（整理版）高考數(shù)學(xué)知識點講座考點42用空間向量法解題（三

1、加*號的知識點為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用會求直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角；會用求距離的常用方法如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法和距離公式計算七種距離二知識梳理1異面直線所成的角：兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關(guān)，把所成的銳角或直角叫異面直線所成的角或夾角為了簡便，點通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：2求異面直線所成的角的方法：1幾何法；2向量法3直線和平面所成角1定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角，一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角直線和

2、平面所成角范圍： 0，2定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角4公式：平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，那么有5二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個局部，其中的每一局部叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面假設(shè)棱為，兩個面分別為的二面角記為；6二面角的平面角：1過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，那么叫做二面角的平面角2一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，那么也是的平面角說明：二面角的平

3、面角范圍是；二面角的平面角為直角時，那么稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直7二面角的求法：幾何法；向量法8求二面角的射影公式：，其中各個符號的含義是：是二面角的一個面內(nèi)圖形f的面積，是圖形f在二面角的另一個面內(nèi)的射影，是二面角的大小9三種空間角的向量法計算公式：異面直線所成的角：；直線與平面(法向量)所成的角：；銳二面角：，其中為兩個面的法向量10.點到平面的距離：點是平面外的任意一點，過點作，垂足為，那么唯一，那么是點到平面的距離即 一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離結(jié)論：連結(jié)平面外一點與內(nèi)一點所得的線段中，垂線段最短11.異面直線的公垂線：和兩條異面直線

4、都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線12.公垂線唯一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線13兩條異面直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的局部，叫做兩條異面直線的公垂線段；14公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條；15兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度說明：兩條異面直線的距離即為直線到平面的距離，即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離16.直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點面距離)17.兩個平行平面的公垂線、公垂線

5、段：1兩個平面的公垂線：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線2兩個平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的局部，叫做兩個平面的公垂線段3兩個平行平面的公垂線段都相等4公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個平行平面間的線段長18.兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離19七種距離：點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是根底，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法來求20.用向量法求距離的公式：異面直線之間的距離：，其中直線

6、與平面之間的距離：，其中是平面的法向量兩平行平面之間的距離：，其中是平面的法向量點a到平面的距離：，其中，是平面的法向量另法：點平面那么 點a到直線的距離：，其中，是直線的方向向量兩平行直線之間的距離：，其中，是的方向向量例1. 正四棱柱中，=，為重點，那么異面直線與所形成角的余弦值為a b c d 答案：c解析：此題考查異面直線夾角求法，方法一：利用平移，cdba',因此求eba'中a'be即可，易知eb=,a'e=1,a'b=,故由余弦定理求cosa'be=，或由向量法可求.例2. 在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)掕垂直于底面，點是側(cè)面的中心，那么

7、與平面所成角的大小是 a b c d 答案：c 【解析】取bc的中點e，那么面，因此與平面所成角即為，設(shè)，那么，即有例3. 如圖，在直三棱柱中，,求二面角的大小. 【解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系那么a2，0，0、 c0，2，0 a12，0，2，b10，0，2 、c10，2，2 2分設(shè)ac的中點為m，bmac, bmcc1;bm平面a1c1c,即=(1,1,0)是平面a1c1c的一個法向量.5分設(shè)平面的一個法向量是 =x，y，z， =-2，2，-2， =-2，0，0 7分 設(shè)法向量的夾角為，二面角的大小為，顯然為銳角.14分、面面垂直例4. 如圖，在五面體abcdef中，fa 平面abcd, a

8、d/bc/fe，abad，m為ec的中點，af=ab=bc=fe=ad (i) 求異面直線bf與de所成的角的大?。?ii) 證明平面amd平面cde；iii求二面角a-cd-e的余弦值. 解：點依題意得 i 所以異面直線與所成的角的大小為.ii證明： ， iii 又由題設(shè)，平面的一個法向量為 中，且；平面平面，；為的中點，求：點到平面的距離；二面角的大小 解以s(o)為坐標(biāo)原點，射線od,oc分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點a在xoz平面上，因此又因ad/bc，故bc平面csd，即bcs與平面yox重合，從而點a到平面bcs的距離為.()易知c(0,2,0)，d(,0,0

9、). 因e為bs的中點.bcs為直角三角形 ,知 設(shè)b(0,2, )，0，那么2，故b0，2，2，所以e0，1，1 .在cd上取點g，設(shè)g，使gecd . 由故 又點g在直線cd上，即，由=，那么有聯(lián)立、，解得g,故=.又由adcd，所以二面角ecda的平面角為向量與向量所成的角，記此角為 .因為=，,所以 故所求的二面角的大小為 .例6. 正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為1，求異面直線bd與b1c的距離分析：雖然此題中沒有給出表示兩異面直線距離的線段，但是容易建立直角坐標(biāo)系，使它變?yōu)樽鴺?biāo)系下的異面直線距離的問題，還是屬于考試范圍的問題解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，那么b0，0，0，c1

10、，0，0，d1，1，0 b10，0，1，那么設(shè)與都垂直的向量為，那么由 和得，異面直線bd與b1c的距離：例7. 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，i求證：；ii設(shè)線段、的中點分別為、，求證： iii求二面角的余弦解: 因等腰直角三角形，所以又因為平面，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (i) 設(shè)，那么，從而 ，于是，,平面，平面， ii，從而于是，又平面，直線不在平面內(nèi)，故平面iii設(shè)平面的一個法向量為，并設(shè) 即取，那么，從而1，1，3取平面d的一個法向量為 例8. 在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：直線到平面的距離；二面角的平面角的正切值解：如圖以a點為坐標(biāo)原點,的方向為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù),那么a(0,0,0) c(2,2,0) d(0,2,0) 設(shè)可得,由.即,解得 ，面,所以直線ab到面的距離等于點a到面上的射影點為,那么 因且,而,此即 解得,知g點在面上,故g點在fd上.,故有 聯(lián)立,解得, 為直線ab到面的距離. 而 所以因四邊形為平行四邊形,那么可設(shè), .由得,解得.即.故由,因,故為二面角的平面角，又,所以例9. 四棱錐sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=2a，點e是sd上的點，且求證：對任意的，都有設(shè)二面角caed的大小為，直線be與平面abcd所