中以逆定理在幾何證明的應(yīng)用中尤為突出0證明：已知：ABC中，AD是_BAC的角平分線，AD是BC 邊上的高，求證：ABC是等腰三角形。分析：通過(ASA)的方法來證明AB

3、D和ACD的全等，由 此推出AB=AC得出ABC是等腰三角形證明：已知：ABC中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高, 求證：ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，用(SAS)的方法來證明ABD和ACD的全等，由此推出AB=AC 得出ABC是等腰三角形。(即垂直平分線的定 理)二、“三線合一”的逆定理在輔助線教學(xué)中的應(yīng)用(1)逆定理的簡單應(yīng)用例題1已知：如圖，在ABC中，AD平分BAC, CD±AD,D 為全足，AB>AC。求證：Z2= Z1 + ZB分析：由“AD平分BAC, CD_LAD”推出AD所在的 三角形是等腰三角形，所以延長CD交AB于點(diǎn)E,

4、由逆定理得出AEC是等腰三角形由此就可得出 Z2=ZAEC, XZAEC=Z1 + ZB,所以結(jié)t侖得證。(2)逆定理與中位線綜合應(yīng)用 例題1已知：如圖，在ABC中，AD平分/BAC,交BC于點(diǎn)D, 過點(diǎn)C作AD的垂線，交AD的延長線于點(diǎn)E, F為BC的 中點(diǎn)，連結(jié)EF。求證：EF/AB, EF=(AC-AB) 分析：由已知可知，線段AE既是/BAC的角平分 線又是EC邊上的高，就想到把AE所在的等腰三角形構(gòu)造 出來，因而就可添輔助線“分別延長CE、AB交于點(diǎn)G”。 簡單證明：由逆定理得出AGC是等腰三角形， 點(diǎn)E是GC的中點(diǎn).EF是BGC的中位線 得證。例題2如圖，已知：在ABC中，BD、C

5、E分別平分/ABC, ACB,AGJ_BD 于 G, AF_LCE 于 F, AB=14cm,AC=9cm,BC= 18cm. 求：FG的長。分析：通過已知條件可以知道線段CF和BG滿足逆 定理的條件，因此就想到了分別延長AG、A F來構(gòu)造等腰三角形。簡單證明：分別延長AG、AF交BC于點(diǎn)K、H由逆定理得出ABK是等腰三角形 .點(diǎn)G是AK的中點(diǎn)同理可得點(diǎn)F是AH的中點(diǎn) .FG是AHK的中位線由此就可解出FG的長。（3）逆定理與直角三角形的綜合應(yīng)用例題1已知，如圖，AD為RtABC斜邊BC上的高， ABD的平分線交AD于M,交AC于P, /CAD的平分線交BP于Q。求證：QAD是等腰三角形。分析

6、：由直角三角形的性質(zhì)可知道/AQM=90° , 由此線段BQ滿足了逆定理2的條件，所 以想到延長AQ交BC于點(diǎn)N。簡單證明：由添輔助線得出ABN是等腰三角形二.Q點(diǎn)是AN的中點(diǎn)在RtAND中，Q是中點(diǎn)A.QA=DQ,例題2如圖，在等腰ABC中，ZC=90e ,如果點(diǎn)B到/A的平分線AD的距離為5cm,求AD的 長。分析：已知條件滿足了逆定理2,所以延長BE和AC,交于 點(diǎn)F。簡單證明：由所添輔助線可知ABF是等腰三角形.E點(diǎn)是BF的中點(diǎn)/.BF=2BE=10再由ADC和BFC的全等得出AD=BF結(jié)論求出。對(duì)已知條件的合理剖析，找出關(guān)鍵語句，滿足定理?xiàng)l件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造等腰三角

7、 形，以達(dá)到解決問題的目的。（4）逆定理的簡單應(yīng)用（即垂直平分線的應(yīng)用）例題1 （2006年寶山區(qū)中考模擬題）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像開口向下，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B,頂點(diǎn)A在直線y=x 上，（）為坐標(biāo)原點(diǎn)。證明：AQB是等腰直角三角形分析：由拋物線的對(duì)稱性可添輔助線-一過點(diǎn)A作ADLx軸，垂足為D及直線y=x的性質(zhì), 可以知道AOB是等腰直角三角形。例題2如圖，以ABC的邊AB, AC為邊分 別向形外作正方形ABDE和ACFG, 求證：若DF " BC,則AB=AC分析：從已知條件出發(fā)想到了正方形 的性質(zhì)：邊，角以及對(duì)角線：邊的相等，角的 相等并都等于90度，現(xiàn)要證明

8、等腰三 角形，能與其最密切的想到是否也能構(gòu) 造直角呢？于是就想到了添輔線AH簡單證明：分別過點(diǎn)A、D、F作AHLBC, D1，BC,FJ，BC,分別交BC于點(diǎn)H, CB的延長 線于1, BC的延長線于J由 DF " BC, DI=又AHCSCJF (AAS), JABHJBPI(AAS)得證。抓住已知條件和結(jié)論的聯(lián)系，(例題1中拋物線的對(duì)稱性和等腰三角形的垂直平分線之間的 內(nèi)在聯(lián)系，例題2中正方形中直角的信息獲得與等腰三角形的垂線間的間接系,)通過獲 取的信息以及對(duì)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆定理的熟練把握，再進(jìn)行對(duì)題目的重新整 臺(tái)，就能快速做出解題的策略，添加相應(yīng)的輔助線，對(duì)于解

9、題有很大的幫助。(5)逆定理在作圖中的應(yīng)用巴知：線段m,及/瓦 求作ABC,使/ABC=/a, /ACB=/§,且AB+BC+CA=m分析：對(duì)于作圖題，一般先在草稿紙上畫出要求 作圖形的草圖，再把相應(yīng)的已知條件在圖上標(biāo)出，通過對(duì)草圖的解剖與分析再把圖用尺規(guī)規(guī)范的做出。通過草圖的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三邊的和為m以及外角的性質(zhì)我們可以找到一頂點(diǎn)A,再由垂直平分線與邊的交點(diǎn)找到另兩個(gè)頂點(diǎn)B和C。作法：1、畫射線QP,在QP上截取線段OQ=m,2、畫射線 OM,使NMOP=l/2/a3、畫射線QN,使/NQQ=l/2/§,交射線QM于點(diǎn)A4、分別作AQ、AQ的垂直平分線，交OQ于B, C兩點(diǎn)，JABC就是所求三角形。等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命