消費者最優(yōu)化原理分析

1、1 1 效用最大化效用最大化任何人都希望最大化自己的效用而非最小，這是經(jīng)濟學(xué)的先驗命題。從重商主義、重農(nóng)主義、古典經(jīng)濟學(xué)、新古典經(jīng)濟學(xué)到當代主流經(jīng)濟學(xué)，無不接受、繼承和發(fā)展這一命題，效用最大化問題得到了越來越深入的研究。一方面，人們的欲望無止境，其需要沒有滿足的時候，經(jīng)濟學(xué)無法對如何滿足人們無止境的欲望問題作出解釋。另一方面，任何人都處在一定的客觀環(huán)境中，客觀條件必然對人們的選擇行為帶來一定限制。比如，人們需要商品，但必須能夠賣得起。人們受到的這些種種限制，雖然影響著人們的選擇，但這些限制卻使得效用最大化問題有了解決途徑服從約束條件的效用最大化。理性消費者正是在服從種種條件限制的情況下理性消費

2、者正是在服從種種條件限制的情況下, 選擇自己最滿選擇自己最滿意的消費方案意的消費方案。這就是效用最大化效用最大化。 一、預(yù)算約束一、預(yù)算約束設(shè)消費集合為 ，價格體系為 ，消費者收入為 r。消費者進行選擇時，要受到兩方面條件限制：客觀條件與經(jīng)濟條件。客觀條件限制客觀條件限制：包括政策、法規(guī)、生理狀態(tài)、自然環(huán)境等非經(jīng)濟因素對消費選擇的制約，這些制約因素劃出了允許消費者選擇的范圍，即消費集合X 。因此，客觀條件限制可表示為 x X 。經(jīng)濟條件限制經(jīng)濟條件限制：主要是價格與收入對消費選擇的限制，消費者必須在收入許可的范圍內(nèi)選擇。經(jīng)濟條件限制可表示為 p x r。理性消費者不能去偷、去搶、去騙，但可以賒

3、賬消費或借款消費。然而這不是說可免費消費，賒賬和借款相當于擴大收入，然后在收入限制下進行消費選擇，并沒有沒有擺脫收入約束。預(yù)算約束預(yù)算約束：是指：是指由由客觀條件限制客觀條件限制(x X )與經(jīng)濟條件限制與經(jīng)濟條件限制( p x r)給消費選擇造成的制約條件給消費選擇造成的制約條件。預(yù)算約束可表示為。預(yù)算約束可表示為：要求消費選擇要求消費選擇行為行為 x 必須服從必須服從條件條件“(x X ) ( p x r)”。RXRp= (b1, b2, b)，這就證明了 ( p, r)的有界性。至于 ( p, r)的閉性，則從 可知。這樣， ( p, r) 是有界閉集。( (一一) ) 預(yù)算集合預(yù)算集合

4、預(yù)算集合預(yù)算集合是指由預(yù)算約束確定的消費選擇范圍，是消費集合 X 的子集 ( p, r)=xX : p x r。超平面 p x = r 叫做預(yù)算線預(yù)算線。 ( p, r)X( (預(yù)算集合預(yù)算集合) ) 證明：既然 X 下有界，存在向量 a 使得 x a = ( a1, a2, a) 對一切 xX 成立。令 bi = (r- pa + pi ai) / pi ( i = 1,2, )。對任何 x ( p, r)，既然 p0且 x a ，我們有0 pi (xi ai) p (x a) r p a，從而 pi xi r p a+ pi ai ( i = 1,2, )?？梢?， a x bp x = r

5、 ( (預(yù)算線預(yù)算線) )n 定理定理 在在X 為下有界閉子集的情況下為下有界閉子集的情況下，對任何價格體系對任何價格體系 p0 及收及收入入 r，預(yù)算集合預(yù)算集合 ( p, r) 都是都是有界閉集有界閉集，從而是緊集。從而是緊集。:),(rpxRxXrp( (二二) ) 最低生活保障最低生活保障 國家為了維護人民生活，建立了最低生活保障制度。這項制度有利于社會穩(wěn)定，有利于促進經(jīng)濟均衡。現(xiàn)在，我們先從預(yù)算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含義。 為了保證消費者在收入限制下選擇到生活需要品，消費者收入就應(yīng)不低于最低收入標準。所謂最低收入標準最低收入標準，是指在既定價格體系 p 下消費集合X 中

6、的最低支出 I( p) = inf p x: xX 。 最低生活保障制度最低生活保障制度是一種保證收入 r 不低于 I( p) 的制度。條件 r I( p) 就叫做最低生活保障最低生活保障或最低收入條件最低收入條件或最低支出條件最低支出條件。 定理定理 設(shè) X 為消費集合，p 為價格體系，r 為消費者收入。(1) 如果 X 且 r I( p)，則 ( p, r) ；(2) 如果 X 是非空下有界閉集，p0 且 r I( p)，則預(yù)算集合 ( p, r) 是非空有界閉集 。二、馬歇爾需求二、馬歇爾需求效用最大化效用最大化是指消費者在預(yù)算約束下進行最滿意的消費。準確地講，設(shè)消費集合為 X ，偏好關(guān)

7、系為 。在價格體系 p 和收入 r 下，消費者的(馬歇爾馬歇爾)需求集合需求集合 D( p, r) 是指 ( p, r) 中最好的商品向量的全體：D( p, r) = x ( p, r): (z ( p, r)( z x )。n 定理定理 馬歇爾需求集合中任何兩種方馬歇爾需求集合中任何兩種方案都無差異案都無差異：( x, y D( p, r)(x y)。),(rpDxy無無預(yù)預(yù)算算線線差差異異曲曲線線 ( p, r)馬歇爾從效用最大化出發(fā)，導(dǎo)出了消費者馬歇爾從效用最大化出發(fā)，導(dǎo)出了消費者需求，即預(yù)算集合中消費者認為最好的消需求，即預(yù)算集合中消費者認為最好的消費方案，這個方案就是消費者最終決定的

8、費方案，這個方案就是消費者最終決定的消費方案，稱為消費方案，稱為馬歇爾需求馬歇爾需求(向量向量)，簡稱為，簡稱為需求需求(向量向量)。IIpvpIpv),(),(最優(yōu)解：斜率相等。切點是最優(yōu)解：斜率相等。切點是最優(yōu)點最優(yōu)點五、應(yīng)用事例五、應(yīng)用事例現(xiàn)在應(yīng)用效用最大化理論來分析兩個實際問題：所得稅與銷售稅的比較，價格補貼發(fā)放辦法比較。問題問題1：所得稅與銷售稅哪一種對消費者更為有利所得稅與銷售稅哪一種對消費者更為有利？國家向居民征稅有兩種辦法，一種是征收所得稅，另一種是征收銷售稅。假定不論采取哪種辦法，居民繳納的稅額是一樣的。那么，哪一種征稅辦法對居民更為有利些? 問題問題2：漲價補貼對消費者是否

9、有利漲價補貼對消費者是否有利？商品漲價，國家要發(fā)放價格補貼。一種辦法是控制價格，不許漲價，把價格補貼發(fā)給生產(chǎn)者。另一種辦法是允許漲價，把價格補貼發(fā)給消費者。那么，哪一種補貼辦法對消費者更為有利？ 為了分析這兩個問題，設(shè)當前的市場價格體系為 p，消費者收入為 r，消費者的選擇為 xD( p, r)。( (一一) ) 所得稅與消費稅的比較所得稅與消費稅的比較l 征收銷售稅征收銷售稅：稅率向量為t = ( t1, t2, t)，ti為購買一單位商品 i 的稅額。按稅率 t 征收銷售稅，相當于價格從 p 上升到 p+ t，于是需求從 xD( p, r) 變到 yD( p+t, r)，所納的稅額為T =

10、 t y。注意 y ( p+t, r ) ( p, r)，故 y x。l 征收所得稅征收所得稅：把銷售稅改為所得稅，直接從消費者收入r中扣除銷售稅情況下所繳納的稅額T = t y，則預(yù)算集合變?yōu)?( p, r- T )，消費者選擇變?yōu)?zD ( p, r- T )。xxyyz ( p+t, r) ( p, r)l 結(jié)果比較結(jié)果比較：可以看出， y ( p, r- T )，因而 y z。這說明：雖然繳納的稅額相同, 但征收所得稅要比征收銷售稅對居民更為有利些。 ( p, r- T )( (二二) ) 價格補貼發(fā)放辦法比較價格補貼發(fā)放辦法比較l 不許漲價不許漲價：在把價格補貼發(fā)放給生產(chǎn)者，不允許商

11、品漲價的情況下，消費者的選擇為 xD( p, r)。l 允許漲價允許漲價：允許商品漲價，把價格補貼發(fā)放給消費者。漲價后的價格體系為q，補貼使得消費者收入從r 提高到s，消費者的選擇從 x 變?yōu)?yD(q, s)。l 補貼標準補貼標準：補貼后，要保證消費者仍可以按照原來的方案進行消費，即補貼額 = q x p x，也即 q x = s。l 結(jié)果比較：結(jié)果比較：x (q, s)，x y。這說明“允許漲價，把補貼發(fā)給消費者”比 “不許漲價，把補貼發(fā)給生產(chǎn)者”對消費者來說更為有利些。 ( p, r)xxy2 2 支出最小支出最小化化任何人都希望在保持生活水平不變的條件下最小化自己的支出任何人都希望在保

12、持生活水平不變的條件下最小化自己的支出而非最大，這也是經(jīng)濟學(xué)的一個先驗命題而非最大，這也是經(jīng)濟學(xué)的一個先驗命題。支出最小化反映的是這樣一種經(jīng)濟現(xiàn)象：當消費者面臨一種消費方案時，常常會作出這樣的考慮：只要效用水平不降低，支出越只要效用水平不降低，支出越少就越好。少就越好。這就是說，消費者首先確定一個效用水平，然后在不低于這個效用水平的前提下使消費支出達到最小。這種做法的道理在于貨幣也是一種具有效用的商品，支付貨幣相當于支付效用。以貨幣換商品，相當于以效用換效用。正常人都會有想占便宜的正常心理，誰不想以較少的效用換得較多的效用呢？因此，支出最小化當然也要算作經(jīng)濟人理性的構(gòu)成部分。準確地講，支出最小

13、化支出最小化是指消費者在保證不降低生活水平的前提下，謀求消費支出達到最少。?？怂箯闹С鲎钚』霭l(fā)，分析了消費者的選擇，給出了今天稱謂的希克斯需求?？怂剐枨蟾拍?。 121),(puppE最最優(yōu)優(yōu)支支出出例：v已知CES效用函數(shù)12121)(),(xxxxu10請推出對應(yīng)的支出函數(shù)請推出對應(yīng)的支出函數(shù)22112, 1minxpxpxx0)(),(12121xxxxu受約束于受約束于?？怂剐枨蠛瘮?shù)?？怂剐枨蠛瘮?shù)),(),(212211uppxuppx),(),(212211uppxuppx將最優(yōu)解將最優(yōu)解帶入帶入2211xpxp得支出函數(shù)得支出函數(shù)收入收入=支出支出最優(yōu)點等于支出函數(shù)的斜率最優(yōu)點等于

14、支出函數(shù)的斜率替替代代效效應(yīng)應(yīng)收入效應(yīng)收入效應(yīng)價格效應(yīng)價格效應(yīng)一、支出約束一、支出約束現(xiàn)在，我們按照支出最小化的思路，來分析一下消費者的最優(yōu)選擇。假定消費者目前面臨著一種可以選擇的消費方案為 xX ，商品的價格體系為 p。這樣，消費方案 x 的支出便為 p x。 消費者是否要選定 x 作為消費行動呢？這取決于是否還有其他不比 x 差的可行消費方案 y能使支出( py)變得更少。如果這樣的方案 y 存在，那么消費者不會選擇 x。至于是否選擇 y 作為行動方案，則又取決于是否存在不比 x差而支出比 y還少的其他可行消費方案 z。 這種選擇過程要一直進行下去，直至選不出其他不比 x 差而支出能進一步

15、減少的可行方案?？梢钥闯?，每次選擇都在集合 E(x) = yX : y x 中進行。該集合 E(x) 就稱為消費者在方案 x 處的支出集合支出集合，條件“yE(x)”叫做 x 處的支出約束支出約束。支出集合支出集合x)(xEXl 對任何對任何 。其中 u : X R 為消費者的效用函數(shù)。顯然， 。 ( (一一) ) 支出函數(shù)支出函數(shù)n 支出函數(shù)支出函數(shù))(:min),(,),(xEzpzxpeXRxpl 支出函數(shù)支出函數(shù) e( p, x)正表達了支出最小化的正表達了支出最小化的意義意義：與 x 相比，在不降低生活水平的條件下，尋求支出最小化。l 對任何對任何 及任何及任何 x, yX ，只要只

16、要 x y，就有就有 e( p, x) = e( p, y)。l 對任何對任何 及任何及任何 xX ， e( p, x) + e( q, x) e( p+q, x)。l 對任何對任何 ，xX 及任何實數(shù)及任何實數(shù) t 0，都都有有 e(t p, x) = t e( p, y)。l 對任何對任何 xX ，e( p, x) 都是價格都是價格 p 的凹函數(shù)的凹函數(shù)。n 效用水平支出函數(shù)效用水平支出函數(shù)：RXRe:)(xEx),(xpepz)(),(,),(pIxpeXRxpRpRqp,RpRRRe: )()( :min),( ,),(UzuXzpzUpeRRUp)(,( ),(xupexpe 當e(

17、 p, x)=I( p)時，支出達到消費集合 上的最小支出，再也沒有變小的余地。此時，便可能出現(xiàn)這樣的情況：存在 x, yX 使得 x y 但 e( p, x) = e( p, y)。這意味著E(x)中的最小支出點 x* (即 px* = e( p, x)和 E( y)中的最小支出點 y*都在X上，如下圖所示。在點 x 處，本來x*是最優(yōu)選擇，但它位于消費集合邊界，失去了“最優(yōu)”意義：同( (二二) ) 最低支出限制最低支出限制樣支出下，還有更優(yōu)的消費方案 y*。 鑒于這個原因，通?？紤]支出最小化問題時，總是要求e( p, x) I( p)。這個條件叫做最低支出限制最低支出限制，符合該條件的消

18、費方案的全體是集合 。n 定理定理 對于理性消費者(X, ) 來說，在任何價格 p 0 下，對任何 x, yX ( p)，都有 這就是支出函數(shù)的效用性質(zhì)支出函數(shù)的效用性質(zhì)。)(),(:)(pIxpeXxpXxyxy無無差差異異曲曲線線pypIpx)(),()(),(ypepIxpe pyx ),(),()(ypexpeyxX 在既定的價格體系 p下，對于 xX ，支出集合 E(x) 中的最小支出點 x* (即 x*E(x) 且 px* = e( p, x) 所代表的消費方案，就叫做價格體系 p 下方案 x 處的?？怂剐枨笙？怂剐枨? (向量向量) )。 用 H( p, x) 表示價格下方案 x

19、 處的?？怂剐枨笙蛄康娜w，稱為價格 p 下方案 x 處(或效用水平x上)的?？怂剐枨蠹舷？怂剐枨蠹希碒( p, x) = zE(x): (yE(x)( p z p y )二、希克斯需求二、希克斯需求l 對任何對任何 p 0及任何及任何 x, yX ，只要只要 x y，就有就有 H( p, x) = H( p, y)。l 對任何對任何 p 0及任何及任何 xX ，若若 H( p, x) ，則則 pH( p, x) = e( p, x)。n ?？怂剐枨蠓▌t?？怂剐枨蠓▌t：對任何價格向量 p, q 及任何 zX ，都有(xH( p, z)(yH( q, z) ( ( p q)(x y) 0

20、) 即?？怂剐枨笈c商品價格之間呈反向變動關(guān)系?？怂剐枨笈c商品價格之間呈反向變動關(guān)系。 證明：注意，x, yE(z)。xH( p, z)說明 p x p y；yH( q, z)說明 q x q y。因此， p x q x p y q y，即( p q)(x y) 0。n 存在性存在性定理定理 如果消費集合 是下有界非空閉子集，并且偏好關(guān)系 連續(xù)，則對任何價格向量 p0及任何消費方案xX ，都有 H( p, x) 。因此，理性消費者的?？怂剐枨蟊厝淮嬖诶硇韵M者的希克斯需求必然存在。 ( (一一) ) ?？怂剐枨蟮拇嬖谛韵？怂剐枨蟮拇嬖谛?希克斯需求的存在性是一個基本問題。如果說?？怂剐枨蠹?H

21、( p, x)是空集，那么支出最小化理論便是空談。x p 證明： X 為下有界非空閉集及 p0意味著集合B = zX : (z x)( pz px)是非空有界閉集。 注意，函數(shù) pz (zX ) 在 E(x)上的最小值與在 B 上的最小值一致，且 pz為連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)在有界閉集上必有最小值。故?？怂剐枨蟠嬖凇?,(wherexpHHHRX B( (二二) ) ?？怂剐枨蟮奈ㄒ恍韵？怂剐枨蟮奈ㄒ恍??？怂剐枨蟮奈ㄒ恍砸彩且粋€基本問題。如果唯一性成立，則消費從支出最小化角度的選擇便是明確的。n 唯一性唯一性定理定理 設(shè)消費集合 X 是凸集，偏好 連續(xù)且嚴格凸，則對于服從最低支出限制的任何價格

22、向量 p 和消費方案 xX ，希克斯需求集合H( p, x)中最多只有一種消費方案。 反證法：假如存在 y, y H( p, x), y y ,如右圖所示, 則 p y = p y = e( p, x) I( p), 從而存在 wX 滿足 p w p y 。這樣，w x。 的嚴格凸性保證了y x。 的連續(xù)性保證了在連接 w 和 y 的線段上存在 z 滿足：z x 且 p z p y= p y。這與 y H( p, x)相矛盾！xy H( p, x)y H( p, x)y = ( y+y )wz12( (三三) ) 希克斯需求的保效性?？怂剐枨蟮谋Ｐ詎 保效性定理保效性定理 設(shè)消費集合X 是凸

23、集，偏好 連續(xù), 則對服從最低支出限制的任何價格向量 p 和消費方案 xX ，?？怂剐枨蠹螲( p, x)中的每種方案都與 x 無差異。 yH( p, x), y xw x p w p y 反證法：假如存在 yH( p, x)使 y x。則存在wX 使得 p w p y且w x。 z x , p z p yxX p 偏好 的連續(xù)性保證了在連接 w和 y 的線段上，存在一點 z 使得z x且 p z I( p)在?？怂剐枨笪ㄒ恍圆豢缮?。這樣，由 p0 和 e( p, x) I( p) 確定的價格價格-方案方案組合具有特別重要的意義。鑒于此，我們用 來專門表示這種價格價格-方案方案組合的全體，即

24、 = ( p, x)R X : ( p 0)(e( p, x) I( p)三、?？怂剐枨笥成淙⑾？怂剐枨笥成?希克斯需求的存在性和唯一性表明，在假設(shè) HC 和偏好關(guān)系連續(xù)、嚴格凸的條件下，?？怂剐枨蟠_定了一個映射 h: X 如下：( p, x)( H( p, x)=h( p, x)即 h( p, x) 就是 H( p, x) 中的那個唯一的方案。 稱這個映射 h: X 為消費者的?？怂剐枨笥成湎？怂剐枨笥成?。該映射的每一個分量函數(shù) hi( p, x) 稱為消費者的希克斯需求函數(shù)?？怂剐枨蠛瘮?shù)( i = 1,2,)。 顯然，?？怂剐枨笥成渚哂邢率鋈龡l性質(zhì)：零階齊次性零階齊次性：對任何( p,

25、x) 及實數(shù) t 0，都有h( t p, x) = h( p, x)。效用不變性：效用不變性：對任何( p, x)，h( p, x) x 。反向變動性：反向變動性：對任何( p, x), (q, x)，( p q)( h( p, x) h( q, x) 0。即 價格與需求反向變動。四、效用與支出的對偶四、效用與支出的對偶從表面上看，效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化問題，支出最小化的?？怂剐枨笠矝]有考慮效用最大化問題。其實并非如此，效用最大化與支出最小化是相互對偶的問題。 n 對偶定理對偶定理 設(shè)消費集合 X 是 的下有界非空凸閉子集， 是無滿足的連續(xù)凸偏好。對任何 ( p, r) 和

26、( p, x)，都有：(1) (zD( p, r)( zH( p, z)，即效用最大時支出也最?。?2) (zH( p, x)( zD( p, e( p, x)，即支出最小時效用也最大；(3) 如果 還嚴格凸, 則 ( p, r) = h( p, ( p, r)且h( p, x) = ( p, e( p, x)。 對偶定理說明，馬歇爾需求與?？怂剐枨笠恢隆＜热蝗绱?，消費最優(yōu)化問題就既可以從效用最大化出發(fā)，也可以從支出最小化出發(fā)來解決。鑒于這個原因，今后我們直接從效用最大化出發(fā)來研究消費者需求。凡提到需求，如無特殊說明，均指馬歇爾需求。zR3 3 消費者均衡消費者均衡 消費者均衡消費者均衡是指消

27、費者的效用最大化狀態(tài)。因此，也可以把馬歇爾需求向量 x*D( p, r) 叫做消費者的均衡向量均衡向量。問題是：怎樣才能實現(xiàn)均衡？使用效用函數(shù)，可以對這個問題作出回答。為此，我們將根據(jù)具體情況，要使用如下一些假設(shè)中的一個或幾個：(1) (X, )是理性消費者是理性消費者，即 X 滿足假設(shè)HC， 連續(xù)、凸、無滿足；(2) 的的效用函數(shù)效用函數(shù) u: X R 滿足假設(shè)滿足假設(shè) HU；(3) 消費者均衡消費者均衡 x* 在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)，即 x*D( p, r) X 。rpxxus.t.)(max假定價格體系為 p 0，消費者收入為 r。利用效用函數(shù) u(x)，效用最大化問題可表

28、述為：max u(x) s.t. px r。在需求服從瓦爾拉定律的情況下，不等式約束“p x r”可用等式約束“p x = r”替代，從而效用最大化問題變得更加明確： 在需求服從瓦爾拉定律的情況下，效用最大化問題可用拉格朗日乘數(shù)法求解。首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù) L(x, ) = u(x) + (r p x)；然后，設(shè) x*X 是效用最大化問題的解；最后，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，存在實數(shù) 使得L(x, )在(x*, ) 處的各個一階偏導(dǎo)數(shù)全為零： 這就是說，消費者的均衡向量 x* 必然是方程組 的解。鑒于這個原因，我們把方程組 叫做效用最大化邊邊際方程際方程或邊際等式邊際等式(marginal equ

29、ation)，其中實數(shù) 叫做拉格朗日乘拉格朗日乘數(shù)數(shù)，簡稱拉氏乘數(shù)拉氏乘數(shù)， 。 邊際方程的重要作用在于它表達了消費者實現(xiàn)效用最大化的一階條件：不但是必要條件，而且是充分條件。一、一、實現(xiàn)均衡的一階條件實現(xiàn)均衡的一階條件rxpxpxppxipxuuiii*22*11*), 2 , 1(*)(rpxpxu*)(rpxpxu*)(*)(,*),(*),(*)(*)(21xuxuxuxuxu 證明：在定理的條件下，效用最大化只能在預(yù)算線上實現(xiàn)，于是根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可知，存在實數(shù) 使得u (x*) = p 且 p x* = r。現(xiàn)在，我們只需證明拉氏乘數(shù) 0。 注意，定理的條件保證了u(x*) 0。

30、而 x*D( p, r) X 又保證了 u(x*) 0，這是因為對任何xX，若x 0，故 0。n 定理定理(必要條件必要條件) 設(shè)理性消費者(X, )的效用函數(shù) u: X R 在 X 內(nèi)部可微并且(xX )(u (x) 0)。對任何價格向量 p 0、收入 r 及消費向量x*X ，若x*D( p, r)(即x*是消費者的均衡)，則存在實數(shù) 0 使 u (x*) = p 且 p x* = r，即 (x*, ) 滿足邊際方程：( (一一) ) 一階必要條件一階必要條件rxpxpxppxipxuuiii*22*11*), 2 , 1(*)(1. 1. 必要條件的序數(shù)效用意義：替代法則必要條件的序數(shù)效用

31、意義：替代法則n 邊際替代率邊際替代率：在消費方案 x 處，商品i 對商品 j 的邊際替代率是指當商品 i 的消費增加一單位時， 在保持效用水平不變的情況下商品 j 的消費減少量。即 MRSi, j = (d xj/d xi) = ui(x) /uj(x)。n 市場交換率市場交換率：商品i 對商品 j 的市場替代率是指市場上一個單位的商品 i 所能換得的商品 j 的數(shù)量, 即商品 i 與商品 j 的價格比 pi /pj。l 替代法則替代法則：均衡時，任何兩種商品之間的邊際替代率都等于市場交換率。rxpxpxppxjippxuxujiji*22*11*), 2 , 1,(*)(*)(jijipp

32、xuxu)()(增加 i 的消費，減少 j 的消費，方可提高效用。減少 i 的消費，增加 j 的消費，方可提高效用。jijippxuxu)()(2. 2. 必要條件的基數(shù)效用意義：邊際法則必要條件的基數(shù)效用意義：邊際法則l 邊際效用均等法則邊際效用均等法則：均衡時，把一單位貨幣收入不論用于購買哪一種商品以增加消費量，其所增加的效用都是一樣的；拉格朗日乘數(shù) 就是均衡時貨幣收入的邊際效用。rxpxpxppxpxupxupxu*22*112211*)(*)(*)( 如果把邊際方程中的效用函數(shù)理解為基數(shù)效用函數(shù)，則邊際方程蘊含著更深刻的意義：邊際效用均等法則。增加 i 的消費，減少 j 的消費，方可提

33、高效用。減少 i 的消費，增加 j 的消費，方可提高效用。jjiipxupxu)()(jjiipxupxu)()( (二二) ) 一階一階充分條件充分條件n 定理定理(充分條件充分條件) 設(shè)消費集合X 是 的凸子集，效用函數(shù) u(x) 連續(xù)、擬凹且在 X 內(nèi)部連續(xù)可微。則對任何價格向量 p 0、收入 r 及消費向量x*X ，若存在實數(shù) 0 使 u (x*) = p 且 p x* = r，則x*D( p, r)(即x*是消費者的均衡)。 0*)()*)(*)(*)(*(lim*)(*)1 (lim1*00pxpxxxxutxuxxtxutxuxttxuiiiittR 證明. 首先注意，u(x)

34、弱擬凹(連續(xù)+擬凹 弱擬凹)。要證明 x* D( p, r)，就是要證明(xX )( ( p x r) (u(x) u(x*) )。 第一步第一步，先證明 (xX )( (u(x) u(x*) ( p x r) )。 為此，任意給定 xX 使得 u(x) u(x*)。u的弱擬凹性保證了對任何 t(0,1)，都有 u( t x+(1- t) x*) u(x*)。于是，既然 0，因此 p x p x* = r。第一步的結(jié)論得證。 從 x*X 知，存在 wX 使 w 0，因此 pw px* = r。根據(jù)第一步的結(jié)論，便知 u(w) u(x*) u(x)。 u(x)的連續(xù)性保證了存在 t(0, 1)

35、使得 u(tw+(1t)x) = u(x*)(連續(xù)函數(shù)介值定理)。記 z = tw + (1t) x，則我們有： p z = t pw +(1 t) px t r +(1 t) r = r 可見，u(z) = u(x*) 且 p z r。再根據(jù)1. 1. 充分條件的證明充分條件的證明第一步的結(jié)論，可知 p z r，這與 p z u(x*)( p x r)成立。這一結(jié)果意味著(xX )( ( p x r) (u(x) u(x*) )，定理得證。 第二步第二步，再證明 (xX )( (u(x) u(x*) ( p x r) )。 用反證法，假定存在 xX 使得 u(x) u(x*) 但 px r。

36、Xxxwzrpx 商品間的替代法則商品間的替代法則：如果在 x*處，任何兩種商品之間的邊際替代率都等于它們相應(yīng)的價格比，即那么 x* 就是消費者在價格 p 和收入 r 下的均衡。2. 2. 充分條件的意義充分條件的意義 邊際效用均等法則邊際效用均等法則：如果在 x*處，把一單位貨幣收入不論用于購買哪一種商品以增加消費量，其所增加的效用都是一樣的，即那么 x* 就是消費者在價格 p 和收入 r 下的均衡。pxupxupxu*)(*)(*)(2211), 2 , 1,(*)(*)(jippxuxujiji充分條件定理意味著商品之間的替代法則和邊際效用均等法則不僅僅只是均衡的必要條件，通過這兩條法則

37、足以能夠判斷消費者是否實現(xiàn)了均衡。二、內(nèi)部均衡與邊界最差現(xiàn)象二、內(nèi)部均衡與邊界最差現(xiàn)象一階條件要求均衡位于消費集合內(nèi)部(即內(nèi)部均衡)。內(nèi)部消費的特點，就是可沿任何方向?qū)@種消費進行調(diào)整。而邊界消費就沒有如此的好處：若要調(diào)整邊界消費，則必須考慮調(diào)整方向是否可行的問題。因此，一般情況下，邊界消費總是要比內(nèi)部消費差些邊界消費總是要比內(nèi)部消費差些，這就是邊界消費最差現(xiàn)象邊界消費最差現(xiàn)象，我們將其作為一個假設(shè)。 n 邊界最差假設(shè)邊界最差假設(shè)：(xX )(y X )( x y)。 此假設(shè)是生活水平較高的體現(xiàn)。那種有食無衣、有衣無食的生活正是最差的邊界生活。在此假設(shè)下，均衡必然在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)：既有衣物，

38、又有食物。這正是內(nèi)部均衡定理表述的事實。 n 內(nèi)部均衡定理內(nèi)部均衡定理 假定理性消費者( X, ) 服從邊界最差假設(shè)。則對于任何( p, r), 都有 D( p, r) X 。進而如果 還是內(nèi)部嚴格凸的，則需求映射 : X 得以確定且( p, r)( p, r)X )。 設(shè) x*=( p*, r*)X ，p* 0，* 是確定 x* 的邊際方程中的拉氏乘數(shù)：u(x*) = * p* 且 p* x* = r*。假設(shè)HC、HP和HU成立。 間接效用函數(shù) 可看成函數(shù) L(x, p, r) = u(x) + *(r- p x) 與需求映射 ( p, r) 的復(fù)合： 。因此，我們有：三、三、LagrangeLagrange乘數(shù)的意義乘數(shù)的意義*)*)(*),(),(),(),(111rpxurxrpxLrrpxLrxxrpxLrrpuiiiiiiiiii 結(jié)合u(x*) = * p*，可知 。由于 p*和 r*都是任意給定的，因此可把此公式直接寫成下述定理