高等數(shù)學(xué) 全微分

1、.Longlan_全微分全微分.*2、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 應(yīng)用 一元函數(shù)一元函數(shù) y = f (x) 的微分的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計(jì)算估計(jì)誤差1、全微分的定義、全微分的定義 .一、全微分的定義一、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù)如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )( oyBxAz 其中其中 A , B 不依賴于不依賴于 x , y , 僅與僅與 x , y 有關(guān)，有關(guān)，稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 的的全微分全微分,

2、 記作：記作：yBxAfz dd若函數(shù)在域若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(yx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)在點(diǎn)( x, y) 可微可微，處全增量處全增量則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.yBxA .(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系: :(1) 函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 可微可微),(lim00yyxxfyx由微分定義由微分定義 : :得得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該

3、點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微函數(shù)可微 即即.定理定理1(必要條件必要條件)若函數(shù)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y) 可微可微 則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)yzxz ,yyzxxzz d), (), (yfyfzx xz 同樣可證同樣可證,Byzyyzxxzzd證證: 由全增量公式由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA 必存在必存在,且有且有得到對(duì)得到對(duì) x 的偏增量的偏增量xxx因此有因此有 xzxx 0limA.反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因

4、此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx.定理定理2 (充分條件充分條件)yzxz ,證：證：（略）若函數(shù)若函數(shù) z = f (x, y) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)連續(xù)，連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分可微分.xxu推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如, 三元函數(shù)),(zyxfu ud習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,udyyudzzudxxud的全微分為yyuzzu于是.例1. 計(jì)算函

5、數(shù)計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 計(jì)算函數(shù)的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez.可知當(dāng)*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用1. 近似計(jì)算近似計(jì)算由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時(shí),yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于近似計(jì)算; 誤差分析) (可用于近似計(jì)算) .半

6、徑由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受壓后圓柱體體積減少了 .cm2003例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm , 則 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量. 求此圓柱體.例4.計(jì)算計(jì)算的近似值. 02. 204. 1解解: 設(shè)yxyxf),(,則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),

7、(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx.分別表示 x , y , z 的絕對(duì)誤差界,2. 誤差估計(jì)利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的絕對(duì)誤差界約為yyxxzyxfyxf),(),(z 的相對(duì)誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(則.特別注意時(shí)，yxz ) 1 (yxzyxz,)2(時(shí)xyz yxyx類似可以推廣到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的結(jié)果相對(duì)誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù).例5. 利用公式利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計(jì)算面積

8、時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故絕對(duì)誤差約為又CbaSsin21所以 S 的相對(duì)誤差約為SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測(cè)得bbSccS.例6. .在直流電路中在直流電路中, 測(cè)得電壓 U = 24 伏 ,解解: 由歐姆定律可知4624IUR( 歐)所以 R 的相對(duì)誤差約為IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對(duì)誤差約為 RR0.8 0.3;定律計(jì)算電阻 R 時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差 .相對(duì)

9、誤差為 測(cè)得電流 I = 6安, 相對(duì)誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐 )= 0.8 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求用歐姆.3. 微分應(yīng)用微分應(yīng)用 近似計(jì)算 估計(jì)誤差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(絕對(duì)誤差相對(duì)誤差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(.zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(4. 設(shè)設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3