電路分析第六章

1、第6章 非正弦周期信號(hào)電路第6章 非正弦周期信號(hào)電路6.1 非正弦周期信號(hào)及分解非正弦周期信號(hào)及分解it0T(a)ut0T(b)ut0T(c)（a） 尖脈沖電流； （b） 矩形波電壓; c）鋸齒波電壓 6.1.1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào)第6章 非正弦周期信號(hào)電路6.1.2 非正弦周期信號(hào)的分解非正弦周期信號(hào)的分解tUusinm11tUtUu3sin31sinm1m12tUtUtUu5sin513sin31sinm1m1m13(a)tu10(b)tu20(c)tu30(d)tu0幾個(gè)不同頻率的正弦波可以合成一個(gè)非正弦的周期波。反之, 一個(gè)非正弦的周期波可以分解成許多不同頻率的正弦波之和。第

2、6章 非正弦周期信號(hào)電路設(shè)給定的周期函數(shù)f（t）的周期為T, 角頻率2/T, 則f（t）的付里葉級(jí)數(shù)展開式為 1m0m2m21m10)sin()sin()2sin()sin()(kkkkktkAAtkAtAtAAtf利用三角函數(shù)公式, 還可以把上式寫成另一種形式: 101122110)sincos()sincos()2sin2cos()sincos()(kkktkbtkaatbtatbtatbtaatf第6章 非正弦周期信號(hào)電路式中, a0, ak, bk稱為付里葉系數(shù),可由下列積分求得: )d(sin)(1dsin)(2)d(cos)(1dcos)(2)d()(21d)(1200200200

3、0ttktfttktfTbttktfttktfTattfttfTaTkTkT第6章 非正弦周期信號(hào)電路kkkkkkbabaAaAarctan22m00kkkkkkAbAacossinmm各系數(shù)之間存在如下關(guān)系: A0 ：周期函數(shù)f（t）的恒定分量（或直流分量）, 也稱為零次諧波。A1msin(t+1)： 一次諧波（或基波分量）, 其周期和頻率與原 函數(shù)的相同。其余各項(xiàng)稱為高次諧波。由于高次諧波的頻率是原函數(shù)的整數(shù)倍而分別稱為二次, 三次, k次諧波。有時(shí)還把k為奇數(shù)的各次諧波稱為奇次諧波, k為偶數(shù)的各次諧波稱為偶次諧波。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路 例例 已知矩形周期電壓的波形如圖所示。求u

4、（t）的付里葉級(jí)數(shù)。tu0Um UmT2T解解 圖示矩形周期電壓在一個(gè)周期內(nèi)的表示式為TtTUTtUtu220)(mm第6章 非正弦周期信號(hào)電路0)()d()(d21)(d)(21m2m0200tUtUttua0sinsin)(dcos1)(dcos1)(dcos)(12m0mm2m020tkkUtkkUttkUttkUttktuak第6章 非正弦周期信號(hào)電路)cos1 (2cos2)(dsin2)(dsin)(dsin1)(dsin)(1m0m0mm2m020kUtkkUttkUttkUttkUttktubk當(dāng)k為奇數(shù)時(shí), 4-1,coskUbkmk當(dāng)k為偶數(shù)時(shí), 01,coskbk由此可得

5、 tkktttUtusin15sin513sin31sin4)(m第6章 非正弦周期信號(hào)電路例例 求如圖所示周期信號(hào)的付里葉級(jí)數(shù)展開式。解解 i(t)在一個(gè)周期內(nèi)的表示式為ti(t)0Im2T2T222)(mTtTtTIti第6章 非正弦周期信號(hào)電路0)(cos04dsinsin4dcos4dcos)(20dd2d2d)(12222m22222m222m020022m222m00TTTTTTTTTkTTTTTktkTItktkktktTIttktTIttktiTattttTIttTIttiTa第6章 非正弦周期信號(hào)電路), 3 , 2 , 1(cos2cos)(sin4dsin4dsin)(2

6、m2222m222m0kkkIktktktkTIttktTIttktiTbTTTTTk i（t）的付里葉級(jí)數(shù)展開式為 tttItkbtikk3sin212sin21sin2sin)(m1第6章 非正弦周期信號(hào)電路利用函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì), 可使系數(shù)a0,ak,bk的確定得到簡化。 (1) 如果周期函數(shù)的波形對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn), 即f（t）-f（-t）為奇函數(shù)。其付里葉級(jí)數(shù)展開式將不含直流分量和余弦項(xiàng), 只含正弦項(xiàng)。 (2) 如果周期函數(shù)的波形對(duì)稱于縱軸, 即f（t）f（t）為偶函數(shù)。其付里葉級(jí)數(shù)展開式將不含正弦項(xiàng), 只含有直流分量和余弦項(xiàng)。 (3) 如果函數(shù)的波形是鏡像對(duì)稱, 即f(t)=-f(t+T/

7、2)，稱此為奇諧函數(shù)。也就是在任一周期內(nèi)把第二個(gè)半波的波形向前移動(dòng)半個(gè)周期, 就會(huì)與第一個(gè)半波對(duì)稱于橫軸。 其付里葉級(jí)數(shù)展開式將不含直流分量和偶次諧波。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路6.2 非正弦周期信號(hào)的頻譜非正弦周期信號(hào)的頻譜如果一個(gè)周期信號(hào)f（t）可以展開為付里葉級(jí)數(shù) )sin()(1m0kkktkAAtf那么, 只要求得各諧波分量的振幅與初相（Ak和k）, 就可以確定這個(gè)函數(shù)的付里葉級(jí)數(shù)，并畫出該函數(shù)的頻譜。第6章 非正弦周期信號(hào)電路頻譜： 一個(gè)直角坐標(biāo)，以諧波角頻率k為橫坐標(biāo)，在各諧波角頻率對(duì)應(yīng)的點(diǎn)上，作出一條條垂直的線叫譜線。如果每條譜線的高度代表該頻率諧波的振幅，稱為振幅頻譜圖，將

8、各譜線的頂點(diǎn)連接起來的曲線稱為振幅包絡(luò)線。如果每一條譜線的高度代表該頻率諧波的初相角，則稱為相位頻譜圖。第6章 非正弦周期信號(hào)電路例 設(shè)f（t）已展開為付里葉級(jí)數(shù), 27sin7125sin5123sin312sin47cos715cos513cos31cos4)(tttttttttfAk0A0A1A3A5A7k753振幅頻譜圖 第6章 非正弦周期信號(hào)電路 例例 如圖所示為電視機(jī)和示波器掃描電路中常用的鋸齒波, 試畫出其振幅頻譜圖。第6章 非正弦周期信號(hào)電路tttUUtu3sin312sin21sin2)(mm 解解 查表 可得鋸齒波電壓的付里葉級(jí)數(shù)展開式為 第6章 非正弦周期信號(hào)電路 例例

9、如圖所示給出了矩形脈沖電壓的波形, 它是無線電技術(shù)中一種很重要的信號(hào)。其中脈沖幅度為Um, 脈沖的持續(xù)時(shí)間為, 脈沖的周期為, 試畫出其頻譜圖。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路解解 該信號(hào)在一個(gè)周期的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 0)(mUtu22t22,22TttT由于此信號(hào)對(duì)稱于縱軸(即為偶函數(shù)), 因此, bk, 付里葉級(jí)數(shù)不含正弦分量, 只含直流分量和余弦分量。 TUtUTttuTaTTm22m220d1d)(1第6章 非正弦周期信號(hào)電路22sin22sin4sin2dcos2dcos)(2mm22m22m22kkTUkTkUtkTkUttkUTttktuTaTTk矩形脈沖的付里葉級(jí)數(shù)展開式為 tkkkT

10、Utkaatukkkcos22sin2cos)(1m10第6章 非正弦周期信號(hào)電路 若令T3, 則其頻譜圖如圖所示。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路以周期性矩形脈沖為例說明周期信號(hào)的頻譜特性。 (1) 頻譜是由一系列不連續(xù)的譜線組成, 每一條譜線代表一個(gè)正弦分量或余弦分量, 這種頻譜稱為離散頻譜。 (2) 每一條譜線只出現(xiàn)在k的位置上, 相鄰兩條譜線之間的間隔是基波頻率, 譜線的這種性質(zhì)稱為譜波性。 (3) 振幅頻譜中各譜線的高度, 隨著諧波頻率的增加雖然有所起伏, 但總的趨勢是逐漸減小的。振幅頻譜的這種特性稱為頻譜的收斂性。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路(4) 如果脈沖的周期T不變, 脈沖的持續(xù)時(shí)

11、間減小, 也就是脈沖變窄。此時(shí), 振幅頻譜的收斂速度將變慢。第6章 非正弦周期信號(hào)電路 通常把振幅頻譜的零頻率到需要考慮的最高次諧波（視具體情況而定）的一段頻率范圍, 稱為頻帶寬度, 簡稱頻寬。如果壓縮脈沖的寬度, 振幅頻譜的收斂速度將變慢, 這就意味著要增大信號(hào)的頻帶寬度。所以, 一定信號(hào)的頻帶寬度總是與脈沖寬度成反比例變化。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路(5) 如果脈沖的持續(xù)時(shí)間不變, 周期T增大時(shí), 譜線將變密。第6章 非正弦周期信號(hào)電路6.3 非正弦周期信號(hào)的有效值、平均非正弦周期信號(hào)的有效值、平均值和平均功率值和平均功率6.3.1 有效值有效值tiTITd120電流有效值若將電流i分解

12、成付里葉級(jí)數(shù),)sin()sin()2sin()sin(1m0m2m21m10kkkkktkIItkItItIIi第6章 非正弦周期信號(hào)電路ttkIITIkkkTd)sin(121m00將上式積分號(hào)內(nèi)直流分量與各次諧波之和的平方展開, 結(jié)果有以下四種類型: 20200d1ItITT（1） （2） 22m22m02)d(sin1kkkkTIIttkIT0d)sin(2100ttkIITkkmT（3） （4） 0d)sin()sin(210ttqItkITqqmkkmT第6章 非正弦周期信號(hào)電路22221201220kkkIIIIIII因此, 電流i的有效值可按下式計(jì)算: 同理, 非正弦周期電壓的

13、有效值為 22221201220kkkUUUUIUU 所以, 非正弦周期電流和電壓的有效值等于各次諧波有效值平方和的平方根。 各次諧波有效值與最大值之間的關(guān)系為 2,2mkkkmkUUII第6章 非正弦周期信號(hào)電路例例 已知周期電流的付里葉級(jí)數(shù)展開式為 i=100-63.7 sint-31.8 sin2t-21.2 sin3t A求其有效值。解解 A1522 .21A5 .2228 .31A4527 .63A1003210IIII第6章 非正弦周期信號(hào)電路所以 A9 .112155 .2245100222223222120IIIII電流i的有效值為112.9 A。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路6

14、.3.2 平均值tiTITd|10av電流平均值例如, 當(dāng)i=Im sint 時(shí), 其平均值為IIIIttITttITtiTITmTT898. 02637. 0637. 02dsin2d|sin|1d|1mmmm2000av第6章 非正弦周期信號(hào)電路同理, 電壓平均值的表示式為 tuTUTd|10av第6章 非正弦周期信號(hào)電路6.3.3 平均功率平均功率i二端網(wǎng)絡(luò)u二端網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率和平均功率為 tuiTtpTPuipTTd1d100第6章 非正弦周期信號(hào)電路將電壓和電流展開成付里葉級(jí)數(shù), 有 1010)sin()sin(kkukmkkukmtkIIitkUUu二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率為 t

15、tkIItkUUTPkukkkukkTd)sin()sin(11m01m00第6章 非正弦周期信號(hào)電路 將上式積分號(hào)內(nèi)兩個(gè)積數(shù)的乘積展開, 分別計(jì)算各乘積項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值, 有以下五種類型項(xiàng): (1) 00000d1IUtIUTT(2) kkkkikukkkikukkTIUIUttktkIUTcos)cos(21d)sin()sin(1mmmm0(3)0d)sin(1m00ttkIUTkikT(4) 0d)sin(1m00ttkUITkukT(5) 0d)sin()sin(1mm0ttqItkUTqiqkukT第6章 非正弦周期信號(hào)電路其中,Pk=UkIkcos(ku-ki)=UkIk

16、cosk, 是k次諧波的平均功率。 因此, 二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率可按下式計(jì)算： kkkkkkkPPPPPPIUIUP21010100cos第6章 非正弦周期信號(hào)電路例例 流過10電阻的電流為 i=10+28.28 cost+14.14 cos2t A 求其平均功率。 解解 W6000214.14228.281010)(222222120222120210IIIRRIRIRIPPPP第6章 非正弦周期信號(hào)電路例例 某二端網(wǎng)絡(luò)的電壓和電流分別為 V)305sin(2)303sin(5)30sin(10V5sin25)603sin(50)30sin(100tttitttu求二端網(wǎng)絡(luò)吸收的功率。 解

17、解 基波功率 (一次諧波)W25060cos2102100cos1111IUP三次諧波功率 W2 .10830cos25250cos3333IUP第6章 非正弦周期信號(hào)電路五次諧波功率 W6 .2130cos22225cos5555IUP因此, 總的平均功率為 W8 .3796 .212 .108250531PPPP第6章 非正弦周期信號(hào)電路6.4 非正弦周期電路的計(jì)算非正弦周期電路的計(jì)算(1) 把給定的非正弦輸入信號(hào)分解成直流分量和各次諧波分量, 并根據(jù)精度的具體要求取前幾項(xiàng)。 (2) 分別計(jì)算各諧波分量單獨(dú)作用于電路時(shí)的電壓和電流。 但要注意電容和電感對(duì)各次諧波表現(xiàn)出來的感抗和容抗的不同,

18、 對(duì)于k次諧波有 CkXLkXkk1CL(3) 應(yīng)用線性電路的疊加原理, 將各次諧波作用下的電壓或電流的瞬時(shí)值進(jìn)行疊加。應(yīng)注意的是, 由于各次諧波的頻率不同, 不能用相量形式進(jìn)行疊加。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路 例例 如圖（a）所示的矩形脈沖作用于圖（b）所示的RLC串聯(lián)電路, 其中矩形脈沖的幅度為100 V, 周期為1ms, 電阻R10 , 電感L10 mH, 電容C 5 F, 求電路中的電流i及平均功率。 第6章 非正弦周期信號(hào)電路解解 查表可得矩形脈沖電壓的付里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為 ttu3cos31cos20050其中基波頻率 , 若取前三項(xiàng)，就有圖（c）所求的等效電路。rad/s1022

19、3T第6章 非正弦周期信號(hào)電路 (1) 求直流分量：當(dāng)U050V的直流電壓作用于電路時(shí), 電感相當(dāng)于短路, 電容相當(dāng)于開路, 故I00。 (2) 求基波分量： A)1 .72cos(95. 1)9 .17sin(95. 1A9 .1795. 11 .726 .32907 .6372.132.6j311031.8)-j(62.8105102101010102j101-jV907 .63V)90sin(7 .63cos20011m1m1363-311m1ttiZUICLRZUttu第6章 非正弦周期信號(hào)電路 (3) 求三次諧波分量： A)2 .933cos(12. 0)8 .1763sin(12.

20、 0A8 .17612. 08 .861 .178902 .21.8861 .178j177.8105102310101023j1031-3jV902 .21V)903sin(2 .213cos320033m3m3363-33m3ttiZUICLRZUttu第6章 非正弦周期信號(hào)電路(4) 將各次諧波分量的瞬時(shí)值疊加得 i=I0+i1+i3=1.95 cos(t-72.1)+0.12cos(3t+93.2)A 電路中的平均功率為 W2 .19)8 .86cos(212. 022 .21)1 .72cos(295. 127 .63coscos333111IUIUP第6章 非正弦周期信號(hào)電路 例例

21、 如圖所示的電路, R3 , L0.4H, C1000F, u45180sin10t60sin30t V。求電流i及其有效值。 iCuLR 解解 (1) 求直流分量: A1534500RUI第6章 非正弦周期信號(hào)電路(2) 求基波分量: A)3 .5110sin(6 .34A3 .516 .343 .512 . 501803 .512 . 5)1004j(3)100)(j4j3(11)(1m11tiICLjRCjLjRZ第6章 非正弦周期信號(hào)電路 (4) 疊加后可得電流i為 i=I0+i1+i3=15+34.6 sin(10t-51.3)+3.1sin(30t-68)A (5) 電流i的有效值為 A8 .2821 . 326 .3415222232120IIII(3) 求三次諧波分量: A)6830sin(1 .3A681 .3682 .19060682 .1933.3)-j(123)3 .33j)(12j3(313) j31)3 j(3m33tiICLRCjLRZ第6章 非正弦周期信號(hào)電路 例例 為了減小整流器輸出電壓的紋波, 使其更接近直流。 常在整流的輸出端與負(fù)載電阻R間接有LC濾波器, 其電路如圖(a)所示。若已知 R=1k, L=5 H, C=30 F, 輸入電壓u的波形如圖(b)所示, 其中振幅Um=157V, 基波