相似三角形的存在性問題解題策略(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略（2）相似三角形的存在性問題解題策略挑戰(zhàn)壓軸題·中考數(shù)學(xué)的作者 上海 馬學(xué)斌專題攻略相似三角形的判定定理有3個(gè)，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相似的動(dòng)態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn)，如例題1、2、3、4應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等，如例題6應(yīng)用判定定理3解題不多見，如例題5，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）例題解析例 如圖1-1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)

2、（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C動(dòng)直線EF（EF/x軸）從點(diǎn)C開始，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸負(fù)方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個(gè)單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)是否存在t，使得BPF與ABC相似若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由圖1-1【解析】BPF與ABC有公共角B，那么我們梳理兩個(gè)三角形中夾B的兩條邊ABC是確定的由，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)于是得到BA4，BC還可得到BPF中，BP2t，那么BF的長用含t的式子表示出來，問題就解決了在RtEFC中，CEt，EF2t，所以因此于是根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，分兩種情

3、況列方程：當(dāng)時(shí)，解得（如圖1-2）當(dāng)時(shí)，解得（如圖1-3） 圖1-2 圖1-3例 如圖2-1，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為M的拋物線yax2bx（a0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AOBO2，AOB120°（1）求這條拋物線的解析式；（2）連結(jié)OM，求AOM的大??；（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo) 圖2-1 【解析】ABC與AOM中相等的一組角在哪里呢？本題由簡到難，層層深入第（1）題求出拋物線的解析式，得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，為第（2）題求AOM的大小作鋪墊；求得了AOM的大小，第（3）題暗示了要在ABC中尋找與AOM相等的角（1）如圖2-2，過點(diǎn)A作AHy軸，

4、垂足為H容易得到A再由A、B(2,0)兩點(diǎn)，可求得拋物線的解析式為（2）由，得頂點(diǎn)M 所以所以BOM30°所以AOM150°圖2-2（3）由A、B(2,0)，可得ABO30°因此當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，ABCAOM150°所以ABC與AOM相似，存在兩種情況：當(dāng)時(shí)，此時(shí)C(4,0)（如圖2-3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)C(8,0)（如圖2-4） 圖2-3 圖2-4例 如圖3-1，拋物線yax2bx3與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為C（1）求此拋物線的解析式；（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，過M作MNx軸于點(diǎn)N，使以A、M、N為頂

5、點(diǎn)的三角形與BCD相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖3-1【解析】AMN是直角三角形，因此必須先證明BCD是直角三角形一般情況下，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況列方程（1）拋物線的解析式為yx24x3（2）由yx24x3(x2)21，得D(0,3)，C(2, 1)如圖3-2，由B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1)，可知CBO45°，DBO45°所以CBD90°，且圖3-2 圖3-3 圖3-4設(shè)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為x，那么NMyM，而NA的長要分N在A的右邊或左邊兩種情況，因此列方程要“兩次分類”：當(dāng)N在A右側(cè)時(shí)，NAx1，分兩種情況列方程：

6、當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)M（如圖3-3）當(dāng)時(shí)，解得x6此時(shí)M(6,15)（如圖3-5）當(dāng)N在A左側(cè)時(shí)，NA1x，也要分兩種情況列方程：當(dāng)時(shí)，解得1，不符合題意（如圖3-4）當(dāng)時(shí)，解得x0，此時(shí)M(0,3)（如圖3-6）圖3-5 圖3-6例 如圖4-1，在平面直角坐標(biāo)系中，A(8,0)，B(0,6)，點(diǎn)C在x軸上，BC平分OBA點(diǎn)P在直線AB上，直線CP與y軸交于點(diǎn)F，如果ACP與BPF相似，求直線CP的解析式圖4-1【解析】首先求得點(diǎn)C(3,0)ACP與BPF中，相等的角在哪里?。咳鐖D4-2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，ACP與BPF中，APC與BPF是鄰補(bǔ)角，如果這兩個(gè)鄰補(bǔ)角一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角，兩個(gè)三角

7、形怎么可能相似呢？因此CP與AB是垂直的可以求得F(0,4)，于是直線CF(CP)為如圖4-3，當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上時(shí)，ACP與BPF有公共角P于是OFCPFBA，可以求得F(0, 4)，因此直線CF(CP)為如圖4-4，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上時(shí)，B與PCA不可能相等在AOB中，根據(jù)大邊對大角，BBAO；BAO又是PCA的一個(gè)外角，BAOPCA圖4-2 圖4-3 圖4-4例 如圖5-1，二次函數(shù)yx23x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,a)，線段AD平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)D在y軸上取一點(diǎn)C(0, 2)，直線AC交拋物線于點(diǎn)B，連結(jié)OA、OB、OD、BD求坐標(biāo)平面內(nèi)使EODAOB的點(diǎn)E的坐標(biāo)；圖5-1【

8、解法一】點(diǎn)A、D、B都是確定的，可以求得A(1, 4)，D(4, 4)，B(2,2)所以，EODAOB，對應(yīng)邊已經(jīng)確定，因此我們可以根據(jù)判定定理3列方程由，得所以，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x, y)，根據(jù)EO268，DE2180，列方程組解得 所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(8,2)或(2, 8)上面的解題過程是“盲解”，我們并不明白兩個(gè)三角形的位置關(guān)系【解法二】如圖5-2，AOB是確定的，AOB與EOD有公共點(diǎn)O，OBOD12，BOD90°如果EODAOB，我們可以把AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在OD上，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為90°，點(diǎn)B恰好落在OD的中點(diǎn)按照這個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)則，點(diǎn)A(1, 4) 繞著

9、點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)A(4,1)，點(diǎn)A是線段OE的中點(diǎn)，因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為(8,2)如圖5-3，點(diǎn)E(8,2)關(guān)于直線OD（即直線yx）對稱的點(diǎn)為E(2,8)圖5-2 圖5-3例 如圖6-1，在ABC中，ABAC4，BC8A的半徑為2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)延長BA交A于點(diǎn)D，連結(jié)AP交A于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長交BC于點(diǎn)F設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)ABP與FBD相似時(shí)，求t的值圖6-1【解析】ABC是等腰直角三角形，A是確定的，先按照題意把圖形補(bǔ)充完整如圖6-2，容易發(fā)現(xiàn)ABP與FBD有公共角B，如果根據(jù)對應(yīng)邊成比例列方程或，其中BA4，BPt，BD42，但是用含t的式子表示BF困難重重啊！圖6-2 圖6-3 圖6-4我們另起爐灶，按照判定定理1來解決ABP與FBD有公共角B，我們以D為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論它們相似：第一種情況，如圖6-3，BAPD是不可能的，這是因?yàn)锽AP是等腰三角形ADE的外角，BAP2D第二種情況，如圖6-4，當(dāng)BPAD時(shí)，在ABP中，由于BAP2D2BPA，因此45°3BPA180°解得BPA45°此時(shí)ABP是等腰直角三角形，P與C重合，所以t8解答這道題目，如果選取點(diǎn)P的