人教版七年級數(shù)學上冊第四章44設(shè)計制作長方體形狀的包裝紙盒2013-2015中考試題匯編含精講

1、人教版七年級數(shù)學上冊第四章4.4 設(shè)計制作長方體形狀的包裝紙盒 2013-2015中考試題匯編含精講一選擇題（共1小題）1（2014無錫）已知ABC的三條邊長分別為3，4，6，在ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（） A 6條 B 7條 C 8條 D 9條二填空題（共4小題）2（2015自貢）如圖，將線段AB放在邊長為1的小正方形網(wǎng)格，點A點B均落在格點上，請用無刻度直尺在線段AB上畫出點P，使AP=，并保留作圖痕跡（備注：本題只是找點不是證明，只需連接一對角線就行）3（2014黃岡）如圖，在一張長為8cm，寬為6cm的矩形紙片

2、上，現(xiàn)要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上）則剪下的等腰三角形的面積為cm24（2014天津）如圖，將ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，點B，點C均落在格點上（）計算AC2+BC2的值等于；（）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC2+BC2，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）5（2014淄博）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一邊長為4的平行四邊形ABCD，請將其剪拼成一個有一邊長為6的矩形（要求：在答題卡的圖中畫出裁剪線即可）三解答題（共25小題）6（2015溫州）各

3、頂點都在方格紙格點（橫豎格子線的交錯點）上的多邊形稱為格點多邊形如何計算它的面積？奧地利數(shù)學家皮克（GPick，18591942年）證明了格點多邊形的面積公式S=a+b1，其中a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點數(shù)，S表示多邊形的面積如圖，a=4，b=6，S=4+×61=6（1）請在圖中畫一個格點正方形，使它的內(nèi)部只含有4個格點，并寫出它的面積（2）請在圖乙中畫一個格點三角形，使它的面積為，且每條邊上除頂點外無其它格點（注：圖甲、圖乙在答題紙上）7（2015杭州）“綜合與實踐”學習活動準備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a，b，c，并且這些三角形三邊的長度為大于

4、1且小于5的整數(shù)個單位長度（1）用記號（a，b，c）（abc）表示一個滿足條件的三角形，如（2，3，3）表示邊長分別為2，3，3個單位長度的一個三角形請列舉出所有滿足條件的三角形（2）用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足abc的三角形（用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡）8（2015南京）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數(shù)字3）9（2015寧波）在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，若多邊形的各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上，這樣的

5、多邊形稱為格點多邊形記格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)為a，邊界上的格點數(shù)為b，則格點多邊形的面積可表示為S=ma+nb1，其中m，n為常數(shù)（1）在下面的方格中各畫出一個面積為6的格點多邊形，依次為三角形、平行四邊形（非菱形）、菱形；（2）利用（1）中的格點多邊形確定m，n的值10（2015吉林）圖，圖，圖都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1在圖，圖中已畫出線段AB，在圖中已畫出點A按下列要求畫圖：（1）在圖中，以格點為頂點，AB為一邊畫一個等腰三角形；（2）在圖中，以格點為頂點，AB為一邊畫一個正方形；（3）在圖中，以點A為一個頂點，另外三個頂點也在格點

6、上，畫一個面積最大的正方形11（2015佛山）如圖，ABC是等腰三角形，AB=AC，請你用尺規(guī)作圖將ABC分成兩個全等的三角形，并說明這兩個三角形全等的理由（保留作圖痕跡，不寫作法）12（2015哈爾濱）圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON，使點N在格點上，且MON=90°；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒

7、有剩余（畫出一種即可）13（2015青島）【問題提出】用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？【問題探究】不妨假設(shè)能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關(guān)系，我們可以先從特殊入手，通過試驗、觀察、類比、最后歸納、猜測得出結(jié)論【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？此時，顯然能搭成一種等腰三角形所以，當n=3時，m=1（2）用4根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形所以，當n=4時，m=0（3）用5根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同

8、的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形所以，當n=5時，m=1（4）用6根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形所以，當n=6時，m=1綜上所述，可得：表n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并將結(jié)果填在表中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三

9、角形？（只需把結(jié)果填在表中）表n 7 8 9 10m 你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究，【問題解決】：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（設(shè)n分別等于4k1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整數(shù)，把結(jié)果填在表中）表n 4k1 4k 4k+1 4k+2m 【問題應用】：用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（寫出解答過程），其中面積最大的等腰三角形每腰用了根木棒（只填結(jié)果）14（2015廣安）手工課上，老師要求同學們將邊長為4cm的正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形，聰明的你請

10、在下列四個正方形中畫出不同的剪裁線，并直接寫出每種不同分割后得到的最小等腰直角三角形面積（注：不同的分法，面積可以相等）15（2014南昌）已知梯形ABCD，請使用無刻度直尺畫圖（1）在圖1中畫出一個與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；（2）圖2中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形16（2014溫州）如圖，在所給方格紙中，每個小正方形邊長都是1，標號為，的三個三角形均為格點三角形（頂點在方格頂點處），請按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個三角形，使它們與標號為，的三個三角形分別對應全等（1）圖甲中的格點正方形ABCD；（2）圖乙中的格點平行四邊形ABCD注：分

11、割線畫成實線17（2014漳州）如圖，ABC中，AB=AC，A=36°，稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形請完成以下操作：（畫圖不要求使用圓規(guī)，以下問題所指的等腰三角形個數(shù)均不包括ABC）（1）在圖1中畫1條線段，使圖中有2個等腰三角形，并直接寫出這2個等腰三角形的頂角度數(shù)分別是度和度；（2）在圖2中畫2條線段，使圖中有4個等腰三角形；（3）繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在ABC中畫n條線段，則圖中有個等腰三角形，其中有個黃金等腰三角形18（2014杭州）把一條12個單位長度的線段分成三條線段，其中一條線段成為4個單位長度，另兩條線段長都是單位長度的整數(shù)倍（1）不同分段得到的三條線段能組成多

12、少個不全等的三角形？用直尺和圓規(guī)作這些三角形（用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求出（1）中所作三角形外接圓的周長19（2014無錫）（1）如圖1，RtABC中，B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E求證：=（這個比值叫做AE與AB的黃金比）（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形請你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個黃金三角形ABC（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點用字母進行標注）20（2014青島）

13、數(shù)學問題：計算+（其中m，n都是正整數(shù)，且m2，n1）探究問題：為解決上面的數(shù)學問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究探究一：計算+第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，；第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為+，最后空白部分的面積是根據(jù)第n次分割圖可得等式：+=1探究二：計算+第1次分割，把正方形的面積三等分

14、，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，；第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為+，最后空白部分的面積是根據(jù)第n次分割圖可得等式：+=1，兩邊同除以2，得+=探究三：計算+（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程）解決問題：計算+（只需畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空）根據(jù)第n次分割圖可得等式：，所以，+=拓廣應用：計算 +21（2014廣安）在校園文化建設(shè)活動中，需要裁剪一些菱形來美化教

15、室現(xiàn)有平行四邊形ABCD的鄰邊長分別為1，a（a1）的紙片，先剪去一個菱形，余下一個四邊形，在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，依此類推，請畫出剪三次后余下的四邊形是菱形的裁剪線的各種示意圖，并求出a的值22（2014牡丹江）在ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AC為一邊作正方形ACDE，過點D作DFBC交直線BC于點F，連接AF，請你畫出圖形，直接寫出AF的長，并畫出體現(xiàn)解法的輔助線23（2013定西）兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點

16、C應選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點C（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）24（2013蘭州）如圖，兩條公路OA和OB相交于O點，在AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要修建一個貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）25（2013棗莊）圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點A和點B在小正方形的頂點上（1）在圖1中畫出ABC（點C在小正方形的頂點上），使ABC為直角三角形（畫一個即可）；（2）在圖2中畫出ABD（點D在小正方形的頂點上），

17、使ABD為等腰三角形（畫一個即可）26（2013蘇州）如圖，在方格紙中，ABC的三個頂點及D，E，F(xiàn)，G，H五個點分別位于小正方形的頂點上（1）現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個點為頂點畫三角形，在所畫的三角形中與ABC不全等但面積相等的三角形是（只需要填一個三角形）（2）先從D，E兩個點中任意取一個點，再從F，G，H三個點中任意取兩個不同的點，以所取得這三個點為頂點畫三角形，求所畫三角形與ABC面積相等的概率（用畫樹狀圖或列表格求解）27（2013吉林）圖、圖都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1在每個網(wǎng)格中標注了5個格點按下列要求畫圖：（1）在圖

18、中以格點為頂點畫一個等腰三角形，使其內(nèi)部已標注的格點只有3個；（2）在圖中，以格點為頂點，畫一個正方形，使其內(nèi)部已標注的格點只有3個，且邊長為無理數(shù)28（2013臨夏州）有公路l2同側(cè)、l1異側(cè)的兩個城鎮(zhèn)A、B，如圖，電信部門要修建一座信號發(fā)射塔，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1、l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點，注明點C的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）29（2013嘉興）小明在做課本“目標與評定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖

19、2，畫PCa，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)（1）請寫出這種做法的理由；（2）小明在此基礎(chǔ)上又進行了如下操作和探究（如圖3）：以P為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線b，PC于點A，D；連結(jié)AD并延長交直線a于點B，請寫出圖3中所有與PAB相等的角，并說明理由；（3）請在圖3畫板內(nèi)作出“直線a，b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡30（2013衡陽）一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市問：（1）能否

20、找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預設(shè)的要求？在圖1中畫出安裝點的示意圖，并用大寫字母M、N、P、Q表示安裝點；（2）能否找到這樣的3個安裝點，使得在這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預設(shè)的要求？在圖2中畫出示意圖說明，并用大寫字母M、N、P表示安裝點，用計算、推理和文字來說明你的理由人教版七年級數(shù)學上冊第四章4.4 設(shè)計制作長方體形狀的包裝紙盒 2013-2015中考試題匯編含精講參考答案與試題解析一選擇題（共1小題）1（2014無錫）已知ABC的三條邊長分別為3，4，6，在ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多

21、可畫（） A 6條 B 7條 C 8條 D 9條考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；等腰三角形的判定專題： 壓軸題分析： 利用等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB，AC為底以及為腰得出符合題意的圖形即可解答： 解：如圖所示：當BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7時，都能得到符合題意的等腰三角形故選：B點評： 此題主要考查了等腰三角形的判定以及應用設(shè)計與作圖等知識，正確利用圖形分類討論得出是解題關(guān)鍵二填空題（共4小題）2（2015自貢）如圖，將線段AB放在邊長為1的小正方形網(wǎng)格，點A點B均落在格點上，請用無刻度直尺在線段AB上畫出點P，使AP=，

22、并保留作圖痕跡（備注：本題只是找點不是證明，只需連接一對角線就行）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖分析： 利用勾股定理列式求出AB=，然后作一小正方形對角線，使對角線與AB的交點滿足AP：BP=2：1即可解答： 解：由勾股定理得，AB=，所以，AP=時AP：BP=2：1點P如圖所示點評： 本題考查了應用與設(shè)計作圖，考慮利用相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3（2014黃岡）如圖，在一張長為8cm，寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上）則剪下的等腰三角形的面積為或5或10cm2考點： 作圖應用與設(shè)

23、計作圖專題： 計算題；壓軸題分析： 因為等腰三角形腰的位置不明確，所以分（1）腰長在矩形相鄰的兩邊上，（2）一腰在矩形的寬上，（3）一腰在矩形的長上，三種情況討論（1）AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解；（3）先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解解答： 解：分三種情況計算：（1）當AE=AF=5厘米時，SAEF=AEAF=×5×5=厘米2，（2）當AE=EF=5厘米時，如圖BF=2厘米，SAEF=AEBF=×5×2=5厘米2，（3）當AE=EF=5厘米時，如圖DF=4厘米，

24、SAEF=AEDF=×5×4=10厘米2故答案為：，5，10點評： 本題主要考查矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運用，要根據(jù)三角形的腰長的不確定分情況討論4（2014天津）如圖，將ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，點B，點C均落在格點上（）計算AC2+BC2的值等于11；（）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC2+BC2，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）如圖所示：考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；勾股定理專題： 作圖題；壓軸題分析： （1）直接利用勾股定理求出即可；（2）首先分別以AC、BC、AB為一邊作正方形AC

25、ED，正方形BCNM，正方形ABHF；進而得出答案解答： 解：（）AC2+BC2=（）2+32=11；故答案為：11；（2）分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延長DE交MN于點Q，連接QC，平移QC至AG，BP位置，直線GP分別交AF，BH于點T，S，則四邊形ABST即為所求點評： 此題主要考查了應用設(shè)計與作圖，借助網(wǎng)格得出正方形是解題關(guān)鍵5（2014淄博）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一邊長為4的平行四邊形ABCD，請將其剪拼成一個有一邊長為6的矩形（要求：在答題卡的圖中畫出裁剪線即可）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；圖形的剪拼分析： 如圖先過D點向下剪出一個

26、三角形放在平行四邊形的左邊，再在剪去D點下面兩格的小正方形放在右面，就組成了矩形解答： 解：如圖：點評： 本題一方面考查了學生的動手操作能力，另一方面考查了學生的空間想象能力，重視知識的發(fā)生過程，讓學生體驗學習的過程三解答題（共25小題）6（2015溫州）各頂點都在方格紙格點（橫豎格子線的交錯點）上的多邊形稱為格點多邊形如何計算它的面積？奧地利數(shù)學家皮克（GPick，18591942年）證明了格點多邊形的面積公式S=a+b1，其中a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點數(shù)，S表示多邊形的面積如圖，a=4，b=6，S=4+×61=6（1）請在圖中畫一個格點正方形，使它的內(nèi)部只

27、含有4個格點，并寫出它的面積（2）請在圖乙中畫一個格點三角形，使它的面積為，且每條邊上除頂點外無其它格點（注：圖甲、圖乙在答題紙上）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖分析： （1）根據(jù)皮克公式畫圖計算即可；（2）根據(jù)題意可知a=3，b=3，畫出滿足題意的圖形即可解答： 解：（1）如圖所示，a=4，b=4，S=4+×41=5；（2）因為S=，b=3，所以a=3，如圖所示，點評： 本題考查了應用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是理解皮克公式，根據(jù)題意求出a、b的值7（2015杭州）“綜合與實踐”學習活動準備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a，b，c，并且這些三角形三邊的長度為大于1且小于5的整數(shù)個單位長

28、度（1）用記號（a，b，c）（abc）表示一個滿足條件的三角形，如（2，3，3）表示邊長分別為2，3，3個單位長度的一個三角形請列舉出所有滿足條件的三角形（2）用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足abc的三角形（用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；三角形三邊關(guān)系分析： （1）應用列舉法，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列舉出所有滿足條件的三角形（2）首先判斷滿足條件的三角形只有一個：a=2，b=3，c=4，再作圖：作射線AB，且取ABAB=4； 以點AA為圓心，3為半徑畫?。灰渣cBB為圓心，2為半徑畫弧，兩弧交于點C； 連接AC、BC則ABC即為滿足條件的三角形解答： 解：（1）共9種

29、：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4時滿足abc如答圖的ABC即為滿足條件的三角形點評： 本題考查了三角形的三邊關(guān)系，作圖應用與設(shè)計作圖首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖8（2015南京）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標

30、注數(shù)字3）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性質(zhì)分析： 以A為圓心，以3為半徑作弧，交AD、AB兩點，連接即可；連接AC，在AC上，以A為端點，截取1.5個單位，過這個點作AC的垂線，交AD、AB兩點，連接即可；以A為端點在AB上截取3個單位，以截取的點為圓心，以3個單位為半徑畫弧，交BC一個點，連接即可；連接AC，在AC上，以C為端點，截取1.5個單位，過這個點作AC的垂線，交BC、DC兩點，然后連接A與這兩個點即可；以A為端點在AB上截取3個單位，再作著個線段的垂直平分線交CD一點，連接即可解答： 解：滿足條件的所有圖形如圖所示：點評： 此題主要考查了作圖應用

31、與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定方法9（2015寧波）在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，若多邊形的各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上，這樣的多邊形稱為格點多邊形記格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)為a，邊界上的格點數(shù)為b，則格點多邊形的面積可表示為S=ma+nb1，其中m，n為常數(shù)（1）在下面的方格中各畫出一個面積為6的格點多邊形，依次為三角形、平行四邊形（非菱形）、菱形；（2）利用（1）中的格點多邊形確定m，n的值考點： 作圖應用與設(shè)計作圖分析： （1）利用格點圖形的定義結(jié)合三角形以及平行四邊形面積求法得出即可；（2）利用已知圖形，結(jié)合S=ma+nb1得出關(guān)于m，n的關(guān)系式，進而求出即

32、可解答： 解：（1）如圖所示：；（2）格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)為a，邊界上的格點數(shù)為b，則格點多邊形的面積可表示為S=ma+nb1，其中m，n為常數(shù)，三角形：S=3m+8n1=6，平行四邊形：S=3m+8n1=6，菱形：S=5m+4n1=6，則，解得：點評： 此題主要考查了應用設(shè)計與作圖以及三角形、平行四邊形面積求法和二元一次方程組的解法，正確得出關(guān)于m，n的方程組是解題關(guān)鍵10（2015吉林）圖，圖，圖都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1在圖，圖中已畫出線段AB，在圖中已畫出點A按下列要求畫圖：（1）在圖中，以格點為頂點，AB為一邊畫一個等腰三角

33、形；（2）在圖中，以格點為頂點，AB為一邊畫一個正方形；（3）在圖中，以點A為一個頂點，另外三個頂點也在格點上，畫一個面積最大的正方形考點： 作圖應用與設(shè)計作圖分析： （1）根據(jù)勾股定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出兩邊分別為的等腰三角形即可；（2）根據(jù)勾股定理逆定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出邊長為的正方形；（3）根據(jù)勾股定理逆定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出最長的線段作為正方形的邊長即可解答： 解：（1）如圖，符合條件的C點有5個：；（2）如圖，正方形ABCD即為滿足條件的圖形：；（3）如圖，邊長為的正方形ABCD的面積最大點評： 本題考查了作圖應用與設(shè)計作圖熟記勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)

34、鍵所在11（2015佛山）如圖，ABC是等腰三角形，AB=AC，請你用尺規(guī)作圖將ABC分成兩個全等的三角形，并說明這兩個三角形全等的理由（保留作圖痕跡，不寫作法）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)專題： 作圖題分析： 作出底邊BC的垂直平分線，交BC于點D，利用三線合一得到D為BC的中點，可得出三角形ADB與三角形ADC全等解答： 解：作出BC的垂直平分線，交BC于點D，AB=AC，AD平分BAC，即BAD=CAD，在ABD和ACD中，ABDACD（SAS）點評： 此題考查了作圖應用于設(shè)計作圖，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解

35、本題的關(guān)鍵12（2015哈爾濱）圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON，使點N在格點上，且MON=90°；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖分析： （1）過點O向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N，連接MN即可；（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可解答： 解：（1）

36、如圖1所示；（2）如圖2、3所示；點評： 本題考查的是作圖應用與設(shè)計作圖，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵13（2015青島）【問題提出】用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？【問題探究】不妨假設(shè)能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關(guān)系，我們可以先從特殊入手，通過試驗、觀察、類比、最后歸納、猜測得出結(jié)論【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？此時，顯然能搭成一種等腰三角形所以，當n=3時，m=1（2）用4根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三

37、角形所以，當n=4時，m=0（3）用5根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形所以，當n=5時，m=1（4）用6根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形所以，當n=6時，m=1綜上所述，可得：表n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并將結(jié)果填在

38、表中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（只需把結(jié)果填在表中）表n 7 8 9 10m 2 1 2 2你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究，【問題解決】：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（設(shè)n分別等于4k1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整數(shù)，把結(jié)果填在表中）表n 4k1 4k 4k+1 4k+2m k k1 k k【問題應用】：用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（寫出解答過程），其中面積最大的等腰三角形每腰用了672根木棒（只

39、填結(jié)果）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定與性質(zhì)專題： 分類討論分析： 探究二：仿照探究一的方法進行分析即可；問題解決：根據(jù)探究一、二的結(jié)果總結(jié)規(guī)律填表即可；問題應用：根據(jù)規(guī)律進行計算求出m的值解答： 解：（1）用7根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？此時，能搭成二種等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，則能搭成一種等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形當n=7時，m=2（2）用8根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，則不能搭成一種等腰三角形，分成3根木棒、3

40、根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=8時，m=1用9根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，則能搭成一種等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形所以，當n=9時，m=2用10根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，則能搭成一種等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形所以，當n=10時，m=2故答案為：2；1；2；2問題解決：由規(guī)律可知，答案為：k；k1；k；k問題應用：2016÷4=504，5041=503，當三角形

41、是等邊三角形時，面積最大，2016÷3=672，用2016根相同的木棒搭一個三角形，能搭成503種不同的等腰三角形，其中面積最大的等腰三角形每腰用672根木棒點評： 本題考查的是作圖應用與設(shè)計作圖、三角形三邊關(guān)系，首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和等腰三角形的性質(zhì)進行解答14（2015廣安）手工課上，老師要求同學們將邊長為4cm的正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形，聰明的你請在下列四個正方形中畫出不同的剪裁線，并直接寫出每種不同分割后得到的最小等腰直角三角形面積（注：不同的分法，面積可以相等）考點：

42、 作圖應用與設(shè)計作圖分析： （1）正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，連接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可（2）正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，O是AC、BD的交點，連接OE、OF，即可把正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可（3）正方形ABCD中，F(xiàn)、H分別是BC、DA的中點，O是AC、BD的交點，連接HF，即可把正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面

43、積公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可（4）正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，O是AC的中點，I是AO的中點，連接OE、OB、OF，即可把正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可解答： 解：根據(jù)分析，可得（1）第一種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是AEH、BEF、CFG、DHG，每個最小的等腰直角三角形的面積是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）（2）第二種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是AEO、BEO、BFO

44、、CFO，每個最小的等腰直角三角形的面積是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）（3）第三種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是AHO、DHO、BFO、CFO，每個最小的等腰直角三角形的面積是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）（4）第四種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是AEI、OEI，每個最小的等腰直角三角形的面積是：（4÷2）×（4÷2）÷2÷2=2×2÷2

45、÷2=1（cm2）點評： （1）此題主要考查了作圖應用與設(shè)計作圖問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合正方形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖（2）此題還考查了三角形的面積的求法，要熟練掌握15（2014南昌）已知梯形ABCD，請使用無刻度直尺畫圖（1）在圖1中畫出一個與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；（2）圖2中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形考點： 作圖應用與設(shè)計作圖專題： 作圖題分析： （1）求出三角形CD邊上的高作圖，（2）找出BE及它的高相乘得20，以AB為一邊作平行四邊形.解答： 解：設(shè)小正方形的邊長為1，則S梯形ABCD=（AD+BC）

46、5;4=×10×4=20，（1）CD=4，三角形的高=20×2÷4=5，如圖1，CDE就是所作的三角形，（2）如圖2，BE=5，BE邊上的高為4，平行四邊形ABEF的面積是5×4=20，平行四邊形ABEF就是所作的平行四邊形點評： 本題主要考查了作圖的設(shè)計和應用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)面積相等求出高畫圖16（2014溫州）如圖，在所給方格紙中，每個小正方形邊長都是1，標號為，的三個三角形均為格點三角形（頂點在方格頂點處），請按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個三角形，使它們與標號為，的三個三角形分別對應全等（1）圖甲中的格點正方形ABCD；（

47、2）圖乙中的格點平行四邊形ABCD注：分割線畫成實線考點： 作圖應用與設(shè)計作圖專題： 作圖題分析： （1）利用三角形的形狀以及各邊長進而拼出正方形即可；（2）利用三角形的形狀以及各邊長進而拼出平行四邊形即可解答： 解：（1）如圖甲所示：（2）如圖乙所示：點評： 此題主要考查了應用設(shè)計與作圖，利用網(wǎng)格結(jié)合三角形各邊長得出符合題意的圖形是解題關(guān)鍵17（2014漳州）如圖，ABC中，AB=AC，A=36°，稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形請完成以下操作：（畫圖不要求使用圓規(guī)，以下問題所指的等腰三角形個數(shù)均不包括ABC）（1）在圖1中畫1條線段，使圖中有2個等腰三角形，并直接寫出這2個等

48、腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度；（2）在圖2中畫2條線段，使圖中有4個等腰三角形；（3）繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在ABC中畫n條線段，則圖中有2n個等腰三角形，其中有n個黃金等腰三角形考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；黃金分割專題： 作圖題；探究型分析： （1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及A的度數(shù)，進而得出這2個等腰三角形的頂角度數(shù)；（2）利用（1）種思路進而得出符合題意的圖形；（3）利用當1條直線可得到2個等腰三角形；當2條直線可得到4個等腰三角形；當3條直線可得到6個等腰三角形，進而得出規(guī)律求出答案解答： 解：（1）如圖1所示：AB=AC，A=36°，當AE=BE，則A=ABE=36

49、°，則AEB=108°，則EBC=36°，這2個等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度；故答案為：108，36；（2）如圖2所示：（3）如圖3所示：當1條直線可得到2個等腰三角形；當2條直線可得到4個等腰三角形；當3條直線可得到6個等腰三角形；在ABC中畫n條線段，則圖中有2n個等腰三角形，其中有n個黃金等腰三角形故答案為：2n，n點評： 此題主要考查了應用作圖與設(shè)計以及等腰三角形的性質(zhì)，得出分割圖形的規(guī)律是解題關(guān)鍵18（2014杭州）把一條12個單位長度的線段分成三條線段，其中一條線段成為4個單位長度，另兩條線段長都是單位長度的整數(shù)倍（1）不同分段得到的三條

50、線段能組成多少個不全等的三角形？用直尺和圓規(guī)作這些三角形（用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求出（1）中所作三角形外接圓的周長考點： 作圖應用與設(shè)計作圖專題： 作圖題分析： （1）利用三角形三邊關(guān)系進而得出符合題意的圖形即可；（2）利用三角形外接圓作法，首先作出任意兩邊的垂直平分線，即可得出圓心位置，進而得出其外接圓解答： 解：（1）由題意得：三角形的三邊長分別為：4，4，4；3，4，5；即不同分段得到的三條線段能組成2個不全等的三角形，如圖所示：（2）如圖所示：當三邊的單位長度分別為3，4，5，可知三角形為直角三角形，此時外接圓的半徑為2.5；當三邊的單位長度分別為4，4，4

51、三角形為等邊三角形，此時外接圓的半徑為，當三條線段分別為3，4，5時其外接圓周長為：2×2.5=5； 當三條線段分別為4，4，4時其外接圓周長為：2×=點評： 此題主要考查了三角形外接圓的作法和三角形三邊關(guān)系等知識，得出符合題意的三角形是解題關(guān)鍵19（2014無錫）（1）如圖1，RtABC中，B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E求證：=（這個比值叫做AE與AB的黃金比）（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形請你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，

52、作一個黃金三角形ABC（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點用字母進行標注）考點： 作圖應用與設(shè)計作圖；黃金分割專題： 作圖題分析： （1）利用位置數(shù)表示出AB，AC，BC的長，進而得出AE的長，進而得出答案；（2）根據(jù)底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，畫圖即可解答： （1）證明：RtABC中，B=90°，AB=2BC，設(shè)AB=2x，BC=x，則AC=x，AD=AE=（1）x，=（2）解：底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，如圖：過點B作EBAB，作AB的垂直平分線交AB于點D，使BE=BD，連接AE，以E為圓心，BE長為半徑畫弧，使EF=BE，

53、以B為圓心AF長為半徑畫弧，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交點為C，則ABC即為所求點評： 此題主要考查了黃金三角形的作法以及黃金三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出底邊作法是解題關(guān)鍵20（2014青島）數(shù)學問題：計算+（其中m，n都是正整數(shù)，且m2，n1）探究問題：為解決上面的數(shù)學問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究探究一：計算+第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，；第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為+，最后空白部分的面積是根據(jù)第n次分割圖可得等式：+=1探究二：計算+第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中