光波的空間頻率與空間頻譜

1、.1.5 光波場(chǎng)的空間頻率和空間頻率譜光波場(chǎng)的空間頻率和空間頻率譜 (Spatial frequency and spatial frequency spectrum of light wave field)1. 空間頻率空間頻率2. 空間頻率譜空間頻率譜在光學(xué)圖像及光倍息處理領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常要將空間域在光學(xué)圖像及光倍息處理領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常要將空間域問(wèn)題轉(zhuǎn)換為空間頻率域問(wèn)題處理。為此，下面討論問(wèn)題轉(zhuǎn)換為空間頻率域問(wèn)題處理。為此，下面討論光波場(chǎng)的空間頻率與空間頻率譜的基本概念。光波場(chǎng)的空間頻率與空間頻率譜的基本概念。.1. 空間頻率空間頻率00)i(011i2(0e =e (79)kzttzTEEE）+

2、前面，我們給出了一個(gè)單色平面光波場(chǎng)的表示式前面，我們給出了一個(gè)單色平面光波場(chǎng)的表示式它是它是時(shí)間和空間時(shí)間和空間的函數(shù)，表征了平面光波在某一時(shí)、的函數(shù)，表征了平面光波在某一時(shí)、空坐標(biāo)下的狀態(tài)?？兆鴺?biāo)下的狀態(tài)。.v 是光波場(chǎng)的頻率，是光波場(chǎng)的頻率，T 是振動(dòng)周期，是振動(dòng)周期，k 是波數(shù)。是波數(shù)。1. 空間頻率空間頻率22 (80)vT上式中上式中 是時(shí)域內(nèi)平面光波的圓頻率是時(shí)域內(nèi)平面光波的圓頻率:00)i(011i2(0e =e (79)kzttzTEEE）+.從平面光波場(chǎng)時(shí)、空相位關(guān)系的對(duì)稱性來(lái)看，從平面光波場(chǎng)時(shí)、空相位關(guān)系的對(duì)稱性來(lái)看，k 可可稱為稱為空間圓頻率空間圓頻率，波長(zhǎng)，波長(zhǎng) 可稱為

3、光波場(chǎng)的可稱為光波場(chǎng)的空間周期空間周期,相應(yīng)波長(zhǎng)的倒數(shù)可稱為光波場(chǎng)在光傳播方向上的相應(yīng)波長(zhǎng)的倒數(shù)可稱為光波場(chǎng)在光傳播方向上的空空間頻率間頻率。1. 空間頻率空間頻率1 kTv. (81)f1空間頻率，即空間頻率，即它表示光波場(chǎng)沿波矢它表示光波場(chǎng)沿波矢 k 方向每增加單位長(zhǎng)度，光波方向每增加單位長(zhǎng)度，光波場(chǎng)增加的周期數(shù)。場(chǎng)增加的周期數(shù)。1. 空間頻率空間頻率.光波的光波的空間頻率是觀察方向的函數(shù)空間頻率是觀察方向的函數(shù)。例如，對(duì)于圖所。例如，對(duì)于圖所示的、沿示的、沿 z 軸方向傳播的平面光，在波傳播方向（軸方向傳播的平面光，在波傳播方向（z）上，波長(zhǎng)是上，波長(zhǎng)是 ，空間頻率是，空間頻率是 f1

4、/ 。1. 空間頻率空間頻率波平面波平面zk0 x.cos= (82)rrf1在在 方向觀察時(shí)，波的空間周期是方向觀察時(shí)，波的空間周期是 r，相應(yīng)的空間，相應(yīng)的空間頻率為頻率為1. 空間頻率空間頻率rzk0顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) / 2 時(shí)，沿時(shí)，沿 x 方向的方向的空間頻率為零。空間頻率為零。.對(duì)于如圖所示的、在對(duì)于如圖所示的、在 xOy 平面內(nèi)沿平面內(nèi)沿 k 方向傳播的方向傳播的平面光波，平面光波，00)i(0i(0e =e (83)xyk rtt k x k yEEE ）1. 空間頻率空間頻率xkx波陣面波陣面yy.k 方向的空間頻率方向的空間頻率x 方向的空間頻率方向的空間頻率y 方向的空間

5、頻率方向的空間頻率z 方向的空間頻率方向的空間頻率因?yàn)橐驗(yàn)?1/ =1/=cos / (84)=1/=sin /=1/=0 xxyyzzffff 22222= + = (85)xyxykkk22+ 所以有所以有222= + (86)xyfff 1. 空間頻率空間頻率. 對(duì)于如圖所示的、沿任意空間方向傳播的平面光波對(duì)于如圖所示的、沿任意空間方向傳播的平面光波1. 空間頻率空間頻率xyzk波平面波平面0/2/2.00)i(0i(0e =e (87)xyzk rtt k x k y k zEEE ）因?yàn)橐驗(yàn)? cos= cos= cosxyzkkkkkk所以所以，空間頻率為空間頻率為cos=cos=

6、 (88)cos=xyzfff1. 空間頻率空間頻率.因此，該平面光波被表示為因此，該平面光波被表示為0()+i0e (89)xyztf xf yf zEE2應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于一個(gè)沿任意方向傳播的平面光波，因應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于一個(gè)沿任意方向傳播的平面光波，因?yàn)椴〝?shù)為波數(shù) k 與頻率與頻率 v 如下的關(guān)系：如下的關(guān)系：2222 = (90)xyzvkkkk1. 空間頻率空間頻率.所以，在所以，在 k 的三個(gè)分量中只有兩個(gè)是獨(dú)立變量，只的三個(gè)分量中只有兩個(gè)是獨(dú)立變量，只要知道了要知道了 k 在在 xOy 平面上的兩個(gè)分量平面上的兩個(gè)分量 kx 和和 ky，即，即可由可由2222() zxyvkkk確定確定

7、 kz ，從而也就確定了，從而也就確定了 k 。1. 空間頻率空間頻率.0i()i0i()0i2()0e e e (91)xyzxyxyk x k yk zk x k yf xf yEE eEE式中，式中， 。0i00=zk zEE e1. 空間頻率空間頻率因此，在任意因此，在任意 zz0 的的 xz0y 平面上，平面光波的復(fù)振平面上，平面光波的復(fù)振幅可以表示為幅可以表示為. 由上所述，一個(gè)平面光波的空間傳播特性也可以由上所述，一個(gè)平面光波的空間傳播特性也可以用空間頻率這個(gè)特征參量描述。用空間頻率這個(gè)特征參量描述。 當(dāng)研究平面光波沿著傳播方向的空間周期分布時(shí)，當(dāng)研究平面光波沿著傳播方向的空間周

8、期分布時(shí)，每一個(gè)空間頻率對(duì)應(yīng)于一定波長(zhǎng)的單色波。每一個(gè)空間頻率對(duì)應(yīng)于一定波長(zhǎng)的單色波。 當(dāng)研究垂直于當(dāng)研究垂直于 z 軸的一個(gè)平面上單色光波的復(fù)軸的一個(gè)平面上單色光波的復(fù)振幅分布時(shí)，每一組空間頻率（振幅分布時(shí)，每一組空間頻率（fx，fy）值對(duì)應(yīng)）值對(duì)應(yīng)于一個(gè)沿一定方向傳播的單色平面光波。于一個(gè)沿一定方向傳播的單色平面光波。1. 空間頻率空間頻率.( , )E x y實(shí)際上，在光學(xué)圖像及光信息處理應(yīng)用中，經(jīng)常處實(shí)際上，在光學(xué)圖像及光信息處理應(yīng)用中，經(jīng)常處 理的是在一個(gè)平面理的是在一個(gè)平面(例如，入瞳平面或物平面例如，入瞳平面或物平面)上的上的 二維信息二維信息，即單色光波場(chǎng)中任一，即單色光波場(chǎng)中

9、任一 xy 平面上的復(fù)振平面上的復(fù)振 幅分布幅分布 。2. 空間頻率譜空間頻率譜此時(shí)可以利用二維傅里葉變換，將此時(shí)可以利用二維傅里葉變換，將E(x,y)這個(gè)二維這個(gè)二維 空間坐標(biāo)函數(shù)分解成無(wú)數(shù)個(gè)形式為空間坐標(biāo)函數(shù)分解成無(wú)數(shù)個(gè)形式為expi2(fxx+fyy) 的基元函數(shù)的的基元函數(shù)的線性組合線性組合，即，即.式中的基元函數(shù)式中的基元函數(shù)expi2(fxx+fyy) 可視為由空間頻率可視為由空間頻率（fx，fy）決定的、沿一定方向傳播的平面光波，其）決定的、沿一定方向傳播的平面光波，其傳播方向的方向余弦為傳播方向的方向余弦為cos = fx, cos = fx ，相應(yīng)，相應(yīng)地，該空間頻率成分的基元函數(shù)所占比例的大小由地，該空間頻率成分的基元函數(shù)所占比例的大小由 決定。決定。2. 空間頻率譜空間頻率譜1()i2( , )=F ( ,) =( ,)ed d (92)xyxyffxyxyE x yE ffE ffff( ,)xyE ff.2. 空間頻率譜空間頻率譜可以把一個(gè)可以把一個(gè)平面上平面上的單色光波場(chǎng)復(fù)振幅視為向空的單色光波場(chǎng)復(fù)振幅視為向空 間不同方向傳播的單色平面光波的疊加，每一個(gè)間不同方向傳播的單色平面光波的疊加，每一個(gè) 平面光波分量與一組空間頻率（平面光波分量與一組空間頻率（fx，fy）相對(duì)應(yīng)。）相對(duì)應(yīng)。這樣一來(lái)，就可以把對(duì)光波各種現(xiàn)象的分析，轉(zhuǎn)這樣一來(lái)，就可以把