§1-2-導熱微分方程式及單值性條件

1、Heat Transfer傳熱學傳熱學 Building Energy Efficiency is the Wave of the Future ! 建筑工程建筑工程系系1 導熱理論基礎導熱理論基礎 建筑環(huán)境與設備工程專業(yè)主干課程之一建筑環(huán)境與設備工程專業(yè)主干課程之一 !Chapter1 Heat conduction theory L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 傅里葉定律：傅里葉定律：gradtq 建立導熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐建立導熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐標和時間變化的內在聯(lián)系。標

2、和時間變化的內在聯(lián)系。 理論基礎：傅里葉定律理論基礎：傅里葉定律 + + 能量守恒方程能量守恒方程 定義：定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學表達式，稱為的溫度場應滿足的數(shù)學表達式，稱為導熱微分方程導熱微分方程。（一）導熱微分方程的推導（一）導熱微分方程的推導一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 1-2 導熱微分方程式及單值性條件導熱微分方程式及單值性條件L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 假設：假設：(1) (1) 所研究的物體是各向同性的連

3、續(xù)介質所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質 (2) (2) 熱導率、比熱容和密度均為已知熱導率、比熱容和密度均為已知 (3) (3) 物體內具有均勻分布內熱源；強度物體內具有均勻分布內熱源；強度 q qv v W/m W/m3 3; ; q qv v 表示單位體積的導熱體在單表示單位體積的導熱體在單 位時間內放出的熱量位時間內放出的熱量 導熱體內取一微元體，導熱體內取一微元體，根據(jù)能量守恒定律，根據(jù)能量守恒定律，單位時間凈導入微元體的熱量單位時間凈導入微元體的熱量 加上微元體內熱加上微元體內熱源生成的熱量源生成的熱量 應等于微元體內能的增加量應等于微元體內能的增加量 dv dv一一 、導熱微分方程

4、、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 1 1、導入與導出微元體的凈熱量、導入與導出微元體的凈熱量 d d 時間內、沿時間內、沿 x x 軸方向、軸方向、經(jīng)經(jīng) x x 表面導入的熱量表面導入的熱量：xxdq dydzd d d 時間內、沿時間內、沿 x x 軸方軸方向、經(jīng)向、經(jīng) x+dx x+dx 表面導出表面導出的熱量：的熱量：x dxx dxdqdydzddxxqqqxxdxx一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering D

5、epartment d d 時間內、沿時間內、沿 x x 軸方向導入與導出微元體凈熱量軸方向導入與導出微元體凈熱量xxx dxqdddxdydzdx d d 時間內、沿時間內、沿 y y 軸方向導入與導出微元體凈熱量軸方向導入與導出微元體凈熱量yyy dyqdddxdydzdy d d 時間內、沿時間內、沿 z z 軸方向導入與導出微元體凈熱量軸方向導入與導出微元體凈熱量zzz dzqdddxdydzdz d d 時間內、沿時間內、沿 z z 軸方向導入與導出微元體凈熱量軸方向導入與導出微元體凈熱量一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Constructi

6、on Engineering Department 導入與導出凈熱量導入與導出凈熱量: :()yxzdqqqddxdydzdxyz 傅里葉定律：傅里葉定律：xtqxytqyztqz()()()dtttdxdydzdxxyyzz 一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 2 2、 d d 時間微元體內熱源的發(fā)熱量時間微元體內熱源的發(fā)熱量vvq dxdydzd 3 3、微元體在、微元體在d d 時時間內能的增加量間內能的增加量 dxdydzdtcdv 一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o

7、 g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 將以上各式代入熱平衡關系式，并整理得：將以上各式代入熱平衡關系式，并整理得： 這是笛卡爾坐標系中這是笛卡爾坐標系中三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的一般表達式。三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的一般表達式。 其物理意義：其物理意義：反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關系。反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關系。 ()()()vttttcqxxyyzz非穩(wěn)態(tài)項非穩(wěn)態(tài)項源項源項擴散項擴散項一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering

8、Department 1 1）對上式化簡：）對上式化簡： 導熱系數(shù)為常數(shù)導熱系數(shù)為常數(shù) cztytxtat222222)(式中，式中， ，稱為熱擴散率。，稱為熱擴散率。)/( ca導熱系數(shù)為常數(shù)導熱系數(shù)為常數(shù) 、無內熱源、無內熱源 222222()ttttaxyz一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 導熱系數(shù)為常數(shù)導熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài)、穩(wěn)態(tài) 2222220tttxyz 導熱系數(shù)為常數(shù)導熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài)、穩(wěn)態(tài) 、無內熱源、無內熱源 2222220tttxyz一一 、導熱微分方程、導

9、熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 綜上說明：綜上說明： （ 1 1 ）導熱問題仍然服從能量守恒定律；）導熱問題仍然服從能量守恒定律； （ 2 2 ）等號左邊是單位時間內微元體熱力學能的增量（非）等號左邊是單位時間內微元體熱力學能的增量（非穩(wěn)態(tài)項）；穩(wěn)態(tài)項）； （ 3 3 ）等號右邊前三項之和是通過界面的導熱使微分元體）等號右邊前三項之和是通過界面的導熱使微分元體在單位時間內在單位時間內 增加的能量增加的能量 ( ( 擴散項擴散項 ) ) ； （ 4 4 ）等號右邊最后項是源項；）等號右邊最后項是源項；（

10、5 5 ）若某坐標方向上溫度不變，該方向的凈導熱量為零，）若某坐標方向上溫度不變，該方向的凈導熱量為零，則相應的擴散項即從導熱微分方程中消失。則相應的擴散項即從導熱微分方程中消失。 一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department （1 1）熱擴散率的物理意義）熱擴散率的物理意義 由熱擴散率的定義可知：由熱擴散率的定義可知： 1 1） 分子是物體的導熱系數(shù)，其數(shù)值越大，在相同溫度梯分子是物體的導熱系數(shù)，其數(shù)值越大，在相同溫度梯度下，可以傳導更多的熱量。度下，可以傳導更多的熱量。 2 2）分母是單位

11、體積的物體溫度升高）分母是單位體積的物體溫度升高 1 1 所需的熱量。所需的熱量。其數(shù)值越小，溫度升高其數(shù)值越小，溫度升高11所吸收的熱量越少，可以剩下更所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內部傳遞，使物體內溫度更快的隨界面溫度多的熱量向物體內部傳遞，使物體內溫度更快的隨界面溫度升高而升高。升高而升高。a a 反映了導熱過程中材料的導熱能力（反映了導熱過程中材料的導熱能力（ ）與沿途物質儲熱）與沿途物質儲熱能力（能力（ c c ）之間的關系）之間的關系. .()ac4、有關說明、有關說明一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction

12、Engineering Department 由此可見由此可見物理意義物理意義： 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，說明物體的某一部分一值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散，其內部各點旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散，其內部各點溫度扯平的能力越大。溫度扯平的能力越大。 越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，也是也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫系數(shù)。材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫系數(shù)。熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內各部分溫度趨向熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內各部分

13、溫度趨向于均勻一致的能力。于均勻一致的能力。 一一 、導熱微分方程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department （2 ）導熱微分方程的適用范圍）導熱微分方程的適用范圍 1 1 ）適用于）適用于 q q 不很高，而作用時間長。同時傅立葉定律也不很高，而作用時間長。同時傅立葉定律也適用該條件。適用該條件。 2 2 ）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。3 3 ）若屬極低溫度（）若屬極低溫度（ -273 -273 ）時的導熱不適用。）時的導熱不適用。 一一 、導熱微分方

14、程、導熱微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 二、導熱過程的單值性條件二、導熱過程的單值性條件導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律+ +能能量守恒。它描寫物體的溫度隨時間和空間變化量守恒。它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。通的關系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。用表達式。單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件，單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界包括四項：幾何、物理、初始、邊界完整數(shù)學描述

15、：導熱微分方程完整數(shù)學描述：導熱微分方程 + + 單值性條件單值性條件L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 1 1、幾何條件：、幾何條件：說明導熱體的幾何形狀和大說明導熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等2 2、物理條件：、物理條件：說明導熱體的物理特征如：說明導熱體的物理特征如：物性參數(shù)物性參數(shù) 、c c 和和 的數(shù)值，是否隨溫度的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內熱源、大小和分布；變化；有無內熱源、大小和分布；3 3、初始條件：、初始條件：又稱時間條件，反映導熱又稱時間條件

16、，反映導熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)的初始狀態(tài) )0 ,(zyxft 、邊界條件、邊界條件: :反映導熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為反映導熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關系。系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關系。 二、導熱過程的單值性條件二、導熱過程的單值性條件L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 邊界條件常見的有四類邊界條件常見的有四類 （）第一類邊界條件（）第一類邊界條件: :該條件是給定該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度分布，它可以是時系統(tǒng)邊界上的溫度分布，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變間和空間的函數(shù)，也

17、可以為給定不變的常數(shù)值。的常數(shù)值。 t=f(y,z,) 0 x1 x （2 2）第二類邊界條件）第二類邊界條件: :該條件是給定該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當于給系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當于給定邊界上的熱流密度，它可以是時間定邊界上的熱流密度，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值常數(shù)值0 x1 x ),(zyfxt 0wtf時20()( )wtfn時、邊界條件、邊界條件L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department （3 3）第三類邊界條件）第三類邊界條件: :該條件該條件是第一類和第二類邊界條件的是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定系統(tǒng)邊界線性組合，常為給定系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數(shù)和流體面與流體間的換熱系數(shù)和流體的溫度，這兩個量可以是時間的溫度，這兩個量可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值不變的常數(shù)值 0 x1 x )th ttx（()()wwfth ttn、邊界條件、邊界條件L o g oL o g o建筑工程系 Co