第5章 連續(xù)交通流模型

1、第五章 連續(xù)交通流模型目 錄 5.1 簡(jiǎn)單連續(xù)流模型簡(jiǎn)單連續(xù)流模型 5.1.1 守恒方程 5.1.2 守恒方程解析法以及交通波 5.1.3 應(yīng)用 5.1.4 信號(hào)交叉口中排隊(duì)的形成與消散 5.1.5 守恒方程的數(shù)值解法 5.1.6 多車道流體力學(xué)模型 5.2 高階模型高階模型 5.2.1 簡(jiǎn)單連續(xù)流模型的評(píng)述 5.2.2 瞬態(tài)和停車起動(dòng)波 5.2.3 動(dòng)量方程 5.2.4 粘滯模型 5.2.5 高階模型的穩(wěn)定性分析 5.2.6 利用有限元的數(shù)學(xué)解法 5.2.7 實(shí)際例子中參數(shù)的標(biāo)定 5.2.8 瓶頸處交通流的計(jì)算 5.2.9 密度與松弛時(shí)間和期望系數(shù)5.3 隨機(jī)性連續(xù)波動(dòng)模型隨機(jī)性連續(xù)波動(dòng)模型

2、 5.3.1 交通流的變化 5.3.2 速度分布的計(jì)算 5.3.3 加速度干擾 5.3.4 微觀時(shí)間間隔分布和宏觀交通流量分布 如果從一架飛機(jī)上看某條高速公路，我們會(huì)很自然的把來來往往的車流想象成河流或某種連續(xù)的流體。正是由于這種相似性，經(jīng)常使用流量、密度、速度等流體力學(xué)術(shù)語來描述交通流特性。 我們知道，流體滿足兩個(gè)基本假設(shè)，即流量守恒和速度與密度對(duì)應(yīng)。對(duì)于交通流，第一個(gè)假定使用守恒方程或連續(xù)性方程來表示。第一個(gè)假設(shè)的理論被廣泛的接受，并且關(guān)于它的有效性沒有爭(zhēng)論。第二個(gè)假設(shè)卻引起了很多的爭(zhēng)議，在一定程度上說，這是因?yàn)樵摷僭O(shè)無法始終被理解，而且測(cè)量方法具有一定的矛盾性。第二種假設(shè)具有一定的限制性

3、。5.1 5.1 簡(jiǎn)單連續(xù)流模型簡(jiǎn)單連續(xù)流模型n 限制條件為速度（或流量）是密度函數(shù)，但只適用于平衡狀態(tài)，由于平衡狀態(tài)只能在實(shí)際應(yīng)用中得出，滿意的速度密度關(guān)系式很難得出，該關(guān)系式通常通過假設(shè)或理論推斷得出。 n 本章中，對(duì)簡(jiǎn)單模型和高階模型都進(jìn)行了介紹，并對(duì)其進(jìn)行解析求解和數(shù)值求解。本章的目的不是重申以前專論中有名的文獻(xiàn)，而是為在業(yè)的工程師總結(jié)簡(jiǎn)單連續(xù)流理論的本質(zhì)，闡述該理論如何應(yīng)用于模型和現(xiàn)實(shí)生活環(huán)境的分析中。對(duì)于經(jīng)過三十年來的演變的高階模型，一直沒有被充分的涉及到；因而，本章將對(duì)高階模型進(jìn)行詳細(xì)的介紹。5.1.1 5.1.1 守恒方程守恒方程 守恒方程很容易通過設(shè)有兩個(gè)交通計(jì)數(shù)站的單向連續(xù)

4、路段導(dǎo)出（兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)分別設(shè)在上游和下游），如圖5.1所示。兩點(diǎn)間的距離為，在間距內(nèi)沒有出口和進(jìn)口(即兩站之間沒有交通流的產(chǎn)生或離去)。 圖5.1 用于推導(dǎo)守恒方程的路段示意圖 設(shè) 是在 時(shí)間內(nèi)通過站i 的車輛數(shù)， 是 時(shí)間內(nèi)的交通量。 是站1和站2同時(shí)開始計(jì)數(shù)所持續(xù)的時(shí)間。兩站之間一般不會(huì)有車輛的減少，設(shè) 。由于在間距 內(nèi)沒有車輛的減少，在站1和站2間會(huì)產(chǎn)生車輛的聚集。 設(shè) = ，則車輛聚集數(shù)為負(fù)值。 下面介紹守恒方程的推導(dǎo)過程。iNtiqtt1N2Nx21NNN守恒方程的推導(dǎo): 21/NNNtqNqtt 11/Ntq 22/Ntq 21()NNNkxx Nk x 0qkq tk xxt 0q

5、kxt 如果在路段內(nèi)有車輛的產(chǎn)生和離去，那么守恒方程將采用如下更一般的形式： n （5.2） 這里 是指車輛的產(chǎn)生（離去）率（單位時(shí)間、單位長(zhǎng)度內(nèi)車輛產(chǎn)生或離去數(shù)）。 ( , )qkg x txt,g x t5.1.2 守恒方程解析法以及交通波 1. 1.守恒方程解析法守恒方程解析法 對(duì)于守恒方程的一般形式 （5.2），考慮最基本的關(guān)系： 我們可以很容易知道，如果 ，在公式（5.2）中，我們得到只有一個(gè)未知量 的方程，可以對(duì)其解析求解。 一般情況的解析法很復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中是不可行的。因此我們只考慮沒有交通產(chǎn)生或離去的影響，即 的情況?；谶@種思想，守恒方程可以寫為如下形式 ： 或 （5.4）

6、qk u ufkufk( , )0g x t 0kf kkukkkdf kkf kkxtxtxdk xt 0dfkkfkkdkxt 可以是任意的函數(shù)，不需要為了使結(jié)果通用作特定的假設(shè)。 采用格林希爾治（Greenshields）提出的速度密度線性模型，則公式（5.4）變形為 ： 這里， 表示自由流速度， 是阻塞密度。 f k20ffjkkkuukxtfujk 2. 2. 交通波交通波 公式（5.4）是一階擬線性偏微分方程，可以通過特性曲線的方法解決，求出其解析解。 交通特性曲線是基于定義和邊界條件，從時(shí)空分布中散發(fā)出來的直線。 交通特性曲線的斜率： 它表示交通特性有著與流率密度曲線相同的坡度。

7、 在空間分布中任何一點(diǎn)（x,t）的密度由通過該點(diǎn)的時(shí)空特性曲線得出。 dxdqfkkfkdtdk 當(dāng)兩條交通特性曲線相交時(shí)，在這一點(diǎn)密度就會(huì)有兩個(gè)值，這是不符合實(shí)際的。這種差異可以通過交通波的產(chǎn)生進(jìn)行解釋。簡(jiǎn)言之，兩條交通特性曲線相交，將會(huì)產(chǎn)生交通波，特性曲線終止。一個(gè)交通波表示或的中斷。 交通波的速度是： 其中， ， 表示下游條件， ， 表示上游條件。 duwduqqukkdkdqukuq 當(dāng) 0時(shí)，交通波向下游運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 0，表明波面的運(yùn)動(dòng)方向與交通流的運(yùn)動(dòng)方向相同； ，表明波面維持在原地不動(dòng)； ，則說明波的傳播方向與交通流的運(yùn)動(dòng)方向相反。 wuwuwuwu0wu 0wu 在圖5.2a)中，

8、兩點(diǎn)代表兩種交通流狀態(tài)，當(dāng)這兩種交通流狀態(tài)相遇時(shí)，便產(chǎn)生交通波，其波速為連線的斜率。圖5.2b)是在時(shí)空坐標(biāo)系中描述的交通波，明顯可以看出交通波的含義。 圖5.2 交通波含義示意圖a)b)5.1.3 應(yīng)用應(yīng)用 雖然簡(jiǎn)單的連續(xù)理論在50年代就得到了發(fā)展，并在文獻(xiàn)中被大量的涉及，但是并沒有被廣泛地應(yīng)用于實(shí)際中去。一部分原因是缺乏對(duì)物理問題的理解，還有部分原因是確定初始和邊界條件具有一定的困難。而且，通過解析解法很難獲得實(shí)際的初始和邊界條件、復(fù)雜的關(guān)系式等。第一個(gè)問題可以通過更好的理解后面小節(jié)中的原理和定義物理問題來進(jìn)行解決。后面的小節(jié)為解決這一問題的一個(gè)實(shí)例。交通波的另一個(gè)實(shí)際應(yīng)用是交通信號(hào)控制、

9、主干道及自由流的分析。 將簡(jiǎn)單連續(xù)理論的應(yīng)用于更復(fù)雜的環(huán)境中的問題，只能通過守恒方程的數(shù)值解進(jìn)行解決。本章中也將應(yīng)用數(shù)值解法對(duì)簡(jiǎn)單連續(xù)模型進(jìn)行改進(jìn)。下一節(jié)將以簡(jiǎn)單連續(xù)模型在信號(hào)交叉口中的應(yīng)用來說明理論如何更好的說明排隊(duì)的形成和消散。5.1.4 5.1.4 信號(hào)交叉口中排隊(duì)的形成與消散信號(hào)交叉口中排隊(duì)的形成與消散解析結(jié)果排隊(duì)長(zhǎng)度的穩(wěn)定性 信號(hào)線和排隊(duì)行為 通過確定簡(jiǎn)單連續(xù)模型的臨界和初始條件，應(yīng)用簡(jiǎn)單連續(xù)模型求解排隊(duì)數(shù)，而臨界和初始條件可以通過信號(hào)控制交叉口檢測(cè)設(shè)備獲到，如圖5.3所示。該圖中 分別表示距離和時(shí)間。假設(shè)從停車線開始的距離 內(nèi)沒有出入口，并且認(rèn)為足夠長(zhǎng)，排隊(duì)沒有超出這一路段。在圖5

10、.3中和分別表示信號(hào)周期C開始和結(jié)束時(shí)的排隊(duì)的初始長(zhǎng)度和最終長(zhǎng)度。 如圖5.3所示，從邊界發(fā)出的特性曲線把整個(gè)時(shí)空區(qū)域分成四個(gè)流率密度狀況截然不同的區(qū)域。特性曲線相交線，即為交通波曲線。在圖示的周期內(nèi)，交通波曲線為 。因此，這條線代表了車隊(duì)隊(duì)尾的軌跡，并且它到停車線的垂直距離代表車隊(duì)長(zhǎng)度，由 表示。曲線 上任何點(diǎn)的切線的斜率表示該點(diǎn)交通波沿道路向上游或下游的傳播速度。, x tLACMDEACMDE y t 區(qū)域 密度 1，4 2 3 圖5.3 信號(hào)控制交叉口在一個(gè)飽和周期內(nèi)排隊(duì)的形成過程jkkakkjmkkk1.1.解析結(jié)果解析結(jié)果 曲線ACMDE的每一段以及點(diǎn)C、M、D、E的坐標(biāo)都可以用解

11、析法得到。為了獲到解析解，必須假設(shè)流量與密度，或者等價(jià)的速度與密度之間有特定的關(guān)系。為了簡(jiǎn)單起見，可以采用格林希爾治速度密度線性模型。 假設(shè)x的方向?yàn)檎?，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，L），即 。 下面是推導(dǎo)圖5.3中各參量的方法和模型。BXL 先考慮C點(diǎn)坐標(biāo)位置 設(shè)y 表示排隊(duì)長(zhǎng)度 。 對(duì)于曲線CMD ： 對(duì)于FD曲線 ：BCCfXXLu t1afACCjk uXXLLtk1jCjaL kXLkk1jcfjal kttukk1/cCjjayLXk lkk 12CMDfacayuh kth kt12FDffyu tutg 21122/DCffattuguh k 122/Dfcfafafacfayutu h

12、 kguh kuh kgtuk 對(duì)于曲線DE ： 在車流未飽和的周期里，車隊(duì)消散的最短時(shí)間 ： 這是解決初始排隊(duì)長(zhǎng)度所需要的最小時(shí)間。在這樣的周期里，最終排隊(duì)長(zhǎng)度 與初始隊(duì)長(zhǎng) 無關(guān)，由下式給出：/DEDfaDjyyu kttk11/4EafjjfjayLLk u ckk u gkkEtc22min/ccacagyth kth k1L1L1/EafjyLcgk uk 2. 2.排隊(duì)長(zhǎng)度的穩(wěn)定性排隊(duì)長(zhǎng)度的穩(wěn)定性 前一節(jié)提到的初始排隊(duì)和最終排隊(duì)的解析關(guān)系可以應(yīng)用于飽和周期的穩(wěn)定性分析。公式(5.19)可以寫為： （5.23） 式中： 因此公式(5.23)可以推廣到任何周期N，形式為： 式中 和 是指

13、周期N和N+1開始時(shí)的排隊(duì)長(zhǎng)度。顯然，如果 或 ，即 ，則存在穩(wěn)定狀態(tài)。因此，對(duì)于穩(wěn)定狀態(tài)：11LLb/4afcjjfjabk ukk u gkk1NNLLbNL1NL1 = NNLL = NNLLbb=0/40afjjfjak u c kk u gkk 由此得到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的綠信比 如下所示，記為 ： 因?yàn)?是正的，所以很容易看出如果 ，周期尾部的排隊(duì)長(zhǎng)度將隨著這種情況的延續(xù)持續(xù)增長(zhǎng)。 否則，如果b0，這是符合一個(gè)真實(shí)波數(shù)的，為不穩(wěn)定狀態(tài)的必要條件，如果a0,則達(dá)不到交叉點(diǎn)。整體的穩(wěn)定性分析時(shí)，a0方程解時(shí)變的不穩(wěn)定，這是由佩恩1997年分析得到的。 波數(shù)依賴于特征值的實(shí)數(shù)的部分，與穩(wěn)定范圍一

14、起顯示在圖5.14和圖5.15中。圖5.14顯示了，對(duì)于a0，從平衡方程的線性穩(wěn)定性分析來看，波數(shù)依賴于特征值的實(shí)數(shù)部分上游支流的正值導(dǎo)致了平衡方程的不穩(wěn)定。2/la v圖5.14 波數(shù)依賴于線性穩(wěn)定性分析 圖5.15交通參數(shù)a和同性質(zhì)交通流的區(qū)域 相應(yīng)的特征值能用下式計(jì)算： （5.96） 其中，N是普通的常量。例如，在過渡點(diǎn)： 上游的支流為： （5.97） 為了解釋上游的不穩(wěn)定流，用密度和速度的符號(hào)的偏離平衡，來描述上游交通流的刺激，在這里速度與密度以相反的方向變化。 00()()00001.1()ecUkilxcceckkilNeccU kuilcc00( )00.( )( )( )ilk

15、l teekilkkNeccuU klilU k /cllav 在平衡方程中 , 隨著密度的降低，速度隨之升高。這個(gè)刺激導(dǎo)致不穩(wěn)定交通流超過了密度的臨界值。如能從整個(gè)刺激中，通過協(xié)調(diào)速度和密度使它們同相來起作用，則到達(dá)第二個(gè)和較低的穩(wěn)定的分支，而這在實(shí)際的交通中是不正常的現(xiàn)象。當(dāng)密度增加時(shí)，交通流變得擁擠，司機(jī)對(duì)速度的反應(yīng)減弱了是導(dǎo)致交通流不穩(wěn)定、波動(dòng)傳播、停止-啟動(dòng)波形成的原因。當(dāng)然，這種反應(yīng)也是為了安全起見。而采用人工的距離控制系統(tǒng)，使較低的支流刺激成為可能。通過距離控制系統(tǒng)得到了“高密度高速度”的反應(yīng)，增加了道路的容量。 在不穩(wěn)定的區(qū)域內(nèi)，線性穩(wěn)定性分析顯示，指數(shù)紊亂地增長(zhǎng)。因?yàn)轱柡妥饔?/p>

16、的影響將限制非線性穩(wěn)定性的增長(zhǎng)，就必須考慮不穩(wěn)定區(qū)域。一些用來描述在不穩(wěn)定區(qū)域行為的非線性穩(wěn)定性分析的方法已經(jīng)發(fā)展起來。這些方法大部分都是以特征值增長(zhǎng)的線性穩(wěn)定性分析作為出發(fā)點(diǎn)。0( )Ukue0kk5.2.65.2.6利用有限元的數(shù)學(xué)解法利用有限元的數(shù)學(xué)解法 在一個(gè)很廣的范圍內(nèi)，直到現(xiàn)在，高階模型還是沒有能夠成功顯示出比普通連續(xù)模型的優(yōu)越性，甚至是在改進(jìn)算法后也是如此。這種情況與歐拉方程在流體力學(xué)種的運(yùn)用和其在靜水力學(xué)中的運(yùn)用類似，并沒有得到改進(jìn)的結(jié)果，甚至是得到了錯(cuò)誤的結(jié)果。（例如：剪切面，浮力和漩渦的邊界線條件）。只有在納維爾斯托克斯(Navier Stokes)水平下，完全的流體動(dòng)力學(xué)

17、作用才能正確地被考慮進(jìn)去。因此，只能用高階模型來描述在瓶頸處的交通流、停止啟動(dòng)波的形成和在不穩(wěn)定交通流的多種多樣的交通模式也就不奇怪了。（包括粘滯和等于零的粘滯和趨于零的粘滯的區(qū)別）。除深刻理解宏觀交通流機(jī)理外，還要提供合適的數(shù)學(xué)方法。在很多情況下，由于相關(guān)的數(shù)字不穩(wěn)定性經(jīng)常導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，簡(jiǎn)單的離散化方案并不適合。 數(shù)學(xué)解法必須包括： 1、通過牛頓迭代法修正非線性關(guān)系的處理方法，差異集中的完全綜合處理步驟，使得它在所有條件下都是穩(wěn)定的。 2、考慮到基本不同的平衡系統(tǒng)的曲線特性，修正邊界條件和初始條件。 如果系數(shù)不突變，這個(gè)明確的處理過程證明了數(shù)學(xué)穩(wěn)定的，因此，就能引入瓶頸的概念。 有時(shí)還要做

18、一些附加的簡(jiǎn)化（例如，運(yùn)用對(duì)數(shù)密度或分開動(dòng)量平衡中保守的部分）；這些方法是與特殊的期望項(xiàng)和基本圖表的形式聯(lián)系的，因此一般都是不常用的。 數(shù)學(xué)解決方案的關(guān)鍵在于為空間的離散化和時(shí)間的調(diào)整而正確的選擇空間和時(shí)間上的步長(zhǎng)。很多文章建議空間步長(zhǎng)取大約500米，理由是這與空間變化的長(zhǎng)度一致，而在傳統(tǒng)上是觀測(cè)場(chǎng)所的范圍。數(shù)學(xué)解決方法的經(jīng)驗(yàn)顯示，可以考慮更小的有效長(zhǎng)度。巴黎周圍的Priphrique大道的計(jì)算用了125米，并建議采用更小的離散結(jié)構(gòu)。較小的結(jié)構(gòu)引起剪切面（ 80米）的長(zhǎng)度特性，并推出變化小的最小長(zhǎng)度是與一輛汽車的長(zhǎng)度相一致的。在整個(gè)數(shù)學(xué)處理過程中，?。?（5.98） 空間的步長(zhǎng)是通過速度特性和

19、時(shí)間步長(zhǎng)相聯(lián)系的。為了記錄波動(dòng)向前傳播，選擇合適的向后傳播的速度是20km/h。 （5.99）5xm 1sect 0l 因?yàn)闀r(shí)間步長(zhǎng)小于實(shí)際為邊界條件觀測(cè)速率（通常取30秒的掃描率）。觀測(cè)的數(shù)據(jù)要通過內(nèi)插來提供過平滑的作用，使數(shù)學(xué)計(jì)算達(dá)到穩(wěn)定的。 積分后基本方程轉(zhuǎn)化為： （5.100） 將其代入三個(gè)方程（對(duì)應(yīng)于未知的變量，k、v和w）里。為了迅速地確定靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的參數(shù)。用下面的方法來規(guī)范化變量： （5.101） 上式中，參考狀態(tài) 可以是在特殊車道數(shù)下的阻塞密度。未知的變量可以放在一起用向量y表示： （5.102）xuwrefkkk fuuufwwu fxxutt kyuwr e fk 基本方程

20、是準(zhǔn)線性的偏微分方程的形式: (5.103) (5.104) 包含靜態(tài)速度密度的方程 （5.105） 指數(shù) 描述了密度的依賴性，在車道減少和瓶頸的情況下，也包括阻塞密度 ，它是依賴于空間的。1xABC100000000A001 110010reuBk FRkwCuwUuw 12( )(1() )( )refnnebumpkUkkx1 ,2nn( )bumpkx 基本方程包含了兩個(gè)動(dòng)力學(xué)參數(shù)： (5.106) 結(jié)合它的特性對(duì)方程5.103進(jìn)行整合。為保證唯一性，需要兩個(gè)初始條件，例如： 和三個(gè)邊界條件，例如： （5.107） 為了解的數(shù)學(xué)穩(wěn)定性，必須考慮到不同方程的雙曲線特性，因此，只有很少的邊

21、界條件，左邊界和右邊界能用到 （5-108）220fuFroudeFrkc2f01（ ）ku 動(dòng)能（慣性影響）2數(shù)潛能（壓力）c20fuRv長(zhǎng) 度 速 度雷 諾 數(shù)動(dòng) 力 粘 滯( ,0)kk x t( ,0)uu x t(0, )k k xt(0, )u u xt(0, )ww xt(0, )kk xt(, )u u x l t(0, )uu xt 為了得到詳細(xì)的數(shù)學(xué)解，方程結(jié)合方法把圖解顯示在圖5.16中。 圖5.16 類似微分方程的對(duì)時(shí)間和空間柵格的逐步積分為了得到連續(xù)函數(shù)： （5.109） 被定義為格子的函數(shù)代替： (5.110)所有的導(dǎo)數(shù)的被不同的居中的商代替: (5.111) (5

22、.112)函數(shù)值用中點(diǎn)值代替： （5.113）( , )( , )( , )( , )kx tx tux twx t00,(,)i jxi x tj t 1,1,1,1()2xiji ji jx1,1,11,1()2tiji jiji jt1,1,11,1()4iji jiji j 積分的過程是一個(gè)逐步的過程，從已知時(shí)間層 ，變量 開始 ， （5.114） 處理這一層到新的未知的層 ， ，計(jì)算未知量： (5.115) 由于基本方程是非線性的，使用明確的步驟必須與未知量 相符合。牛頓迭代過程的結(jié)果是非常穩(wěn)定。變量用 代替，誤差 用線性化的初始方程計(jì)算。用矩陣向量表示為： （5.116）0*ttt

23、j, i j1,ij0(1)ttt j,1i ji1,11iji1,ii1,ii1,iiyy11iikuw基本方程可以寫成如下形式： （5.117）其中 （5.118） （5.119） （5.120） （5.121）1iiiiABR202221fckxtFrv121( )101xxieUWKKKAUkkkWUvKK 121( )101xxieU WKKKBUKkkWUvKK 4( )txxitexxKKKKRUUW U KU kvWKUW其中，k、kt分別是： （5.122） （5.123）從初始條件作為初始值： （5.124）左邊界條件： （5.125）11,1()4iiiji jKkkkk

24、11,1()2iitiji jKkkkkt,0i j , 10i00,00,00ijijwkV用下式進(jìn)行遞歸計(jì)算： （5.126）作為的函數(shù)，它的結(jié)果取決于右邊界條件： （5.127）11()iiiiiARB111,10ijwkv完整的數(shù)學(xué)解決過程如圖5.17所示：5.17 數(shù)學(xué)解決方法的流程圖表開始確定空間步長(zhǎng)x和時(shí)間t初始條件和邊界條件用以前的值作為估計(jì)值在邊界條件的基礎(chǔ)上估計(jì)邊界值牛頓迭代對(duì)所有的Xj,i0，計(jì)算修改值，修改估計(jì)值修改值最后一步結(jié)束t=t+15.2.7 5.2.7 實(shí)際例子中參數(shù)的標(biāo)定實(shí)際例子中參數(shù)的標(biāo)定 為了標(biāo)定參數(shù)，我們來比較介于交叉口中間路段的觀測(cè)方法，并估計(jì)平均速

25、度和交通量，或者在調(diào)查的條件下基于模型的本地密度的計(jì)算?；驹硪妶D5.18。 圖5.18 通過測(cè)量和比較計(jì)算來標(biāo)定參數(shù) 在邊界處 ， 和中間處 ，測(cè)量平均速度和交通量或者本地密度。初始條件與邊界條件基本上是相容的。在經(jīng)過一些簡(jiǎn)單的迭代后，平均速度和本地密度的結(jié)果，通過模型方程來計(jì)算和介于交叉口中間路段的觀測(cè)來比較。 利用指數(shù),定義如下： （5.128） 是一個(gè)靜態(tài)函數(shù)，并且可以通過選擇最佳的參數(shù)最小化。 （5.129）0 x xdxl221.2.( , )( , )( , )( , )calmeascalmeasPIdt ud tud tdt kd tkd t 1200(,)fbumpPIP

26、I vknndvMin 顯然，在離散化處理中結(jié)果依賴于選擇的步長(zhǎng)。通過斜率或比較的方法確定最小值顯得太麻煩。Monte Carlo方法作為一種更好的方法，減少了計(jì)算并得出了合理的結(jié)果。 速度密度特性是依賴于周圍數(shù)據(jù)（車道數(shù)，坡度，曲率）和環(huán)境條件（天氣，一天的時(shí)間）,而不是特定的位置。在用能量關(guān)系分析的情況下,通過引入限制速度,來降低自由流速度和指數(shù) 的值。下面給出了一個(gè)例子，說明通過在每個(gè)過渡段引入不同的卡車比例來改變阻塞密度是合適的。 （5.130） 其中： 相對(duì)卡車比例； 對(duì)于100的乘客汽車阻塞密度； 對(duì)于100的卡車阻塞密度。 為了標(biāo)定參數(shù)，使用了德國靠近紐倫堡的A3 Frth-Er

27、langen大道的數(shù)據(jù)。1992年11月7，8號(hào)，在卡車比例相對(duì)較低時(shí)，收集了數(shù)據(jù)。這個(gè)過程通過仿真被詳細(xì)地記錄下來，相應(yīng)的無量綱的數(shù)據(jù)是： （5.131）12,nn111(1)bumppasstruckffkkkf passktruckk204.0frvFc20Re0.77fvv圖5.20 在介于交叉口中間路段上測(cè)試點(diǎn)的平均速度的觀測(cè)和估算的時(shí)間序列 結(jié)果是交通流模型描述了介于低、高雷諾數(shù)之間的流體狀態(tài)，作為一個(gè)高雷諾數(shù)的流體，忽視粘滯是不可能，而低雷諾數(shù)的擴(kuò)大也是不可能的。 剪切面深度： （5.133） 兩車道公路臨界密度的計(jì)算如下： （5.134） （5.135）0080lvm0()10

28、ceckdUkacdk 1.450/0.3863ccbumpkkveh kmk5.2.8 5.2.8 瓶頸處交通流的計(jì)算瓶頸處交通流的計(jì)算 瓶頸處交通流的計(jì)算對(duì)交通流的測(cè)試是至關(guān)重要的。瓶頸處交通流的觀測(cè)是： 1、在瓶頸處交通量超過容量最多只持續(xù)幾分鐘的時(shí)間。 2、交通流密度能在任何一點(diǎn)超過阻塞密度。 3、如果交通需求超過容量，則在瓶頸位置之前會(huì)發(fā)生阻塞。 4、溢出的交通通過上游的波動(dòng)標(biāo)記，在擁擠的區(qū)域內(nèi)形成停止啟動(dòng)波 5、空間改變發(fā)生的距離短于100m。 6、應(yīng)該在這樣一種條件下選擇邊界條件，即影響交通量和交通方式全額導(dǎo)而不引起交通波動(dòng)變化。 在先前描述的高速穩(wěn)定流的宏觀模型的基礎(chǔ)上，車道減

29、少（兩車道變?yōu)閱诬嚨溃┮呀?jīng)被模擬了。 下面的圖顯示了是在長(zhǎng)度為10公里的兩車道公路上，在瓶頸處交通的最大密度，從每公里320輛減少到220輛。 圖5.21a 1到4分鐘內(nèi)交通密度的發(fā)展變化過程 圖5.21a顯示了在空間距離5.6公里到8.5公里之間，在瓶頸處，形成了高密度的區(qū)域。 圖5.21b-d顯示了，在1000秒的時(shí)間內(nèi)，速度變化發(fā)展的過程。 圖5.21b 6到10分鐘后的交通速度變化發(fā)展過程 圖5.21c顯示300秒到800秒之后的速度的變化過程。速度高峰在上游徘徊，而過分反應(yīng)區(qū)域則衰退了。額外的波動(dòng)形成了啟動(dòng)停止波。圖5.21c 12到24分鐘后的速度變化發(fā)展過程 圖5.21d顯示了1

30、000秒以后的在瓶頸處的速度變化發(fā)展過程。在擁擠區(qū)域，在瓶頸處之前形成了停止啟動(dòng)波。圖5.21d 30分鐘后瓶頸處的速度變化發(fā)展過程 5.21b-d圖從一系列的折斷，顯示了在瓶頸處密度高峰的形成、密度高峰的移動(dòng)和過分反應(yīng)區(qū)域界限的衰退。同時(shí)也顯示在交通瓶頸處，存在著額外的小的波動(dòng)。這些比較麻煩的小的波動(dòng)是用來表征溢出的交通流的。在瓶頸密度過大的情況下，給人的最后一個(gè)印象是密度分布的發(fā)展超出了最初的分布，瓶頸本身從6.5公里持續(xù)到8.5公里。停止啟動(dòng)波位于車道減少路段的擁擠區(qū)域的上游。5.2.95.2.9密度與松弛時(shí)間和期望系數(shù)密度與松弛時(shí)間和期望系數(shù) 目前,密度與持續(xù)松弛時(shí)間和期望系數(shù)已經(jīng)引起

31、大家的關(guān)注。許多人正在嘗試用一個(gè)比較可行的方式來描述這兩個(gè)系數(shù)。 首先，來看松弛時(shí)間與密度的相關(guān)性： 0r1 與r的取值有關(guān)，在r一定時(shí)，當(dāng)交通接近非常擁擠時(shí)，松弛時(shí)間變大； 當(dāng)密度非常低時(shí)，松弛時(shí)間變小。與密度的這種關(guān)系說明了一個(gè)事實(shí)，在擁擠的交通條件下，由于駕駛員之間的相互影響，車輛幾乎不可能達(dá)到設(shè)計(jì)速度。但是隨著密度的增加，這種影響所產(chǎn)生的消極作用會(huì)逐漸變小。在低交通密度條件下，達(dá)到最初的設(shè)計(jì)速度是可能的，建立基于松弛時(shí)間的模型(見圖5.22)。由5.2.3可知，期望系數(shù) 表示車輛速度分布的標(biāo)準(zhǔn)偏離程度。rkkkrbump1020c 對(duì)于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的偏離,這里采用以前的觀測(cè)方法，表示出在低

32、交通密度下，速度分布范圍的擴(kuò)大情況和其可能的結(jié)果，以便了解個(gè)體的設(shè)計(jì)速度。速度分布范圍逐漸變窄，以出現(xiàn)擁擠作為結(jié)束。停止-啟動(dòng)波和伴隨著不穩(wěn)定交通流的波動(dòng)，導(dǎo)致了速度的分布范圍的擴(kuò)大，這并不是因?yàn)椴煌能囕v有不同的設(shè)計(jì)速度，而是由交通的動(dòng)力性能引起的，這使得觀測(cè)地速度的分布范圍較大。 最后，在十分擁擠的交通條件下，交通流量極小，平均速度和速度分布相一致，這種情況下，就有必要對(duì)不同的速度進(jìn)行研究了，標(biāo)準(zhǔn)的偏離值趨于零。綜上所述，可以得出密度k與期望系數(shù)的函數(shù)關(guān)系，如圖5.24所示，具體參數(shù)標(biāo)定5.2.7小節(jié)。圖5.22 密度松弛時(shí)間關(guān)系圖 圖5.24 期望系數(shù) 交通流是一個(gè)隨機(jī)過程，不能夠完全的

33、用宏觀流的時(shí)空變化來描述 。 首先，根據(jù)調(diào)查可以得出堵塞時(shí)的速度分布和加速干擾分布，它們反映出阻塞的形成與消散。 5.3 5.3 隨機(jī)性連續(xù)波動(dòng)模型隨機(jī)性連續(xù)波動(dòng)模型 調(diào)查：德國布魯斯特-卡爾斯魯厄高速公路 如何將隨機(jī)過程的特征 納入宏觀描述 圖5.25 1976年4月15日上午10：30到下午1：50在617公里處通往卡爾 斯魯厄方向某一車道的時(shí)間速度序列圖 用15km/h的標(biāo)準(zhǔn)偏差和120km/h的近似值，表示的近似服從高斯分布。 圖 5.26 對(duì)應(yīng)與圖5.25的速度分布5.3.25.3.2速度分布的計(jì)算速度分布的計(jì)算 當(dāng)速度分布的范圍擴(kuò)大到接近阻塞密度時(shí)，將導(dǎo)致交通阻塞，形成停止-啟動(dòng)波

34、，這種波動(dòng)理論是由黑德曼提出的(1986)，他通過對(duì)不同的速度區(qū)間的計(jì)算，得出了交通密度在不同速度區(qū)間中的函數(shù)。阻塞密度取值25veh/km，作為超出交通承載能力的典型值。 為了保證速度分布能夠充分的反映實(shí)際情況，而且視交通流足夠靜止，這里按照斯特戈斯(Sturges)規(guī)則來劃分速度分區(qū)間的間距。 為了便于將速度分布劃分為由一系列數(shù)據(jù)組成的合適區(qū)間組合，這里根據(jù)經(jīng)驗(yàn)規(guī)則劃分速度區(qū)間的等分間距，如下式所示： (5.138) 式中： 取二元對(duì)數(shù)； 平均流量； 速度級(jí)差； t觀測(cè)時(shí)間。 作用：根據(jù)觀測(cè)速度的范圍，可以得出合適的速度區(qū)間間距， 速度按照觀測(cè)的數(shù)值進(jìn)行平均分布。時(shí)間間隔取2分鐘，平均交通

35、流取2,000veh/h，得出速度區(qū)間的間距是：u=10km/h 。 區(qū)間劃分的好壞以及劃分是否有意義取決于交通流的變化 不合理的劃分會(huì)使交通狀況變得模糊。 所測(cè)速度誤差不得超過5km/h)2(minmaxtqlduuumldmqmaxminuu 對(duì)于交通流的宏觀，流量變化可以從兩個(gè)方面進(jìn)行描述： （1）在加速度方程里考慮干擾周期的影響，記為波動(dòng)系數(shù),這樣方程模型可以修改成如下形式 （5.140） 意義：速度和密度不再取準(zhǔn)確值，而是取分布其周圍的任意近似值。 波動(dòng)系數(shù)通過整體-個(gè)體現(xiàn)象的隨機(jī)影響描述這種干擾，比如碰撞、違規(guī)的交通引導(dǎo)以及駕駛員注意力的變化，干擾取決于所觀測(cè)事件的不連續(xù)性，用于對(duì)

36、影響力的描述。txkk u 2001xtxexxkuuuU kucukk 在最簡(jiǎn)單的情況下，隨機(jī)常量 在空間和時(shí)間上是與 相關(guān)的，服從高斯分布： (5.141) 這里，表示在一個(gè)全體上的期望值，常量 是在自由交通流情況下，速度分布的標(biāo)準(zhǔn)偏離程度， 的相關(guān)性的意味著相互關(guān)系在時(shí)空上迅速地衰減，取值分別為空間c0 =35m，時(shí)間 =1.8sec。,0 x t 20 0,2x tx tc x xt t 0（2）把非線性的對(duì)流作用視為反饋?zhàn)饔茫@種作用可以通過邊緣穩(wěn)定方法進(jìn)行解釋（參考小節(jié)5.2.5）。這里用稍微不同于小節(jié)5.2.6的方式介紹矢量 ，整體描述有關(guān)調(diào)查點(diǎn)的速度和密度 ： 綜合表達(dá)式 自變

37、量和近似值 00ekUk2011xxxLav 000lnekkku u kuctxuL 00ex U k txctt 000111eeU kU kakcc20uvk c 在邊緣點(diǎn)滿足： 邊緣穩(wěn)定的解決方法服從如下方程： 對(duì)于初始情況， ，解決方法 依賴于 本身，這在非線性 的對(duì)流作用中是一個(gè)典型的反饋?zhàn)饔?，其作用于?qiáng)烈的空間變化和緩慢空間的超比例變化（小干擾的擴(kuò)大）。 這些作用之間的對(duì)抗使得在穩(wěn)定邊緣變得不穩(wěn)定，這些非線性波動(dòng)可以描述決定論模式，不需要用干擾描述這種反復(fù)無常的行為，它認(rèn)為無所不在的干擾不斷的傳播變化，并能獨(dú)立的表現(xiàn)交通流量的波動(dòng)。ku 0txuuuu f x ut ,0ux t

38、fxxuuuu5.3.3 5.3.3 加速度干擾加速度干擾 隨機(jī)連續(xù)理論必須能夠描述交通流干擾大小的程度，這取決于個(gè)體車輛的加速不同。在這種條件下，駕駛員受許多因素影響比如撞擊、線形、注意力不集中和不同的引擎性能。 特定車輛的加速度可以劃分為一個(gè)區(qū)間和一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，前者描述速度控制下的車輛跟馳模型，后者描述自然的加速度干擾，通常這種干擾是車輛自身加速度的干擾，與其他車輛無關(guān)（赫爾曼等人，1959）。 此外，加速度干擾還受道路的類型、幾何特征和交通瓶頸的影響。 1959年赫爾曼等人為了確定干擾分布，首次對(duì)其進(jìn)行了試驗(yàn)。駕駛員駕駛經(jīng)過裝備的測(cè)試汽車，在不同駕駛?cè)蝿?wù)條件下運(yùn)行，用一個(gè)加速度計(jì)估算在不

39、同的密度情況下的加速度干擾。 僅僅是，車輛與交通流運(yùn)行一致時(shí)，分布才基本上服從高斯分布，標(biāo)準(zhǔn)偏差=0.03g，這時(shí)分布是從-0.05g到0.05g； 當(dāng)駕駛員試圖比交通流的平均速度高出8km/h-16km/h時(shí)，較高的加速度和減速度便會(huì)頻繁的發(fā)生，使分布出現(xiàn)兩次峰值，分布范圍的也明顯擴(kuò)大，此時(shí)=0.07g。 將加速度干擾作為對(duì)加速度分布的衡量標(biāo)準(zhǔn)，與速度分布相比，加速度分布具有與其相似的特征。有關(guān)資料公布了1980年Winzer的一系列調(diào)查，他們記錄了德國布魯斯特-卡爾斯魯厄高速公路上，調(diào)查車隊(duì)在交通流中的波動(dòng)變化情況。 考慮所有可能的交通流情況（盡管自由流或接近自由的交通流占其中的大多數(shù)），他們對(duì)160次交通調(diào)查情況的進(jìn)行了分析評(píng)價(jià)。圖5.27中顯示了不同交通密度條件下加速度干擾的標(biāo)準(zhǔn)偏離程度。 在加速度干擾分布中主要的標(biāo)準(zhǔn)偏離，發(fā)生在密度急劇變化的附近，這就意味著加速度干擾分布的擴(kuò)大與密度分布的擴(kuò)大相一致，此時(shí)交通流在穩(wěn)定流和不穩(wěn)定