L16多目標(biāo)決策

1、L16 多目標(biāo)決策n詹文杰（教授詹文杰（教授/博導(dǎo)）博導(dǎo)）n Office: 華中科技大學(xué)管理學(xué)院華中科技大學(xué)管理學(xué)院611室室n Tel: Email: 學(xué)習(xí)目標(biāo)n了解多目標(biāo)決策的特征；n了解常用的多目標(biāo)決策求解方法；n了解步驟法(STEM法)；n掌握目標(biāo)規(guī)劃方法(圖解法)。16 多目標(biāo)決策多目標(biāo)決策 n16.1 多目標(biāo)決策的特征n16.2 多目標(biāo)決策的求解n16.3 步驟法(STEM法)n16.4 目標(biāo)規(guī)劃方法16.1 多目標(biāo)決策的特征n本章討論決策變量為連續(xù)型的多準(zhǔn)則決策問題，即多目標(biāo)決策問題(MODM)。n這類問題的備選方案集由一集有因果關(guān)系的決策變量隱式地

2、給出。n由于在求解這一類問題時(shí)，尤其在生成非劣解過程中，決策分析人員的作用十分重要，因此將特別關(guān)注分析人員如何與決策人結(jié)合去獲得決策人最滿意的方案。16.1 多目標(biāo)決策的特征n一、解的特點(diǎn)n二、模型結(jié)構(gòu)f1f212345678n在解決單目標(biāo)問題時(shí)，我們的任務(wù)是選擇一個(gè)或一組變量在解決單目標(biāo)問題時(shí)，我們的任務(wù)是選擇一個(gè)或一組變量X，使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù)f(X)取得最大（或最?。τ谌我鈨煞桨杆鶎θ〉米畲螅ɑ蜃钚。?。對于任意兩方案所對應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)誰劣。應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)誰劣。n但在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個(gè)目但

3、在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個(gè)目標(biāo)標(biāo)f1(X)，f2(X),希望它們都希望它們都越大越好越大越好。下圖列出在這兩個(gè)目標(biāo)。下圖列出在這兩個(gè)目標(biāo)下共有下共有8個(gè)解的方案。其中個(gè)解的方案。其中方案方案1，2，3，4稱為劣解稱為劣解，因?yàn)樗驗(yàn)樗鼈冊趦蓚€(gè)目標(biāo)值上都比方案們在兩個(gè)目標(biāo)值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而差，是可以淘汰的解。而方案方案5，6，7，8是非劣解（或稱為有效解，滿意解），是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因?yàn)檫@些解都因?yàn)檫@些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個(gè)與其余任何一個(gè)相比，總不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個(gè)與其余任何一個(gè)相比，總有一個(gè)指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個(gè)

4、指標(biāo)卻更差。有一個(gè)指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個(gè)指標(biāo)卻更差。一、解的特點(diǎn)二、模型結(jié)構(gòu)n多目標(biāo)決策問題包含有三大要素：目標(biāo)、方案和決策者。n在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次來看，目標(biāo)代表了問題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定層次來看，目標(biāo)代表了問題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的投資項(xiàng)目、選擇最滿意的食品。從較低層次最滿意的投資項(xiàng)目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標(biāo)可看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)具體來看，目標(biāo)可看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)具體的目標(biāo)，如投資項(xiàng)目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險(xiǎn)要的目標(biāo)，如投資項(xiàng)目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險(xiǎn)要小；目標(biāo)也可

5、看成衡量總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)則，??；目標(biāo)也可看成衡量總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)則，如食品的味道要好，質(zhì)量要好，花費(fèi)要少。如食品的味道要好，質(zhì)量要好，花費(fèi)要少。n多目標(biāo)決策問題中的方案即為多目標(biāo)決策問題中的方案即為決策變量決策變量，也稱為多目，也稱為多目標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的可行解可行解。在多目。在多目標(biāo)決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題標(biāo)決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題 的的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。XxtsXfXfXfXFoptTp. .)(),.,(),()(21),.,

6、(21nxxxX 為決策變量n如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：n絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F(X*) F(X);n有效解：若不存在X，使得 F(X*) F(X);n弱有效解：若不存在X，使得F(X*) F(X)。多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型絕對最優(yōu)解不存在絕對最優(yōu)解的情況n設(shè)方案的效用是目標(biāo)屬性的函數(shù)：),.,()(21pfffUxU并設(shè)：)(jiijxfa 且各個(gè)方案的效用函數(shù)分別為：),.,()(21pjjjjaaaUxUn則多目標(biāo)優(yōu)選模型的結(jié)構(gòu)可表示如下：XxtsXUXUXUXUoptTp.)(),.,(),()(21多目標(biāo)決策的效用數(shù)學(xué)模型16.2 多目標(biāo)決策的求解n一、主要

7、目標(biāo)法n二、線性加權(quán)和法n三、平方加權(quán)和法n四、理想點(diǎn)法一、主要目標(biāo)法n在有些多目標(biāo)決策問題中，各種目標(biāo)的重要性程度往往不一樣。其中一個(gè)重要性程度最高和最為關(guān)鍵的目標(biāo)，稱之為主要目標(biāo)法。其余的目標(biāo)則稱為非主要目標(biāo)。XxtsxfxfxfxFoptPp. .)(,),(),()(021）（n例如，在上述多目標(biāo)問題中，假定f1(x)為主要目標(biāo)，其余p-1個(gè)為非主要目標(biāo)。這時(shí)，希望主要目標(biāo)達(dá)到極大值，并要求其余的目標(biāo)滿足一定的條件，即： XxtsxfoptP. .)(11）（例例1：某工廠在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)某工廠在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要消耗品都要消耗A，B，C三

8、種不同的資源。每件產(chǎn)品對資源三種不同的資源。每件產(chǎn)品對資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價(jià)格、的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價(jià)格、單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都銷售出去，問每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都最大，且造成的污染最??？最大，且造成的污染最?。考滓屹Y源限量資源A單位消耗資源B單位消耗資源C單位消耗9434510240200300單位產(chǎn)品的價(jià)格400600單位產(chǎn)品的利潤70120單位產(chǎn)品的污染32解：問題的多目標(biāo)模型如下：0,30010320054

9、2404923)(min600400)(max12070)(max21212121213212211xxxxxxxxxxXfxxXfxxXfn對于上述模型的三個(gè)目標(biāo)，工廠對于上述模型的三個(gè)目標(biāo)，工廠確定利潤最大為主要目標(biāo)。確定利潤最大為主要目標(biāo)。n另兩個(gè)目標(biāo)通過預(yù)測預(yù)先給定的另兩個(gè)目標(biāo)通過預(yù)測預(yù)先給定的希望達(dá)到的目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為約束條件。希望達(dá)到的目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為約束條件。n經(jīng)研究，工廠認(rèn)為總產(chǎn)值至少應(yīng)經(jīng)研究，工廠認(rèn)為總產(chǎn)值至少應(yīng)達(dá)到達(dá)到20000個(gè)單位，而污染控制在個(gè)單位，而污染控制在90個(gè)單位以下，即：個(gè)單位以下，即：9023)(20000600400)(213212xxXfxxXf由主要目標(biāo)法化

10、為單目標(biāo)問題：0,300103200542404990232000060040012070)(max212121212121211xxxxxxxxxxxxxxXf用單純形法求得其最優(yōu)解為：90)(,20750)(,4025)(,25.26, 5 .1232121xfxfxfxxn在上述目標(biāo)規(guī)劃中，假定f1(X), f2(X), fp(X)具有相同的量綱具有相同的量綱,按照一定的規(guī)則分別給fk 賦予相同的權(quán)系數(shù)k，作線性加權(quán)和評價(jià)函數(shù)：pkkkXfXU1)()(則多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)問題：二、線性加權(quán)和法XxtsxfxfxfxFoptPp. .)(,),(),()(021）（XxtsXfX

11、UoptPpkkk. . )()(21）（二、線性加權(quán)和法例2：求解 X=xR2|x1+2x210，x24，x10，x20X是凸集，f1(x), f2(x), f3(x)都是X上的凸函數(shù)。 XxtsxfxfxfxF. .)(),(),()(min321222132221222211)2()4()()3()2()()1()1()(xxxfxxxfxxxf這里：解：定義權(quán)系數(shù)wk0 (k=1,2,3), 其中：w1+w2+w3=1. 構(gòu)造評價(jià)函數(shù)： 求解單目標(biāo)最優(yōu)目標(biāo)問題： 顯然，對于不同的權(quán)系數(shù)，最優(yōu)解對于不同的權(quán)系數(shù)，最優(yōu)解x*(w)是不是不同的，但是它們都是原多目標(biāo)問題的非劣解同的，但是它們

12、都是原多目標(biāo)問題的非劣解，下面給出幾組權(quán)系數(shù)及其對應(yīng)的最優(yōu)解（表1）。31)()(kkkxfwxUXxtsxfwxUkkk. .)()(min31序w=(w1,w2,w3)X(w)=(x1,x2)F=(f1,f2,f3)12345(1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 1)(1/3, 1/3, 1/3)(3/6, 2/6, 1/6)(1, 1)(2, 3)(4, 2)(7/3, 2)(11/6, 11/6)(0, 5, 10)(5, 0, 5 )(10, 5, 0)(25/9, 10/9, 25/9)(25/18, 25/18, 85/18)表表1 1 線性加權(quán)法的最優(yōu)解線性加權(quán)法的

13、最優(yōu)解332211*2*1,)()(*xwxwxwxxwx24,32,11321xxx 可以證明，這個(gè)問題的全部非劣解為：可以證明，這個(gè)問題的全部非劣解為：其中：0),(321wwww222132221222211) 2() 4()() 3() 2()() 1() 1()(xxxfxxxfxxxf二、線性加權(quán)和法n線性加權(quán)和法中權(quán)系數(shù)確定方法：n1) 法 n2) 法 1) 法 PjjpjkjjkwPkxfwxU111., 2, 1)()(n先對P個(gè)分量 fk(x)分別求極值(k=1,2,P)。假設(shè)得到P個(gè)相應(yīng)的極值點(diǎn)xk (k=1,2,P)，令：), 2 , 1(; )()(*Pkxfxfop

14、tfkkkXxkn然后把這個(gè)P個(gè)極值點(diǎn)分別代入評價(jià)函數(shù)U(x)中，得到P個(gè)方程：其中：是待定常數(shù)，由此可以解出權(quán)系數(shù)。105105051050321213132wwwwwwwww.21,0,21,5*3*2*1www23,25*wx213,25,25F例3： 用法求本節(jié)例2的權(quán)系數(shù)。n從表1知，3個(gè)單目標(biāo)分量單獨(dú)求極小化，所得3個(gè)極小點(diǎn)是：24,32,11321xxx222132221222211)2()4()() 3()2()() 1() 1()(xxxfxxxfxxxfn將3個(gè)極小點(diǎn)依次代入目標(biāo)函數(shù)U(x)后，可以構(gòu)造線性方程組如下：31)()(jkjjkxfwxU不難解出，這個(gè)方程組有唯

15、一解：n其相應(yīng)的線性加權(quán)和問題（P2）的最優(yōu)解為： ， 它也是多目標(biāo)問題（P0）的非劣解，這時(shí)： 2) 法 XxtsxfxfxfoptTP. .)(,),(),(21)()(1*kkkXxkkkxfxfoptff，n化為單目標(biāo)決策問題：化為單目標(biāo)決策問題：XxtsxfxoptUmkkk. .)()(1適用條件：適用條件：fk*0。n多目標(biāo)決策問題：多目標(biāo)決策問題：其中，其中，三、平方加權(quán)和法), 2 , 1(; )()(*PkxfxfoptfkkkXxkPkkkkfxfwxU12*)()(XxtsfxfwxUPPkkkk. .)()(min312*）（XxtsxfxfxfxFoptPp. .)

16、(,),(),()(021）（n先求各分量的最優(yōu)值：n再分別賦以權(quán)系數(shù)wk (k=1,2,.,P)，作平方加權(quán)和評價(jià)函數(shù)：n則多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)問題：四、理想點(diǎn)法TpfffF*2*1*,則稱：XxtsfxfxUPmkkk.)()(min)4(2112*為理想點(diǎn)。n若所有xk都相同，記為 x*，則x*就是所求的多目標(biāo)決策問題的最優(yōu)解；n若不然，則考慮求解下面的單目標(biāo)決策問題：XxtsxfxfxfxFoptPp. .)(,),(),()(021）（n先求各分量的最優(yōu)值：), 2 , 1(; )()(*PkxfxfoptfkkkXxkn例4：設(shè)有多目標(biāo)決策問題 0,342.)(),(max2

17、1212121xxxxxxtsxfxfT21221123)(4)(xxxfxxxf 解：1. 先求各分量的最優(yōu)值，得：21,0021xx7; 0*2*1ff2. 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：2122122121212*)723()4()()(xxxxfxfxUkkk3. 用理想點(diǎn)法化為單目標(biāo)決策問題 0,342.)723()4()(min21212121221221xxxxxxtsxxxxxU16.3 步驟法(STEM法)nSTEM法，它是英文“Step Method”的縮寫。這個(gè)方法是一種迭代方法。n它和目的規(guī)劃法不同，在求解過程中的每一步，分析人和決策人之間都有對話。分析人把分析的結(jié)果告訴決策人，并征求

18、他的意見。n如果決策人認(rèn)為滿意，則迭代終止；n如果決策人認(rèn)為不夠滿意，則分析人根據(jù)他的意見再重復(fù)計(jì)算，去改進(jìn)他的結(jié)果。n由于它是逐步進(jìn)行的，故稱步驟法。n設(shè)有多目標(biāo)線性規(guī)劃問題：設(shè)有多目標(biāo)線性規(guī)劃問題： 矩矩陣陣是是，nmAxbxAtsxfxfxfxFTk 0.)(,),(),()(max21其中：其中：kixcxcxfnjjijii, 2 , 1)(1 STEM法的求解步驟：n分別求解分別求解k個(gè)個(gè) 單目標(biāo)線性規(guī)劃問題：單目標(biāo)線性規(guī)劃問題：kixbxAtsxfi,2,10.)(max n得到的最優(yōu)解記為得到的最優(yōu)解記為x(i)，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值記為值記為fi*（i=1,

19、2, , k），并），并x(i)代入其它目代入其它目標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)：)()(ijijxfz 結(jié)果可列表給出（稱為結(jié)果可列表給出（稱為支付表支付表）。）。步驟步驟1：支付表（ STEM法）x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkkn求權(quán)系數(shù)：從支付表中得到求權(quán)系數(shù)：從支付表中得到ijkijjzff10*min和n 為找出目標(biāo)值的偏差以及消除不同目標(biāo)值的為找出目標(biāo)值的偏差以及消除不同目標(biāo)值的量綱不同的問題，進(jìn)行如下處理量綱不同的問題，進(jìn)行如下處理：0)(10)(1*120*0*12*0*injijiiiinjijiiiif

20、cffffcfffn歸一化后得權(quán)系歸一化后得權(quán)系數(shù)：數(shù)：kikjiii, 2 , 11 步驟步驟2：n求解：求解： 0, 2 , 1)(.min*xbxAkixfftsiii （使目標(biāo)與理想值的最大加權(quán)偏差使目標(biāo)與理想值的最大加權(quán)偏差最小最?。┰摼€性規(guī)劃問題的最優(yōu)解記為該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解記為x0 。步驟步驟3：n將將x0 和相應(yīng)的目標(biāo)值和相應(yīng)的目標(biāo)值),(,),(),(00201xfxfxfk交給決策者判斷。交給決策者判斷。n 決策者把這些目標(biāo)值與理想值進(jìn)行比較后，決策者把這些目標(biāo)值與理想值進(jìn)行比較后，若認(rèn)為滿意了，則可停止計(jì)算；若認(rèn)為滿意了，則可停止計(jì)算；n 若認(rèn)為相差太遠(yuǎn)，則考慮適當(dāng)修

21、正若認(rèn)為相差太遠(yuǎn)，則考慮適當(dāng)修正 。如：考。如：考慮對第慮對第r個(gè)目標(biāo)讓一點(diǎn)步，降低一點(diǎn)目標(biāo)值個(gè)目標(biāo)讓一點(diǎn)步，降低一點(diǎn)目標(biāo)值fr 。步驟步驟4：n求解：求解： 0,)()(, 2 , 1)(.min0*xbxAfxfxfrikixfftsrrriii n 求得解后，再與決策者對話，如此重復(fù)，求得解后，再與決策者對話，如此重復(fù)，直至決策者認(rèn)為滿意了為止直至決策者認(rèn)為滿意了為止。步驟步驟5：例例5：某公司考慮生產(chǎn)甲、乙兩種太陽能電某公司考慮生產(chǎn)甲、乙兩種太陽能電池，生產(chǎn)過程會在空氣中引起放射性污染，池，生產(chǎn)過程會在空氣中引起放射性污染，因此決策者有兩個(gè)目標(biāo)：極大化利潤與極因此決策者有兩個(gè)目標(biāo)：極大

22、化利潤與極小化總的放射性污染。已知在一個(gè)生產(chǎn)周小化總的放射性污染。已知在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位元，每單位乙產(chǎn)品的收益是乙產(chǎn)品的收益是3元；每單位甲產(chǎn)品的放射元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是性污染是1.5單位，每單位乙產(chǎn)品的放射性單位，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是污染是1單位，由于機(jī)器能力（小時(shí)）、裝單位，由于機(jī)器能力（小時(shí)）、裝配能力（人時(shí)）和可用的原材料（單位）配能力（人時(shí)）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是（的限制，約束條件是（ x1、x2分別為甲、分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量）：乙產(chǎn)品的產(chǎn)量）：例例5： 該問題的目標(biāo)函數(shù)為：該問題的目標(biāo)函數(shù)

23、為：，（原材料）（裝配能力）（機(jī)器能力）072542 . 02 . 0852 . 05 . 0. .21212121xxxxxxxxts（放射性污染最?。ɡ麧欁畲螅?122115 . 1)(max3)(maxxxxfxxxf該問題的約束條件為：該問題的約束條件為：例例5： 步驟步驟1：先分別求解先分別求解 ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.5 . 1)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf得：得： x(1)=(7.25, 12.

24、75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0例例5： f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.5-23.625x(2)=(0, 0)T002122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 步驟步驟1：得到如下支付表得到如下支付表ijkijjzff10*min和例例5： 步驟步驟2：求權(quán)系數(shù)。從支付表中得到：求權(quán)系數(shù)。從支付表中得到：ijkijzf10min625.23,00,5 .4502*201*1ffff0.554715 . 11625.23023.625)(10.31623115 .4505 .45)(12212202*202222121*101*11

25、njjnjjcfffcfff歸一化后得權(quán)系數(shù)：歸一化后得權(quán)系數(shù)：6369. 03631. 021，2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 0)(10)(1*120*0*12*0*injijiiiinjijiiiifcffffcfff步驟步驟3：求解求解 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0)5 . 1(6369. 0)35 .45(3631. 0.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， 最優(yōu)解為最優(yōu)解為x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 例例5：

26、步驟步驟5：修改約束集：修改約束集072542.02.0852.05.0105.135.45.min212121212121xxxxxxxxxxxxts，求解得求解得x1=(0, 10)T, f1(x1)=30, f2(x0)=- -10。若決策者認(rèn)為滿意，停止迭代。若決策者認(rèn)為滿意，停止迭代。例例5： 步驟步驟4：將：將x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交給決策者判斷。交給決策者判斷。決策者將其與理想值（決策者將其與理想值（45.5, 0）進(jìn)行比較后，認(rèn)為）進(jìn)行比較后，認(rèn)為f2 是滿意的，但利潤太低。且認(rèn)為可以接受污染值是滿意的，但利潤太低。

27、且認(rèn)為可以接受污染值為為10個(gè)單位。個(gè)單位。2122115.1)(3)(xxxfxxxf 16.4 目標(biāo)規(guī)劃方法n目標(biāo)規(guī)劃是求解多目標(biāo)線性規(guī)劃的方法之一。n目標(biāo)規(guī)劃的基本方法：n對每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)引進(jìn)一個(gè)期望值期望值；n引入正、負(fù)偏差變量引入正、負(fù)偏差變量，表示實(shí)際值與期望值的偏差，并將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件并將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件，與原有約束條件構(gòu)成新的約束條件組；n引入目標(biāo)的優(yōu)先等級和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造新的單一的目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解。 例例6：某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的單位利潤、所消耗的原材料及設(shè)備工時(shí)、單位利潤、所消耗的原材料及設(shè)

28、備工時(shí)、材料和設(shè)備工時(shí)的限額如下表所示。材料和設(shè)備工時(shí)的限額如下表所示。甲甲 乙乙限額限額原材料（公斤）原材料（公斤）設(shè)備（工時(shí)）設(shè)備（工時(shí)）2 33 22426利潤（元利潤（元/件）件）4 2產(chǎn)品產(chǎn)品消耗消耗原料原料n決策者根據(jù)市場需求等一系列決策者根據(jù)市場需求等一系列因素，提出下列因素，提出下列目標(biāo)目標(biāo)（依重要（依重要程度排列）：程度排列）： 首要目標(biāo)是保證甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)首要目標(biāo)是保證甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量盡可能接近量盡可能接近。 盡可能充分利用工時(shí)，但又不希盡可能充分利用工時(shí)，但又不希望加班望加班； 確保達(dá)到計(jì)劃利潤確保達(dá)到計(jì)劃利潤30元元。 )3024max(21 xx甲甲 乙乙限額限額原材

29、料（公斤）原材料（公斤）設(shè)備（工時(shí)）設(shè)備（工時(shí)）2 33 22426利潤（元利潤（元/件）件）4 2試對廠家生產(chǎn)作出決策分析。設(shè)甲、乙產(chǎn)品試對廠家生產(chǎn)作出決策分析。設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為的產(chǎn)量分別為x1、x2件。件。|min21xx )2326min(21xx 該問題的目標(biāo)函數(shù)為：該問題的目標(biāo)函數(shù)為：的條件下越大越好）（確保利潤：目標(biāo)）（盡可能充分利用工時(shí)：目標(biāo)近）（甲、乙產(chǎn)量盡可能接：目標(biāo)30)3024max(3)2326min(2|max1212121xxxxxx該問題的約束條件為：該問題的約束條件為：甲甲 乙乙限額限額原材料（公斤）原材料（公斤）設(shè)備（工時(shí)）設(shè)備（工時(shí)）2 33 224

30、26利潤（元利潤（元/件）件）4 20423230242623.21212121xxxxxxxxts，（原材料限制）（利潤下限限制）（不能加班限制）n1)目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的期望值期望值ek 對于多目標(biāo)線性規(guī)劃的每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)對于多目標(biāo)線性規(guī)劃的每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值值Zk( (k=1, 2, , K) )，根據(jù)實(shí)際情況和決策，根據(jù)實(shí)際情況和決策者的希望，者的希望，確定一個(gè)期望值確定一個(gè)期望值ek 。n在在例例6中中:n乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差的乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差的目標(biāo)值可定為目標(biāo)值可定為0；n生產(chǎn)工時(shí)的生產(chǎn)工時(shí)的目標(biāo)值為目標(biāo)值為26（工時(shí)）；（工時(shí)）；n利潤的利潤的目標(biāo)值為目標(biāo)值為30（元）。（

31、元）。16.4 目標(biāo)規(guī)劃方法n2、正負(fù)偏差變量、正負(fù)偏差變量 對每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，分別引入正、負(fù)對每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，分別引入正、負(fù)偏差變量偏差變量： 0), 2 , 1(00 kkkkddKkdd，n正負(fù)偏差變量分別表示實(shí)際目標(biāo)值超過和低正負(fù)偏差變量分別表示實(shí)際目標(biāo)值超過和低于期望值的數(shù)值。于期望值的數(shù)值。n引入偏差變量之后，引入偏差變量之后，目標(biāo)目標(biāo)就變成了就變成了約束條件約束條件，成為約束條件組的一部分成為約束條件組的一部分。16.4 目標(biāo)規(guī)劃方法n在在例例6中，令：中，令：nd1+, d1- -分別表示乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差超過和達(dá)分別表示乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差超過和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變

32、量；不到目標(biāo)值的偏差變量；nd2+, d2- -分別表示生產(chǎn)工時(shí)超過和達(dá)不到目標(biāo)值的偏分別表示生產(chǎn)工時(shí)超過和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量；差變量；nd3+, d3- -分別利潤超過和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量；分別利潤超過和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量；n則三個(gè)則三個(gè)目標(biāo)可化為含有偏差變量的約束條件目標(biāo)可化為含有偏差變量的約束條件：16.4 目標(biāo)規(guī)劃方法302426230332122211112ddxxddxxddxxn3、優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）和權(quán)系數(shù)、優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）和權(quán)系數(shù)如何區(qū)別不同目標(biāo)的主次輕重？如何區(qū)別不同目標(biāo)的主次輕重？n凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦于優(yōu)先因子凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦于優(yōu)先因子P1

33、，次位，次位的目標(biāo)賦于優(yōu)先因子的目標(biāo)賦于優(yōu)先因子P2，并規(guī)定，并規(guī)定PkPk+1（表示（表示Pk比比Pk+1有更大的優(yōu)先權(quán)，有更大的優(yōu)先權(quán)，Pk+1級目標(biāo)是在級目標(biāo)是在保證保證Pk 級目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上才能考慮的）（級目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上才能考慮的）（k1,2，K）n為區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個(gè)目標(biāo)的差別，可為區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個(gè)目標(biāo)的差別，可分別賦于它們不同的權(quán)系數(shù)分別賦于它們不同的權(quán)系數(shù)jn優(yōu)先等級及權(quán)數(shù)的賦值由決策者確定優(yōu)先等級及權(quán)數(shù)的賦值由決策者確定。16.4 目標(biāo)規(guī)劃方法n4、達(dá)成函數(shù)、達(dá)成函數(shù)(準(zhǔn)則函數(shù)準(zhǔn)則函數(shù))：目標(biāo)規(guī)劃模型的目：目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)。標(biāo)函數(shù)。n準(zhǔn)則函數(shù)由各目標(biāo)

34、約束的正、負(fù)偏差變量及相應(yīng)準(zhǔn)則函數(shù)由各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量及相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)構(gòu)造而成的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)構(gòu)造而成。n注：目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)是對各目標(biāo)的偏差注：目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)是對各目標(biāo)的偏差的綜合（將多目標(biāo)化為單目標(biāo)），在目標(biāo)函數(shù)中的綜合（將多目標(biāo)化為單目標(biāo)），在目標(biāo)函數(shù)中不包含原決策變量，且一定是極小型的（偏差最不包含原決策變量，且一定是極小型的（偏差最?。?。?。?。16.4 目標(biāo)規(guī)劃方法4、達(dá)成函數(shù)(準(zhǔn)則函數(shù))n當(dāng)每一目標(biāo)值確定后，決策者的要求是偏當(dāng)每一目標(biāo)值確定后，決策者的要求是偏差變量盡可能小，因此其目標(biāo)函數(shù)只能是差變量盡可能小，因此其目標(biāo)函數(shù)只能是極小形式，極小形式，

35、具體有以下三種基本形式具體有以下三種基本形式： kkddfZ,min kdfZmin kdfZminn2 2）要求）要求不超過不超過目標(biāo)值目標(biāo)值( (正偏差應(yīng)盡可能小正偏差應(yīng)盡可能小) )n3 3）要求）要求不低于不低于目標(biāo)值目標(biāo)值( (負(fù)偏差應(yīng)盡可能小負(fù)偏差應(yīng)盡可能小) )n1）要求）要求恰好達(dá)到恰好達(dá)到目標(biāo)值目標(biāo)值(正、負(fù)偏差都要盡可能小正、負(fù)偏差都要盡可能小)n在在例例6中：中：n首要目標(biāo)是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量，首要目標(biāo)是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量，賦于優(yōu)先因子賦于優(yōu)先因子P1，目標(biāo)為，目標(biāo)為d1- -和和d2都盡可能?。欢急M可能??；n次級目標(biāo)是生產(chǎn)工時(shí)恰好達(dá)到目標(biāo)值，賦于

36、優(yōu)先次級目標(biāo)是生產(chǎn)工時(shí)恰好達(dá)到目標(biāo)值，賦于優(yōu)先因子因子P2，目標(biāo)為，目標(biāo)為d2- -和和d2都要??；都要小；n最后的目標(biāo)是利潤不低于最后的目標(biāo)是利潤不低于30元，賦于優(yōu)先因子元，賦于優(yōu)先因子P3，目標(biāo)為目標(biāo)為d3- -盡可能小。盡可能小。n因此，可構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù)如下：因此，可構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù)如下：33222111)(mindPddPddPZ16.4 目標(biāo)規(guī)劃方法例例6：目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃模型）（3 , 2 , 10,0,2432302426230. .)(min1212133212221111233222111iddxxxxddxxddxxddxxtsdPddPddPZi線性規(guī)劃線性規(guī)劃 vs.

37、目標(biāo)規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃0423230242623. .30)3024max(3)2326min(2|max121212121212121xxxxxxxxtsxxxxxx，（原材料限制）（利潤下限限制）（不能加班限制）的條件下越大越好）（確保利潤：目標(biāo)）（盡可能充分利用工時(shí)：目標(biāo)近）（甲、乙產(chǎn)量盡可能接：目標(biāo)）（3 , 2 , 10,0,2432302426230. .)(min1212133212221111233222111iddxxxxddxxddxxddxxtsdPddPddPZi LlddnjxmibxaLleddxctsddPZlljinjjijlllnjjljKklkllklLlk, 2

38、 , 10, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 1.min1111， 目標(biāo)規(guī)劃的一般模型n（1）假設(shè)決策變量；）假設(shè)決策變量；n（2）建立約束條件；）建立約束條件；n（3）建立各個(gè)目標(biāo)函數(shù)；）建立各個(gè)目標(biāo)函數(shù)；n（4）確定各目標(biāo)期望值，引入偏差變量，）確定各目標(biāo)期望值，引入偏差變量，將目標(biāo)函數(shù)化為約束方程；將目標(biāo)函數(shù)化為約束方程；n（5）確定各目標(biāo)優(yōu)先級別和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造）確定各目標(biāo)優(yōu)先級別和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù)。準(zhǔn)則函數(shù)。 目標(biāo)規(guī)劃的建模步驟例例7(10.2): 圖解法圖解法-目標(biāo)規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃n某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x1和和x2，產(chǎn)品甲每單

39、位需產(chǎn)品甲每單位需2個(gè)單位的勞動(dòng)力和個(gè)單位的勞動(dòng)力和3個(gè)單位原個(gè)單位原料，利潤為料，利潤為2；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品乙需；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品乙需3個(gè)單位勞個(gè)單位勞動(dòng)力和動(dòng)力和1.5個(gè)單位原料，利潤為個(gè)單位原料，利潤為3。在下一計(jì)劃期。在下一計(jì)劃期間車間有間車間有12單勞動(dòng)力單勞動(dòng)力12單位原料。假定車間主單位原料。假定車間主任有如下目標(biāo)：任有如下目標(biāo)：n利潤至少為利潤至少為6個(gè)單位；個(gè)單位；n兩種產(chǎn)品產(chǎn)量經(jīng)盡可能保持兩種產(chǎn)品產(chǎn)量經(jīng)盡可能保持x1 : x2 = 3 : 2；n勞動(dòng)力充分利用（不允許加班）。勞動(dòng)力充分利用（不允許加班）。解答1: 線性規(guī)劃0125 . 132132632. . )3212min

40、(32:3 |32|min2 )32max(121212121212121xxxxxxxxtsxxxxxx，（原材料限制限制）（不允許加班限制）（利潤下限限制）（勞動(dòng)力充分利用）：目標(biāo)）持（兩種產(chǎn)量比盡可能保：目標(biāo)（利潤越大越好）：目標(biāo)解答2：目標(biāo)規(guī)劃利潤是目標(biāo)函數(shù)中的第一優(yōu)先級，因此用利潤是目標(biāo)函數(shù)中的第一優(yōu)先級，因此用d1表示利潤偏差；因表示利潤偏差；因?yàn)槔麧櫩梢猿^目的值，正偏差為利潤可以超過目的值，正偏差d1+可以大于可以大于0，取，取w1+ =0，使不在目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)；負(fù)偏差使不在目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)；負(fù)偏差d1-則是越小越好，把它作為則是越小越好，把它作為第一優(yōu)先級放到目標(biāo)函數(shù)中。第一優(yōu)先級放到目標(biāo)函數(shù)中。產(chǎn)量比例屬于第二優(yōu)先級，用產(chǎn)量比例屬于第二優(yōu)先級，用d2表示產(chǎn)量比例偏差，由于正、表示產(chǎn)量比例偏差，由于正、負(fù)偏差都不好，要將負(fù)偏差都不好，要將d2+和和d2-同時(shí)加入目標(biāo)函數(shù)中。同時(shí)加入目標(biāo)函數(shù)中。第三個(gè)目的是充分利用勞動(dòng)力，因此用第三個(gè)目的是充分利用勞動(dòng)力，因此用d3表示勞動(dòng)力偏差，因表示勞動(dòng)力偏差，因?yàn)椴辉试S加班，勞動(dòng)力不能出現(xiàn)正偏差，即為不允許加班，勞動(dòng)力不能出現(xiàn)正偏差，即d3+ 0，所以約，所以約束條件和目標(biāo)函數(shù)中均無束條件和目標(biāo)函數(shù)中均無d3+出現(xiàn)；出現(xiàn)； d3-則作為第三個(gè)優(yōu)先級