高數定積分及其應用第129-163,共35張勇

1、第五章定積分及其應用 5.1 學習的要求1, 理解定積分的概念及幾何意義，了解可積的條件.2, 掌握定積分的基本性質.3, 理解變上限積分是變上限的函數，掌握對變上限積分求導數的方法.4, 熟練掌握牛頓萊布尼茨公式.5, 掌握定積分的換元積分法和分部積分法6, 理解無窮區(qū)間的廣義積分，掌握其計算方法.7, 熟練掌握定積分求平面圖形面積和掌握平面圖形繞坐標軸旋轉所成的旋轉體體積8, 會用定積分求變力直線做功和不均勻細棒的質量. 5.2 5.2內容提要一、定積分的概念(一)定積分的概念定義 設函數y f(x)在區(qū)間a,b上有定義，用任一組分點：a x0 x1.xiKxnb,把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)

2、間Xi i,x/(i 1,2,3,n)在每個小區(qū)Xi 1, Xi 上任意取一點i (xi 1 ixi )用函數值f ( i )與該區(qū)間的長度nxixix相乘，作和式 f( i) xi如果不論對區(qū)間a,b采取何種分法及i如何i 1選取，當| xi0(| x| max x (1 i n)時，和式的極限存在，則稱函數f(x)在ba,b上可積，此極限稱為函數在區(qū)間a,b上的定積分(簡稱積分),記為 f (x)dx ,即aba f(x)dxnf ( i) x，其中變量x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數，f (x)dx 0i 1稱為被積表達式a, b分別稱為積分下限和積分上限，a,b稱為積分區(qū)間，bf(

3、x)dx是一個常量(a,b為常數)，其值只與被積函數和積分上下限有關，與積分變量用什么字母無關，(二),幾何意義b1, 若f(x)>0,定積分f(x)dx表示曲線y f (x)，直線x = a和x = b以及x軸所a圍成的曲邊梯形的面積，b2, 若f(x)w。,定積分f (x)dx表示相應曲邊梯形面積的負值.a(三)定積分存在定理定理 如果函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上的定積分必定存在、定積分的性質bb性質 1 若 x a,b,恒有 f(x)=l,則有 1 dx dx b a . aaba性質 2 a f(x)dx=- b f(x)dx.bb性質 3 kf (x)d

4、x k f (x)dx (k 是常數) aabbb性質 4 f1 (x) f2(x)dx f1(x)dxa f2(x)dxfn(x)dxa,b ),bbb推 論 1 a fi (x) Lfn(x)dxa fi(x)dxa(2(x)dx Lbcb性質 5 c a,b,則f(x)dx=f (x)dx+ f (x)dxaacbcb推論 2 a,b,c為任意的常數 f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx. aac性質6(積分中值定理)若函數f (x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(bf (x)dx= f ( )(b a) a三、牛頓萊布尼茨公式(一) 積分上限函數1 .定義 設f(x)在a

5、,b上連續(xù)，x a,b,則f(t)在a,x上可積，即xxf(t)dt存在，因此 f (t)dt是上限x的函數，記為(x) f(t)dt,稱(x)為積分上限 aa函數(或變上PM積分).2 .積分上限函數的導數設f(x)在a,b上連續(xù)，(x)在a,b上可導，則d x'(x) f(t)dt f (x), x a,b. dx a(x)就是f (x)在a,b上的一個原函數.(二)牛頓一萊布尼茨公式定理如果函數F (x)是連續(xù)函數f (x)在區(qū)間a, b上的任一原函數，b則f(x)dx F(b) F(a),a這個公式稱為牛頓萊布尼茨公式，也稱為微積分學基本定理.公式表明：一個連續(xù)函數在區(qū)間a,

6、b上的定積分等于它的任一原函數在區(qū)間a,b上的增量.四.定積分的換元法和分部積分法(一)定積分的換元法設函數f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，令x (t),如果(1)(t)在,上連續(xù)，當t ,時，(t)的值不超出a,b,且有連續(xù)導函數'(t);(2)( ) a, ( ) b,b則f(x)dx= f( (t)'dx.a用x(t)進行變換時，積分限也要隨之換成新變量t的積分限，不必像不定積分那樣將變量還原.(二)定積分的分部積分法設函數u(x), v(x)在a,b上具有連續(xù)的一階導數u'(x),v'(x),則buv'dx uvabvdua(三)偶，奇函數在對稱區(qū)

7、間a,a上的積分(1)當“*)是a, a上連續(xù)的偶函數時,(2)當“*)是a, a上連續(xù)的奇函數時,五.廣義積分(反常積分)(一)無窮區(qū)間上的積分(無窮積分)aa f(x)dxaa f(x)dxa0 f(x)dx ；定義設f(x)在區(qū)間a,)上連續(xù)，取blimbbf (x)dx ,則稱此極限 a值為 f(x)在a,)上的廣義積分，記作f (x)dx =bimba f(x)dx ;類似地，可以定義如下反常積分bf (x)dx=Jmba f (x) dx ；(2)cf (x)dx=f (x)dx+cf (x) dx Jimca f (x)dx+limbf (x)dx ,(3)c其中c為任何實數；當

8、(1)(2)(3)式右端極限存在時，反常積分收斂，否則是發(fā)散的.(二)無界函數的積分 b定義 設f (x)在(a,b上連續(xù)，且lim f (x) ，取 0若極限lim f (x)dx x a0 a ' '存在，則稱此極限為無界函數f(x)在a,b上的廣義積分，記作bbf (x)dx= lim f (x)dx.a0 a類似地，可定義在x b附近無界函數 f(x)的反常積分bba f(x)dx = limf(x)dx,以及在(a,b)內一點x c附近無界函數f(x)的反常積分bcbcba f (x)dx = f (x)dx + c f (x)dx = lim 且 f (x)dx +

9、 lim f (x)dx -六定積分的應用(二)定積分的元素法.(1)任取a,b上的代表性的小區(qū)間x,x dx,作出欲求量Q在此小區(qū)間上增量Q的近似值即微元：dQ f (x)dx .b(2)求積分，Q= f (x)dx. a注：關鍵是找出微元，例如求面積要找出“面積微元”，求體積要找出“體積微元”等.(三)定積分的幾何應用1)平面圖形的面積(1)直角坐標系下的面積公式由曲線y f(x),y g(x)(f(x) g(x)與x a,x b(a b)所圍成的圖形面積bS=a f(x) g(x)dx；a由曲線 x (y),x(y)( (y)(y)與y c, y d(c d)所圍成的圖形面積ds (y)

10、(y)dy.c(2)極坐標系下的面積，求立體的體積由曲線r r(),與兩條射線 ，所圍成的曲邊扇形的面積1 2/ x .s -r ( )d .22)已知平行截面的面積，求立體的體積設某立體由一曲面和垂直于x軸的兩個平面x a,x b圍成，用垂直于x軸的平面去截這個立體，若截面面積 A(x)(a x b)是已知的連續(xù)函數，則該立體體積V3)旋轉體的體積連續(xù)曲線y f (x)(a x周所得的旋轉體體積連續(xù)曲線x (y)(c y周所得的旋轉體體積bA( x)dx .ab)與x a,x b及x軸所圍成的圖形繞b 2Vxa f (x)dxd)與y c, y d及y軸所圍成的圖形繞d 2Vyc (y)dy

11、.cx軸旋轉y軸旋轉(三)定積分在物理上的應用1 .變力沿直線作功變力f (x)作用于物體，使物體由點xa移動到x b, f(x)在a, b上連續(xù)，由微元法，任取a,b上的小區(qū)間x,xdx,其上的變力 f (x)近似看 著常數，得功 元素dw f (x)dx ,b以a到b求定積分，得所求的功w = f (x)dx .a2 .非均勻直線細棒的質量.直線細棒的線密度為(x),x a,b,在a,b上由微元法，任取a,b上的小區(qū)間x,x dx,其上的密度近似看著常數，得質量元素dm (x)dx,b從a到b求定積分，得到所求的直線細棒的質量m= a (x)dx.3 .非均勻細棒的轉動慣量細棒AB的方程為

12、y kx b,密度 (x),x a,b,任取a,b上的小區(qū)間 x,x dx,視該小區(qū)間上密度與x, x dx對應的細棒段 CD到轉軸x軸的距離y為常數， 得轉動慣量微元 dIxy21 k2(x)dx dk2(kxb)2 (x)dxb t 22轉動忸重為I x . 1k (kx b)(x)dxa§5.3基本例題及分析例1.比較下列積分的大小關系2 x2 x o1 x1(1) dx與()2dx;(2)dx與 ln(1 x)dx .1 sin x 1 sin x01 x 0分析在積分上下限都相同的情況下，積分大小由被積函數的大小決定.比較兩個函xsin x數的大小可以根據函數本身的圖形關系

13、、利用單調函數的定義等方法來判斷解(1)當 x 0時 sinx x,當 1<x<2 時，有一x1 ,即有(一x)2sin xsin x2 x2 x c則dx()2dx.1 sinx 1 sin x x(2)令 F(x) ln(1 x), F(0) 0, 1 xF'(x)xr,(1 x)21 x (1 x)20,F(x)F(0)當x 0時，F(xiàn)'(x) 0時,F(x)單調下降，xln(1 x),1 x1 11貝 U dx ln(1 x)dx.01 x 01_例2.估計積分12 xearcsnxdx的值.41 1 .斛當x ，一時，y x單增，yarcsin Jx單增，y

14、 e是單增，所以. 1.J，因此 f(1) f(x) f(1),4 2f (x)xearcsin、x 在1,1也是單增的4 2f(14) ”,"12)-e6161 :1e4 得一e2 412f (x)dx41 ;6 f (x) e4,同時積分得21 4-e .8x例3.設f (x)在x a處連續(xù)，求極限lim x af(t)dt分析x a時，分子趨向f(t)dt (=0),所以是0型極限，一般對變上限積分很0x常用“(f(t)dt) f(x)”這種運算方式，所以很自然想到用洛必達法則求解 a解這是9型未定式，用洛必達法則求解0原式=limx(tf dt)a(x a).xf(x) li

15、maf (a).x a 1例4.x設f (x)在a, b上連續(xù)，且f (x) >0,證明：方程 f (t)dtax 1 dt 0b f(t)在區(qū)間(a,b)內恰有一個根.分析證明根的存在可以考慮零點定理：連續(xù)函數的端點函數值符號相反則函數至少有一個零點(即函數值為 0的點)，如果函數是單調函數，則只能有一次穿過x軸.本例中出現(xiàn)變上限積分，一般要用到它的導數，注意變上限積分函數的自變量由變上限確定.x證設 F (x) = a f (t)dt 以F(x)在a,b上也連續(xù).x 11出，由于f (x)連續(xù)，f (x) >0,則連續(xù),所b f(t)f(x)a 1b 1b又因為 F(a) dt

16、dt 0, F(b) f(t)dt 0,b f (t)a f(t)a又 F'(x) f (x)一個根，由上述證明可知：例5.計算下列積分1 0.則F(x)在a,b上單增, f (x)F(x)在(a,b)內恰好有一個根.F(x)0在a,b上最多有9 sin x4 、x(2)2 cos5 xsin2xdx ；0a 222 .3 3) x a x dx ( a>0)； 0(4)1 dx2 xlx21e 1(5) 0 ln(1 x)dx；(6)2 (sin3 x cosx)dx.2由零點定理可知，F(xiàn)(x) =0在(a,b)內至少有一個根.分析(1)題出現(xiàn)了復合函數和其中間變量的導數，比較

17、明顯是用湊微分法；另外也 出現(xiàn)了 Jx項，可以嘗試第二換元法 .(2)題先用倍角公式化簡后明顯是用湊微分法的情形.(3)題含4a2 x2且沒有 2xdx的組成，所以用第二換元法的三角代換法.(4)題同(3)題，另外注意到和(arcsinx)1/J1 x2很接近,可以考慮變形后用湊微分法.(5)題是募函數乘對數函數的積分，顯然用分部積分.(6)題的上下限是對稱區(qū)間，根據奇偶函數在對稱區(qū)間的積分來做 .1斛:(1)法一: dx2d Vx,x49 詈dx 2 49s1n 如或2cos 網94 2(cos2 cos3).法二:(用第二換元法).令 tJx, x t2,dx 2tdt,當 x=4 時，t

18、=2;當 x=9 時 t=3,9 sin . x 1 一dx4,x32 sintdt22cost3 2(cos2cos3).(2)原式=2 02 CoSxsin xdx26,2 2 cos xd cosx 027-cos x 7令 x asin t,(0 t ),dx acostdt ,2當 x=0 時，t=0;當 x = a 時，t=，則a 2 -22 .0x a xdx204 a42 , . 2 ,a (sin t)(acost)(acost)dt02sin22tdt(4)法一：用第二換元積分法2當 x 2 時，t 2 fx31 dxjs.tcoJtdta4 21 cos4t ,2dt4

19、02,令 x sect, dx sect tantdt ,1時,t=，則2 x v x21法二：運用恒等變形和湊微分法sect tan t , dt2甘 sect( tant)2, 1, 有 42x ,而一百2=X、x 14a8(tsin 4t4 a16L( 1)dt32(1 x)21(1x)2(-),x令u 1 ,則x(5)1 dx1/21 du-1 u2arcsin u11/2e 10 ln(1x)dxe 10 ln(1x)d(x 1) (x1)ln(1x)e 10 (x1)d ln(1 x)(6)e 1e (x01)x-dx e1積分區(qū)間關于點對稱，sin33是奇函數，cos x是偶函數

20、.、/23/2原式= sin xdx cosxdx 0 2 /2/202 cosxdx 2.例 6.求證 °xf(sinx)dx 分析等式兩邊被積函數均含有o f (sinx)dx -f (sin x),注意至ij sin( t) sint ,如果 x其上下限互換了，并注意到定積分與積分變量用什么符號無關dt,當 x 0時，t =o xf (sin x)dxt)f (sin( t)(;當x 二 時, 0 dt) (t=0.t) f (sin t)dto(t) f (sin t)dt0 f (sin t)dt0 tf (sin t)dt,而定積分與積分變量無關，得0 tf (sin t

21、)dt 0 xf (sin x)dx ,整理得 ° xf (sin x)dx Qf (sin x) dx .例 7.計算 e x sin xdx . 0分析被積函數的指數函數乘正弦函數，兩次同型的分部積分就可以解出原函數題是廣義積分，其實就是先求定積分，然后取上限或下限的極限解：由不定積分e xsinxdxx xsin x e cosxdxx 一一sin xxe cosxxe ( sin x)dx ,x sin dx1e x(sin 2x cosx)c,sin xdx lim bbe x sin xdx0bim( ex/2)(sin xcosx) 0bim(sinb cosb2eb1

22、/2) 1/2x sin xdx收斂,其值為1/2.例8.求曲線2 , x與直線x=4, x 軸,y軸在區(qū)間0,4上圍成圖形的面積S.解4S =02 .x dx例9.求由曲線2(40 2 r2、,x )dx2 cos2(x2 4)dx所圍成圖形在(4x x3. 3)： (x3,. 3 4x)r =1內的面積.42 16.分析 本題沒有明確指出極坐標下的變化范圍，那么肯定要根據已知條件找出來,注意r1 2>0.題意是求兩個圖形圍成的圖形面積，而定要相交，所以首先要求出交點，從而確定積分的限r =1是個半徑為1的圓，它和曲線一解由r22 cos20 ,則 cos2 0,2人 r 2cos2r

23、 1,交點(1,-).由于對稱性,先計算第一象限內的部分/6時,r =1 ,陰影部分面積A106 r2d6 , 1d012.2一時，r2 cos 24,陰影部分的面積為A2 24 244r d6A 4(AA2) -23.例10.求由曲線y 2 x2與直線y x(x 0), x 0 .圍成的平面圖形繞 x軸旋轉 而成的旋轉體體積.分析 兩曲線圍成圖形的旋轉體體積可以看成大的旋轉體去掉小的旋轉體，曲線繞 x軸 旋轉，任意點x處的截面半徑是r y f(x)，旋轉體體積微元是y2dxf2(x)dx.解解方程組:二且x 0,得x=1.則所求旋轉體的體積為Vx1001 o0(2 X2)2dx0x2dx10

24、(424、5x x )dx例11.自地面垂直向上發(fā)射火箭，火箭質量為m,試計算將火箭發(fā)射到距離地面高度為h處所做的功.解：設地球質量 M ,半徑為R ,坐標原點在地心，地球對于r點處火箭的引力大小為f G- (r是地心到火箭的距離).r火箭從r處到r dr處.引力近似看成不變，為f(r) GM；, r則功元素為dW f (r)dr ,)R hR hR h Mm1 R h1W dW f (r)dr G-dr GMm( -) R GMm(一RRR r2rR§ 5.4 教材習題選解習題5-11、判斷題b(1)定積分 f(x)由被積函數f(x)與積分區(qū)間a,b確定.(，) ab(2)定積分

25、f(x)dx是x的函數.(x) ab(3)若 f(x)dx 0,則 f(x) 0. (x) ab(4)定積分f (x)dx在幾何上表示相應曲邊梯形面積的代數和.(，)a2、選擇題(根據右圖(見教材P122圖)寫出答案)：b(1) 0 f (x)dx(B)；(A)A1A2;(B)A1A2;(C)A2A1;(D)AA3A2d f f(x)dx (C)； c(A)A2A3；(B)A2A3；(C)A3A2；(D)A3AiA2 .d(3) 0 f (x)dx (C).(A)AiA2A3 ；(B)AiA2A3 ；(C)AiA2A3 ；(D)A3AiA2.習題5-2i、判斷題2(i) f(x)dxf(x)d

26、x； (x)(2)當 f (x) c時,(3)bakf (x)dxbi0 f(x)dxbif (x)dx ； (V)f（x）dx只對非零常數k成立；（x） aki fi(x)k2 f 2(x)dxkifi (x)dx k2ba fz(x)dx; (V)-9 ”sin xdx9.sin xdx9.sin xdx .2、已知ix3dxdxixdx0cosxdx i ,02sinxdx1，求定積分:解（i）i0(4xi0(x(4x3i20(x 2) dx(3)i0(3xi0(x2sin2 dx02(6)i382x3i) dx ;2x(x2i)dx;i)dx4xi )dx3i)3dx(5)4)dxix

27、dx0i(x0ii cos x ,2dx02i0(x3dx3x202(asinx b cosx) dx2)2dx2 xsin -dx ;ix2dx0idx03x2dx0(3)i0(3x2ixdx0(6)iidx2i4 xdx0i)dxi3i x0i92 (asin x0idx03dx2 cos xdx002sinxdx b 02 cosxdxb cosx) dx .3;ii;2dxxdx04(idx02)；3、設f(x)和g(x)在a, b上連續(xù)，且0 f(x) g(x)試用定積分的幾何意義說明bbf(x)dx g(x)dx . aa解令 h(x) g(x)ba h(x) dxbQ a f(x

28、)dxf(x),則在a,b上,b0,即(g(x) f(x)dx aba g(x)dx .h(x)b0,ag(x)dxbf(x)dx 0, a4、用第3題的結論比較定積分的大小:2.ln xdx與(ln x) dx ； (3)3、2 xdx 與 2sinxdx； 0022 2 .(1) 1 xdx與x dx ； (2)1 .,1.2.(4) ° sin xdx 與 °sin xdx .解(1)在1 , 2上,x2 (2)在3,4上，lnx2 2 2x , xdx x dx.111 ,知 ln x (ln x)22 , (ln x) dx .4ln xdx3在0,上，f (x)

29、 x sinx, f 2'(x) 1 cosx 0 ,即 f (x)在0 一是增 ，2f (x)取到最小值.2 sin x函數，顯然在0,上，當x 0時，2f (x) x sin x 0,有 sin x x,則2 xdx2 sin xdx 00(4)在0,1上，0 sinx 1, sin x1sin xdx01sin2xdx .0習題5-3(1)當(x)1、判斷題xf(t)dt 時,'(x) a(2)對任意函數bf ( x)有 a f ( x) dxF(b) F(a);(x)1(3)0(_1_, 1 x22(4)sin kxdx02、計算定積分a 12(2) 1(3x1、-)d

30、x(a 0)； x(3)221i(X尸庫(4)Vx(1 Vx)dx ;3 dx12 ；飛1 x(6)4 dx(8)27T12dx2J x21dx20-.42， x(10)(11)2 sin3 xdx ；0(12)| sin x| dx ;(13)f(x)(15)(4)(6)(8)(9)2x4 tan2 xdx ；0(16) 1123x2，求02x.x(a21(xf(x)dx ；(14)(17)(3x21)33a dx0 PV(a 0)，1 3x1(2sin xx0(e3x 1dx;13cosx)dx ；2 x.,cos -)dx.21x -)dxx(a 1)21、，4)dx x(x3ln|x|

31、)ln(a 1)2a ln(a 1).J 3(3x1 3、3x )(3 27(18 81)3 dx1 L 2飛1 xdx2 a4 dx2 x2 1x)dx122 81) (31 dx0 7x216(8) 103arctan xarcsin x1212arctan-3(32)63 212481 x 121n1u1. x arcsin 212211616)3a11n3 2 51ln12 3ln311n5. 2.1 arcsin- 2arcsin0 一 6(10)13x1"x1_ 22_2_1 3x (x 1) 3(x1) 3x 41dx1d(x2 1)1 dx1-1 x3xdx3, ,

32、2 一ln( x121)4 arctan x2 6 0 44 ( 4) 2(11)02sin3xdx02 (cos21)d (cos x)13 萬O 1-cos x 2 cosx 2 - (0 1) (0 1)300 32(12)0 |sinx|dx 0sinxdx2sin xdx2cosx cosx0(13)(1 1) (12f(x)dx1) 4.1 2 .x dx0(2x3 11)dx *3 0221(x2 x) - (2 0)1323-(14)(2sin x 3cosx)dx20sinxdx30 cosxdx2cosx 3sin x00(15)4 tan2 xdx02(1 1) 3(0

33、0) 44 (sec2 x 1)dx (tan x x) 4 1)、，、，0(16)_ 2-23x 2x1，xdx241 (3t42t21)2dt3 52 3 避2(3t 3t t)1一 sinx20(e11) (2 0) -(0 0) e2(- 4 . 2 2 2 - 2 . 2) 2( 1) 535 3也想68.1515(17) (ex cos2 -) dxexdx sin kxdx 0 ；-cosxdx0 20023、設k為正整數，證明:(2) coskxdx 0.證明：（1）sinkxdxsinkxd(kx)coskx k-(cosk cos( k ) 0； k,1 1 .(2) co

34、skxdx coskxd(kx) sin kk1 (sink sin( k ) 0. k4、設某公司擬在市場推出一種新產品，據市場預測，產品最終可占有全國市場的4%即每年可銷售480萬元，產品剛上市時大家陌生，故開始時達不到預測數，若收益函數變1,化率R'(t) 4801代成I解第二年的收益為：221 R'(t)dt 480 1 1(萬元/年)，問第二年的收益為多少？第三年呢?48qt1(t 1)13dt(t 1)248021 1八2 .446(萬)，2 43第三年的收益為:32R'(t)dt 480 21(t 1)3dt1480t - 2習題 5-41、判斷題：(1)

35、定積分換元時要交換上、(2)11 x(3)(5)(t 1)2下限；(X)48Q3161“11 4681 (萬),2 (x2 1)(cos3 x 2)dx 0;(，)2 x 2sin u4 x dxe 1° ln(1 x)dx(.1 x2)dx2、計算定積分2 dt0 4 te3dxx、1 In(5)0 sin2(10)t )dt;V1 x2dx ；(8)(11)222 4cos udu0- dx ； (x) x1 x301 x421(3)1 =cos-12(6)2sin3 xcosxdx ；02 cosxcos2xdx；2- dx2dx(a 0).022a x(9)xdx2 2 ，(

36、1 x )dt7t 2tanu -d(2tanu)4sec2 u01 x4dx1d(1 x4)0 1x4加1du 一 84)41n22dt1 t10(1dx1 x 1 ln x, t 1u2 1-)du 2ut2 euu2 1d(u21)1u2 1 1du12arctanu0t2 12d(et 1)11tet2t222t ett2 1 e1-dt2dt12t4-cos1dt t2 t02sin3xcosxdx一 2/0 sin ()dt11cos-d (-)t t1 sintsinsin 一202sin3 xd(sin x)1 cos2( to cos2(1rsin2(2 cosxcos2xd

37、x216( 1 1)2(11)xdx22(1 x )20(1sinu1一 sin4)dt)d(2( t )(cos3x2x2) 2d(11；(10)1sin(2cosx)dxx2)1 . sin621 x2)sin 2 3x1- sin x2-(2 51)cosud(sinu)2 22 cos0uducos2u , du2121 7 c -c 、1 ,2u 2 cos2ud(2u) sin2u 1. 9693232 04 04404a dx x asinu 6d(asinu) du _0 a2 x20 acosu 063、計算定積分:解(2)(4)(6)(8)(9)(10)(11)1 x .(

38、1)0xe dx;(2)0 tsintdt ；(3)12arcsinxdx;01(4) xarctanxdx002e2xcosxdx;(6)2 -x sin xdx .解1xe xdx01°xdx(e x)xxexdx(2)tsintdt00 td(cost)tcostcostdt0sint12arcsinxdx0xarcsinx12 xd (arcsinx)(4)(6)12102(112) 2d(1x2)1222112xdxx21xarctanxdx0arctanx1(1 -012e02xcosxdx2 2x2e sin xdx0112,、02x d(arctanx)x2dx01a

39、rctanx)d (sin x) e2x sin x4 02 e2x cosx2 sin0xd (e2x)dx,2x1 xe cosxdx - (e 52 sin xdx4、求定積分(1)1 dx(5)2；eo x2d(cosx)2xd (cosx)2x cosxc 2x2e cosxxcosxdx-22x、2 2 cosxd(e ) 02o xd(sin x) 2xsin xsin xdx2 2cosx211 5x；(2)e 1 ln x , dx;1 x1I 二 1(x31)dx.x4sin3 xdx ； (6)2 cos x解(1)1 dx 1 1d(11 5x) 11n |11 5x

40、1(ln6 ln1) -ln6 .211 5x 5 2 11 5x 52 55(2)(4)(6)t2 . 1 12dtt sinu -22 sin u cosu002sin22udu sin 4u|16 3214 In x , dx1 4 ° x2ln2e 1 In x , dx1 x43.x sin xdx11 3 32(x cos x1 -21 cos4u , 2du1612*t2)2ln2 1 .d(sin u)02(sinu cosu)2ducos4udu2In tdt1t ln te(1 In x)d(1 In x)10 （奇函數）.1(1ln x)2231)2 1 211

41、,32、，1)dx 1 (x cos x)dx5、證明在區(qū)間a, a上，若f（x）為偶函數,證明f(x)dxf (x)d(x)分與變1dx11dx0f (x)dx2 （奇函數）.a0 f (x)dx.0a f (x)dx0a° f (x) dx ,對f(x)d(x)af (x) dx 2 ° f (x)dx .6、設k為自然數，試證:2 coskxdx證明(1)(2)f( u)d(0u) a f(u)d(au)f (u)d(u)a0 f(u)d(u)cos2 kxdx14ksin2 kxdxa0 f(u)d(u)2sin kxdxcos2kx, dxcos2kxd(2kx)

42、工 sin2kx 4ka° f(x)d(x),從而cos2kxdx1源 (0 0)1 cos2kx .dx21一 cos2kxdx21cos2kxd(2kx)4k-sin 2 4k1源(0 0)7、證明:x1dx2 x1證明dx.2x1 x t1 x _t1Xdx1 x1 2d(；)(x 0) 1 dt1 1 t21t2dx2 x1dt1-t2 xL1dt.（積分與變量形式無關,只與積分上下限和函數有關）習題5-51、某河床的橫斷面如下圖所示（圖形見教材 它的橫斷面的面積，試根據圖示的測量數據（單位:P134),為了計算最大排洪量，需要計算mD用梯形法計算其橫斷面面積.36解

43、76; f (x)dx 4(0 1.1 1.1 2.5 2.5 5.9 5.9 7 7 77 6.626.6 4.124.1 2.224(1.1 2.525.9 7222.2 026.6 4.1 2.2)2145.6 ( m ).2、用矩形法，梯形法與拋物線法近似計算定積分10,2 dxdx ,以求In 2的近似值（取1 x被積函數值取四位小數）解取 n 10,分點為：x0 1 , x1 1.1, x21.2 ,x9 1.9 , x102 且1102 dx矩形法：用外接矩形 1 x或者用內接矩形ixiyi01.01.000011.10.909121.20.833331.30.769241.40

44、.714351.50.666761.60.625071.70.588281.80.555691.90.52631020.5000求和1.50003.45952.7282梯形法：1拋物線法:2 dxx2 dxi7習題1、計算反常積分(5)解(2)(4)(6)1 1 (1.500010 2*xxdxdx4 x3.4595+2.7282) 0.6938 ,axdxln x dxx1(1.50006*52 2.72824 3.4595)0.6931 .5-6ax /dx ( a0)；(3)ln x ,dx (a x0)；(4)(6)dxx2 2x 2lim arctan(aa1 xdx0.21 xe dxdx1 X y 1 (ln