（整理版）高二數(shù)學第三章第3節(jié)幾何概型理知識精講人教新課標A必修

1、高二數(shù)學 第三章第3節(jié)幾何概型 理 知識精講人教新課標a版必修3一、學習目標：1了解幾何概型的概念及根本特點2熟練掌握幾何概型中概率的計算公式3會進行簡單的幾何概率計算4能運用模擬的方法估計概率，掌握模擬估計面積的思想二、重點、難點：重點：掌握幾何概型中概率的計算公式；并能進行簡單的幾何概率計算。難點：將實際問題轉化為幾何概型，并能正確應用幾何概型的概率計算公式解決問題。三、考點分析：本局部內(nèi)容是新增的內(nèi)容，對幾何概型的要求僅限于體會幾何概型的意義，所以在練習時，側重于一些簡單的試題即可。1區(qū)別古典概型與幾何概型2理解隨機模擬求幾何概型的概率1、幾何概型的概念： 對于一個隨機試驗，我們將每個根

2、本領件理解為從某個特定的可以幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的時機都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生那么可以理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點。這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型。2、幾何概型的根本特點：1試驗中所有可能出現(xiàn)的結果根本領件有無限多個；2每個根本領件出現(xiàn)的可能性相等。3、幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域內(nèi)為事件，那么事件發(fā)生的概率。說明：1的測度不為；2其中“測度的意義依確定，當分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相應的“測度分別是長度，面積和體積。3區(qū)域為“開區(qū)域；4區(qū)域內(nèi)

3、隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何局部的可能性大小只與該局部的測度成正比而與其形狀位置無關。4、模擬計算幾何概型的步驟：1構造圖形作圖；2模擬投點，計算落在陰影局部的點的頻率；3利用算出相應的量。知識點一：幾何概型的根本概念例1：判斷以下試驗中事件a發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型。1拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點的概率；2如以下圖，圖中有兩個轉盤，甲乙兩人玩轉盤游戲，規(guī)定當指針指向b區(qū)域時，甲獲勝，否那么乙獲勝，在兩種情況下分別求甲獲勝的概率。思路分析：1題意分析：此題考查的是幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型那么是在試驗中出現(xiàn)無限多

4、個結果，且與事件的區(qū)域長度有關。2解題思路：根據(jù)古典概型和幾何概型的概念進行分析解決。解答過程：1拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結果有6×636種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；2游戲中指針指向b區(qū)域時有無限多個結果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在b區(qū)域，概率可以用b區(qū)域的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關，因此屬于幾何概型。解題后的思考：幾何概型和古典概型是兩類不同的概率模型，各有各的特點。想要區(qū)別兩者，關鍵是要掌握它們的特征中的異同點。知識點二：幾何概型的三種根本類型例2：在等腰直角三角形中，在斜邊上任取一點，求小于的概率。思路分析：1題意分析：此題考查了測度為長度的幾何概型的概

5、率的計算問題。2解題思路：點隨機地落在線段上，故線段為區(qū)域。當點位于以下圖中線段內(nèi)時，故線段即為區(qū)域。解答過程：解：在上截取。于是。答：小于的概率為。解題后的思考：在對幾何問題中的概率求解時，我們首先要分析其是否為幾何概型，然后看試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度面積或體積，然后結合幾何概型的概率公式進行運算。例3：取一個邊長為的正方形及其內(nèi)切圓如以下圖，隨機向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率。思路分析：1題意分析：此題考查的是測度為面積的幾何概型的概率求解問題2解題思路：由于是隨機丟豆子，故可認為豆子落入正方形內(nèi)任意一點的時機都是均等的，于是豆子落入圓中的概率應等于圓面積與正方形面積的比

6、。解答過程：解：記“豆子落入圓內(nèi)為事件，那么有。答：豆子落入圓內(nèi)的概率為。解題后的思考：在對幾何問題中的概率求解時，我們首先要分析其是否為幾何概型，然后看試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度面積或體積，然后結合幾何概型的概率公式進行運算。例4：在高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶銹病的種子，從中隨機取出，含有帶銹病的種子的概率是多少？思路分析：1題意分析：此題考查的是測度為體積的幾何概型的概率求解問題。2解題思路：帶銹病的種子在這種子中的分布可以看作是隨機的，取得的種子可視作區(qū)域，所有種子可視為區(qū)域。解答過程：解：取出小麥種子，其中將“含帶銹病的種子這一事件記為，那么。答：含有帶銹病種子的概率為。解題后的思

7、考：在對幾何問題中的概率求解時，我們首先要分析其是否為幾何概型，然后看試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度面積或體積，然后結合幾何概型的概率公式進行運算。小結：遇到有關概率的試題，首先分析清楚試題是古典概型還是幾何概型，然后把實際問題復原為幾何問題，結合相應的概率公式進行求解運算。知識點三：將實際問題轉化為幾何概型的綜合運用例5：如圖，在線段上任取一點，試求：1為鈍角三角形的概率；2為銳角三角形的概率。思路分析：1題意分析：此題考查了結合平面幾何的知識進行幾何概型的概率的求解運算。2解題思路：點c落在線段ab上任何一個位置是隨機的，是等可能的。那么試驗研究的區(qū)域就是線段ab，而“為鈍角三角形時，點c

8、的區(qū)域是什么？這是我們分析問題的關鍵。先找臨界值，為直角三角形時，點c的位置分別在d、e位置，然后分析在哪個區(qū)域內(nèi)是鈍角三角形即可。解答過程：解：如圖，由平面幾何知識：當時，；當時，。1當且僅當點在線段或上時，為鈍角三角形記“為鈍角三角形為事件，那么即為鈍角三角形的概率為。2當且僅當點在線段上時，為銳角三角形，記“為銳角三角形為事件，那么即為銳角三角形的概率為。解題后的思考：此題考查了在實際問題中，能合理運用幾何知識，解決概率問題，同時也考查了我們分類討論的思想，提高數(shù)學思維的嚴謹性。例6：有一個半徑為的圓，現(xiàn)在將一枚半徑為的硬幣向圓投去，如果不考慮硬幣完全落在圓外的情況，試求硬幣完全落入圓內(nèi)

9、的概率。思路分析：1題意分析：此題是以圓為背景，研究幾何概型的概率的試題。2解題思路：首先分析試驗的所有結果的區(qū)域是半徑為5的圓的面積，要想使硬幣“完全落入圓內(nèi)那么硬幣所在的區(qū)域是多少呢？由于硬幣的半徑為1，所以硬幣的中心必須在與圓o同心且半徑為4的圓內(nèi)時才能說硬幣完全落入圓內(nèi)，結合幾何概型概率公式求解。解答過程：解：由題意，如圖，因為硬幣完全落在圓外的情況是不考慮的，所以硬幣的中心均勻地分布在半徑為的圓內(nèi)，且只有中心落入與圓同心且半徑為的圓內(nèi)時，硬幣才完全落入圓內(nèi)。記“硬幣完全落入圓內(nèi)為事件，那么答：硬幣完全落入圓內(nèi)的概率為。解題后的思考：此題涉及圓圓相內(nèi)含時的兩圓位置關系。例7：一海豚在水

10、池中自由游弋，水池為長30 m，寬20 m的長方形，求海豚嘴尖離岸邊不超過2 m的概率。思路分析：1題意分析：考查實際中幾何概型的運用，如何把實際問題，轉化為數(shù)學問題，是培養(yǎng)我們分析問題解決問題的能力。2解題思路：首先構造出隨機事件對應的幾何圖形。然后分析事件所研究的圖形與的整個圖形的關系。解答過程：解：對于幾何概型，關鍵是要構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率.如以下圖，區(qū)域是長30 m、寬20 m的長方形.圖中陰影局部表示事件a：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m，問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在以下圖中陰影局部的概率。由于區(qū)域的面積為30×20600m2，陰

11、影a的面積為30×2026×16184m2pa。解題后的思考：利用幾何圖形來求隨機事件的概率，是我們經(jīng)常用到的方法。而將實際問題向幾何圖形的轉化是難點。例8：取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？用隨機模擬方法解決思路分析：1題意分析：此題考查隨機試驗近似求概率的近似值。2解題思路：在任意位置剪斷繩子，那么剪斷位置到一端點的距離取遍0，3內(nèi)的任意數(shù)，并且每一個實數(shù)被取到都是等可能的。因此在任意位置剪斷繩子的所有結果根本領件對應0，3上的均勻隨機數(shù)，其中取得的1，2內(nèi)的隨機數(shù)就表示剪斷位置與端點距離在1，2內(nèi)，也就是剪得兩段的

12、長都不小于1m。這樣取得的1，2內(nèi)的隨機數(shù)個數(shù)與0，3內(nèi)個數(shù)之比就是事件a發(fā)生的概率。解題過程：解法1：1利用計算器或計算機產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機數(shù)a1rand。2經(jīng)過伸縮變換，aa1×3。3統(tǒng)計出1，2內(nèi)隨機數(shù)的個數(shù)n1和0，3內(nèi)隨機數(shù)的個數(shù)n。4計算頻率fna即為概率pa的近似值。解法2：做一個帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標上刻度0，3這里3和0重合。轉動圓盤記下指針指在1，2表示剪斷繩子位置在1，2范圍內(nèi)范圍內(nèi)的次數(shù)n1及試驗總次數(shù)n，那么fna即為概率pa的近似值。解題后的思考：用隨機數(shù)模擬的關鍵是把實際問題中事件a及根本領件總體對應的區(qū)域轉化為隨機數(shù)的范圍。解法2用

13、轉盤產(chǎn)生隨機數(shù)，這種方法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數(shù)不可能很大；解法1用計算機器產(chǎn)生隨機數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機數(shù)，又可以自動統(tǒng)計試驗的結果，同時可以在短時間內(nèi)屢次重復試驗，可以對試驗結果的隨機性和規(guī)律性有更深刻的認識。小結：1、幾何概型是不同于古典概型的又一個最根本、最常見的概率模型，其概率計算原理通俗、簡單，對應隨機事件及試驗結果的幾何量可以是長度、面積或體積。2、如果一個隨機試驗可能出現(xiàn)的結果有無限多個，并且每個結果發(fā)生的可能性相等，那么該試驗可以看作是幾何概型.通過適當設置，將隨機事件轉化為幾何問題，即可利用幾何概型的概率公式求事件發(fā)生的概率。 高考對這局部內(nèi)容的考查一般主要側

14、重于簡單的運算問題。理解幾何概型，就是將隨機事件轉化為幾何問題，結合長度比或者面積比，體積比進行求解即可。一般以小題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右。一、預習新知“正確嗎？二、預習點撥探究與反思【反思】？探究任務二：充分條件與必要條件【反思】1如何判定充分條件，必要條件，充要條件？2能否用集合的思想解決這類問題？答題時間：45分鐘一、選擇題1、點a為周長等于3的圓周上的一個定點，假設在該圓周上隨機取一點b，那么劣弧的長度小于1的概率 a. 2/3 b. 1/3 c. 1/4 d. 不能確定2、在線段0，3上任取一點，那么此點坐標大于1的概率是 a. 1/3 b. 2/3 c. 1/2 d. 1/33

15、、某人睡午覺醒來，覺察表停了，他翻開收音機想聽電臺整點報時，那么他等待的時間小于10分鐘的概率是 a. b. c. d. 4、在1萬平方公里的海域中有40平方公里的大陸架貯藏著石油，假假設在海域中任意一點鉆探，那么鉆到油層面的概率是 a. b. c. d. 二、填空題5、在平面直角坐標系xoy中，設d是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區(qū)域，e是到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域，向d中隨機投一點，那么所投的點落在e中的概率是 。6、如下圖，在直角坐標系xoy內(nèi)，射線ot落在120°的終邊上，任作一條射線oa，那么射線oa落在xot內(nèi)的概率為 。7、如下圖，在一個邊長為5cm

16、的正方形內(nèi)部畫一個邊長為3cm的小正方形，向大正方形內(nèi)隨機投點，那么所投的點落入小正方形內(nèi)的概率為 。8、向面積為9的abc內(nèi)任投一點p，那么pbc的面積小于3的概率是 。9、地鐵列車每10分鐘一班，在車站停1分鐘，那么乘客到達站臺立即乘上車的概率是 。10、在區(qū)間1，1上隨機取一個數(shù)，的值介于0到之間的概率為_。三、解答題11、平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑ra的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率是多少？一、選擇題1、a 解析：設事件m為“劣弧的長度小于1”，那么滿足事件m的點b可以在定點a的兩側與定點a構成的弧長小于1的弧上隨機取一點，由幾何概型的概率公式得pm。2、b 由于點的坐標大于1，那么所在的位置為1到3之間的位置，故有答案b3、a 由于整點報時，故隨機試驗的區(qū)域長度為60分鐘，而等待的時間不超過10分鐘，由幾何概型概率公式那么得到答案a4、c 結合，在哪一點鉆都是等可能的，那么所研究的區(qū)域為1萬平方米，而可以采到石油的區(qū)域僅僅是40平方米，由幾何概型概率公式得到答案c二、填空題5、解：如圖：區(qū)域d表示邊長為4的正方形abcd的內(nèi)部含邊界，區(qū)域e表示圓及其內(nèi)部，因此6、 本試題為幾何概型。因為整個區(qū)域為一周3600，而落在xot內(nèi)的區(qū)域度數(shù)為1200，故所求的概率為7、 由測度為正方形面積，那我們根據(jù)小正方的面積除以大正方形的面積