余式定理,因式定理之歐陽物創(chuàng)編

1、余式定理時間：2021.02.07命題人：歐陽物1公式整系數多項式f(x)除以(xa)商為q(x)，余式為r，則 f(x)=(x-a)q(x)+r °如果多項式r=0，那么多項式f(x)必定含有因式(xa) °反過 來，如果f(x)含有因式(x-a) 那么，r=0 °2概念當一個多項式f(x)除以(x-a)時，所得的余數等于f(a)。 例如：當f(x)二xT+x+2除以(x - 1)時，則余數 =f(l) = lA2 + l+2=4。3推論當一個多項式f(x)除以(mx - n)時，所得的余數等于 f(n/m) °例如:求當9xA2+6x-7除以(3x

2、+ 1)時所得的余數。 設 f(x) = 9xA2 + 6x-7，則余數 f(-l/3)=l-2-7=-8。4例題(全國港澳臺華僑聯(lián)合招生考試題型)設f(x)以(xl)除之，余式為8，以(x2+x+l)除之的余式為 (7x+16)，求(xA3-l)除之的余式為多少？解：根據題意，得 f(l)=8，f(x)=(xA2+x+l)g(x)+7x+16 ° 因為 xA3-l=(x-l)(xA2+x+l)所以 f(x) = (x-l)(xA2+x+l)g(x)+a(xA2+x+l)+7x+16 (其 中 a(x2+x+l)+7x+16 為余式)又 f(l)=8所以 f(l)=3a+7+16=8

3、所以a二5，因此余式為-5xA2+2x+ll因式定理1定義為余式定理的推論之一:如果多項式f(a)=0，那么多項 式f(x)必定含有因式x-a °反過來，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0 °分解因式心一卅+(> Z)'+(Z7) 解;.當xy時，原式為0原式含有因式(xy)又.原式為3次對稱多項式原式還含有因式(yz)(z-x) 設原式=k(xy)(yz)(zx)令 x = 0. y = 1, z = 2得k = 3原式=3( x - y)(y - z)(z-x)2例題如圖，此題可以利用完全立方公式解答 但較為繁瑣。仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)，當x二y時，

4、原式的值為0。根據因式定理可知：原式必有因式xy同樣的，可以得到原 式必有因式y(tǒng)z和z-x (也可以由原式為對稱多項式直接得 到)然后再用待定系數法(結合賦值法)求出待定系數即可3意義熟練掌握因式定理后，可以運用試根法（結合因式定理） 找到因式（大多試±1，±2，±3，±% ），再用待定系數法（結合賦值法）求出待定系數，或綜合除法直接求出剩下 的因式，這樣就可以較便利的分解因式了。同時，將因式定理與待定系數法配合使用往往可以更簡便 的進行因式分解，也可以用來判斷能否進行因式分解。4多項式的因式分解因式定理普遍應用于找到一個多項式的因式或多項式方程 的根的兩類問題。從定理的推論結果，這些問題基本上是 等價的。若多項式已知一個或數個零點，因式定理也可以移除多項 式中已知零點的部份，變成一個階數較低的多項式，其零 點即為原多項式中剩下的零點，以簡化多項式求根的過 程。方法如下：先設法找出多項式的一個零點。利用因式定理確認是多項式的因式。利用長除法計算多項式。中，所有滿足條件的根都是方程式的根。因為的多項式階 數較要小。因此要找出多項式的零點可能會比較簡單。另外欲使A二BQ+R成立，就令除式BQ=0,則被除式A=R,能 使此方程式成立，被除式二（商式）（除式）+余式or被除式/除式=商式+余式/除式1推論：（一）若多項式各項系數為