概率論第3章作業(yè)題解與知識點歸納(重點!)

1、一、第三章習題詳解：3.1設二維隨機向量的分布函數(shù)為:求.解：因為 ，所以 3.2 盒中裝有3個黑球, 2個白球. 現(xiàn)從中任取4個球, 用X表示取到的黑球的個數(shù), 用Y表示取到的白球的個數(shù), 求(X , Y ) 的概率分布.解：因為X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值為(2,2),(3,1)且 ， ，故(X,Y)的概率分布為XY12200.630.403.3 將一枚均勻的硬幣拋擲3次, 用X表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù), 用Y表示3次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因為，又X的可能取值為0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值為(0,3),(1

2、,1), (2,1),(3,3)且 ， ，故(X,Y)的概率分布為XY13001/813/8023/80301/83.4設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為: (1) 確定常數(shù);(2) 求(3) 求,這里是由這三條直線所圍成的三角形區(qū)域.解：(1)因為由 ，得9a=1，故a=1/9.(2) (3) 3.5 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為:(1) 求分布函數(shù);(2) 求解：(1) 求分布函數(shù); 當，其他情形，由于=0，顯然有=0。綜合起來，有(2) 求 3.6 向一個無限平面靶射擊, 設命中點的概率密度函數(shù)為求命中點與靶心(坐標原點) 的距離不超過a 的概率.解： 3.7設二維隨機向量的概率分布如下表

3、所示, 求X 和Y 的邊緣概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：因為 所以，X的邊緣分布為X13P0.750.25因為 所以，Y的邊緣分布為Y025P0.200.430.373.8 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為求邊緣概率密度.解：因為，當時，；其他情形，顯然所以，X的邊緣分布密度為 又因為，當時，其他情形，顯然所以，Y的邊緣分布密度為3.9 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為求邊緣概率密度.解，積分區(qū)域顯然為三角形區(qū)域，當時，因此；其他情形，顯然所以，X的邊緣分布密度為同理，當時，因此其他情形，顯然所以，Y的邊緣分布密度為3.10 設二維隨機向量的概率密度函

4、數(shù)為(1)確定常數(shù)c的值. (2)求邊緣概率密度.解：(1)因為 所以 c = 6.(2) 因為，當時，所以，X的邊緣分布密度為 又因為，當時，所以，Y的邊緣分布密度為3.11 求習題3.7 中的條件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的邊緣分布分別是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)當X=1時，Y的條件分布為 即 Y025P1/51/37/15(2)當X=3時，Y的條件分布為 即 Y025P1/518/252/25(3)當Y=0時，X的條件分布為 即X13P3/41/4(4)當Y=2時，X的條件分布為 即X13P0.5810.419(5)當Y=5時，X的條件分布為

5、 即X13P0.9460.0543.12 設 X 在區(qū)間(0,1) 上隨機地取值, 當觀察到X = x(0 < x < 1) 時, Y 在區(qū)間(x,1) 上隨機地取值, 求 Y 的概率密度函數(shù).解：因為 ， 所以(X,Y)的聯(lián)合密度為于是 故Y的密度函數(shù)為3.13 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為求條件概率密度以及.解：因為，當時，又當時，所以，在Y=y的條件下X的條件概率密度為在X=x的條件下Y的條件概率密度為3.14 問習題3.7 中的X 與Y 是否相互獨立？解: 由T3.7知，X、Y的邊緣分布分別是X13Y025P0.750.25P0.200.430.370.75, ,而,顯然

6、,從而X 與Y 不相互獨立.3.15設二維隨機向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的邊緣概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02問取何值時, X 與Y 相互獨立?解：因為 ，要X和Y相互獨立，則 即 ，得由 ，得 即 ，得3.16 問習題3.8 和習題3.9 中的X 與Y 是否相互獨立？解：由習題3.8，二維隨機向量的概率密度函數(shù)為X的邊緣分布密度為，Y的邊緣分布密度為，顯然有，X 與Y 相互獨立.由習題3.9,維隨機向量的概率密度函數(shù)為,X的邊緣分布密度為，Y的邊緣分布密度為,顯然有，X 與Y 不獨立.3.17設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為,問X與Y是否相

7、互獨立?解：因為 對于x>0,y>0，都有 ,所以，X與Y是相互獨立的.3.18 設二維隨機向量的分布函數(shù)為討論的獨立性.解：因為 由于 所以，X與Y是相互獨立的。3.19 設X 與Y 是兩個相互獨立的隨機變量, 并且均服從區(qū)間(0, 1) 上的均勻分布, 求X+Y的概率密度函數(shù).解：由于X 與Y均服從區(qū)間(0, 1) 上的均勻分布，故X 與Y的邊緣密度函數(shù)分別為：，記,由于X 與Y 是兩個相互獨立的隨機變量,根據(jù)書中72頁（3.7.3）式,的概率密度函數(shù)可以寫為當時,若，則；若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有.當時，若,則，若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有；的其他情形,顯然有=0. 綜

8、合起來，有此題也可以用先求分布函數(shù)然后再求導的方法來解,需要注意的一點是, 當時，積分區(qū)域要分成兩個部分.3.20 設X 與Y 是兩個相互獨立的隨機變量, 概率密度函數(shù)分別為求的概率密度函數(shù).解：記,由于X 與Y 是兩個相互獨立的隨機變量,根據(jù)書中72頁（3.7.3）式,的概率密度函數(shù)可以寫為，于是有3.21 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為求的概率密度函數(shù).解: 根據(jù)書中72頁（3.7.1）式,的概率密度函數(shù)可以寫為當時,若，則，若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有；當時，若,則，若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有；的其他情形,顯然有.綜合起來，有3.22 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,并且與相互獨立

9、,求的概率密度函數(shù).解：由于所以分布函數(shù)為由于服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以分布函數(shù)為 與相互獨立，故的分布函數(shù)為對分布函數(shù)求導以后得的密度函數(shù) 3.23 設隨機變量,并且與相互獨立,求的概率密度函數(shù).解：由于所以分布函數(shù)為由于，所以分布函數(shù)為 與相互獨立，故的分布函數(shù)為對分布函數(shù)求導以后得的密度函數(shù) 3.24 設隨機變量相互獨立,并且都服從正態(tài)分布,求的概率密度函數(shù).解：由于相互獨立,根據(jù)P76公式（3.8.4），易知，于是的概率密度函數(shù)為： 其中，3.25 對某種電子裝置的輸出測量了5 次, 得到觀察值.設它們是相互獨立的隨機變量, 且有相同的概率密度函數(shù), 求的分布函數(shù).解：由題意，的分布函

10、數(shù)為：又由于，是相互獨立的隨機變量, 根據(jù)書中77頁（3.8.6）式, 的分布函數(shù)為： 3.26 設電子元件的壽命X(單位: 小時) 的概率密度函數(shù)為今測試 6 個元件, 并記錄下它們各自的失效時間. 求(1) 到 800 小時時沒有一個元件失效的概率;(2) 到 3000 小時時所有元件都失效的概率.解：電子元件的壽命X(單位: 小時) 的分布函數(shù)為：(1) 一個元件使用到 800 小時時沒有一個失效的概率為=，由于6 個元件顯然彼此獨立，因此，到 800 小時時沒有一個元件失效的概率為二、第三章定義、定理、公式、公理小結及補充：1聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量的所有可能取值為至多可列個有序

11、對，則稱為離散型隨機向量。設=的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱為=的分布密度或稱為的聯(lián)合分布密度。分布密度具有下面兩個性質(zhì)：（1） 0;（2） 2二維隨機變量的本質(zhì)3聯(lián)合分布函數(shù)設為二維

12、隨機變量，對于任意實數(shù),二元函數(shù)稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）分別對和是非減的，即當時，有;當時，有;（3）分別對和是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.4離散型與連續(xù)型的關系5邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為6條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度

13、為7獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。8二維均勻分布設隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.1yD

14、211 O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.39二維正態(tài)分布設隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。10函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：對于連續(xù)型，fZ(z)兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設n個隨機變量相互獨立，且服從標準正態(tài)分