時(shí)域有限差分法FDTD算法的基本原理及仿真

1、時(shí)域有限差分法(FDTD 算法)時(shí)域有限差分法是1966年K.S.Yee發(fā)表在AP上的一篇論文建立起來的， 后 被稱為Yee網(wǎng)格空間離散方式。這種方法通過將Maxwell旋度方程轉(zhuǎn)化為有限差 分式而直接在時(shí)域求解，通過建立時(shí)間離散的遞進(jìn)序歹0,在相互交織的網(wǎng)格空 間中交替計(jì)算電場(chǎng)和磁場(chǎng)。FDTD算法的基本思想是把帶時(shí)間變量的Maxwell旋度方程轉(zhuǎn)化為差分形 式，模擬出電子脈沖和理想導(dǎo)體作用的時(shí)域響應(yīng)。需要考慮的三點(diǎn)是差分格式、 解的穩(wěn)定性、吸收邊界條件。有限差分通常采用的步驟是：采用一定的網(wǎng)格劃分 方式離散化場(chǎng)域；對(duì)場(chǎng)內(nèi)的偏微分方程及各種邊界條件進(jìn)行差分離散化處理，建立差分格式，得到差分方程

2、組；結(jié)合選定的代數(shù)方程組的解法，編制程序，求邊 值問題的數(shù)值解。1. FDTDFDTD的基本原理FDTD方法由Maxwell旋度方程的微分形式出發(fā)，利用二階精度的中心差分 近似，直接將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為差分運(yùn)算，這樣達(dá)到了在一定體積內(nèi)和一段時(shí)間上 對(duì)連續(xù)電磁場(chǎng)數(shù)據(jù)的抽樣壓縮。Maxwell方程的旋度方程組為：H m 1t(1)式可化為如下六個(gè)標(biāo)量方程：；HzHy：Ex:V；:tHx：Hz _:Ey:zt:x；：tHy-Hxx=：Ez:x；：t-Ex； EzOEy.:Ez：Ey, ；:HX_- - = - mHx一y ：z:tM 一玉一土一。Hm y:z : x :t：Ey ：Ex I：H- -=r

3、*-(2)-：tz二mHz上面的六個(gè)偏微分方程是FDTDYee首先在空間上建立矩形差分網(wǎng)格，在時(shí)刻F(x,y,z,t) = F(i x, j y,k z,n t) = Fn(i,j,k)用中心差分取二階精度：對(duì)空間離散：算法的基礎(chǔ)。Mt時(shí)刻，F(xiàn)(x,y,z)可以寫成(3)-：F(x,y,z,t):x：F(x,y,z,t):yy n.yFn(i,j 1 2,k) - Fn(i,j -1 2,k) . o，-.：y2, fE L H =七ft在直角坐標(biāo)系中，(DF(x,y,z,t) zL Fn(i,j,k 12)-Fn(i,j,k -12)Oz2zFn12(i，j，k)-Fn2(i，j，k)O廣t

4、Yee把空間任一網(wǎng)格上的E和H的六個(gè)分量，如下圖放置圖1 Yee氏網(wǎng)格及其電磁場(chǎng)分量分布在FDTD中，空間上連續(xù)分布的電磁場(chǎng)物理量離散的空間排布如圖所示。由圖可見，電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在空間交義放置，各分量的空間相對(duì)位置也適合丁Maxwell方程的差分計(jì)算，能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鲭姶艌?chǎng)的傳播特性。同時(shí)，電場(chǎng)和磁 場(chǎng)在時(shí)間上交替抽樣，抽樣時(shí)間間隔相差半個(gè)時(shí)間步，使Maxwell旋度方程離散 以后構(gòu)成顯式差分方程，從而可以在時(shí)間上迭代求解，而不需要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn) 算。因此，由給定相應(yīng)電磁問題的初始條件，F(xiàn)DTD就可以逐步推進(jìn)地求得以后 各個(gè)時(shí)刻空間電磁場(chǎng)的分布。根據(jù)這一原則可以寫出六個(gè)差分方程：1；（i 1/2

5、，j，k）tE京幻1 .。 右，J，w i2（i 1/2，j，k）At_ 1（5）不1/2，j，k）.1 .i（my2 （i 1/2, j，k）H/2（i+1/2，j，k）-H/2（i+1/2，j -1/2，k）Hy*/2（i+1/2j，k-1/2）-H廠/2（i + 1/2，j，k + 1/2）yz其余的也如法可以寫出，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的個(gè)場(chǎng)分兩的新值依賴丁該點(diǎn)在前一 時(shí)間步長時(shí)刻的值機(jī)該點(diǎn)周圍的臨近點(diǎn)上另一場(chǎng)量在早半個(gè)時(shí)間步長時(shí)的值。因此任一時(shí)刻可一次算出一個(gè)點(diǎn)，并行算法可計(jì)算出多個(gè)點(diǎn)。通過這些運(yùn)算可以交 替算出電場(chǎng)磁場(chǎng)在各個(gè)時(shí)間步的值。根據(jù)上述FDTD差分方程組可得出計(jì)算電磁場(chǎng)的時(shí)域推進(jìn)計(jì)算

6、方法，如圖2已知& f =以0時(shí)刻空間各處的電磁場(chǎng)初始對(duì)時(shí)間離散:cF(x, y,z,t)(4)所示。2.數(shù)值穩(wěn)定性條件時(shí)間步長At,空間步長Ax ,留,Az必須滿足一定的關(guān)系，否則就使得數(shù)值表現(xiàn)不穩(wěn)定，表現(xiàn)為：隨著計(jì)算步數(shù)的增加，計(jì)算場(chǎng)量的數(shù)值會(huì)無限的增大，這種增大不是由丁誤差積累造成的，而是由丁電磁波的傳播關(guān)系被破壞造成的。所以At, Ax , Ay , Az必須滿足一定的關(guān)系以保證穩(wěn)定性。Taflove等在1975年對(duì)Yee氏差分格式的穩(wěn)定性進(jìn)行了討論，并導(dǎo)出了對(duì)時(shí)間步長的限制條件。數(shù) 值解是否穩(wěn)定主要取決丁時(shí)間步長At與空間步長Ax、Ay、Az的關(guān)系。對(duì)丁非均勻媒質(zhì)構(gòu)成的計(jì)算空

7、間選用如下的穩(wěn)定性條件:s石木用均勻立方體網(wǎng)格：Ax = Ay = Az = As ,M v3x而一般取：At = C為光速。2c3.數(shù)值色散FDTD網(wǎng)格中，會(huì)導(dǎo)致數(shù)字波模在網(wǎng)格中發(fā)生改變，這種改變是由丁計(jì)算網(wǎng) 格本身引起的，而非物理因素，所以必須考慮。即在FDTD網(wǎng)格中，電磁波的 相速與頻率有關(guān)，電磁波的相速度隨波長、傳播方向及變量離散化的情況不同而 改變。色散將導(dǎo)致非物理因素引起的脈沖波形畸變、人為的各向異性和虛假折射 等現(xiàn)象。顯然，色散與空間、時(shí)間的離散間隔有關(guān)，如下式所示：圖2 FDTD在時(shí)域的交叉半步逐步推進(jìn)計(jì)算.-:t 1v/1 * 3x)2(1y)2(1z)2(6)(7)當(dāng)Ax

8、, Ay , Az不相等時(shí)，At =min（Ax，釵盆）2c(8)(9)sin2心2與數(shù)值色散關(guān)系相對(duì)應(yīng)，在無耗介質(zhì)中的單色平面波，色散解析關(guān)系是:仙/c )2 = k：+ k，k2由式(9)可知，當(dāng)式(9)中的At、AX、Ay、AZ均趨丁零時(shí)，它就趨丁式(10)。也就是說數(shù)值色散是由丁用近似差分替代連續(xù)微分而引起的，而且在理論上可以減小到任意程度，只要此時(shí)時(shí)間步長和空間步長都足夠小。為獲得理 想的色散關(guān)系，問題空間分割應(yīng)按照小丁正常網(wǎng)格的原則進(jìn)行。一般選取的最大空間步長為Amax = yin/20 ,f 為所研究范圍內(nèi)電磁波的最小波長。由上分析說明，數(shù)值色散在用FDTD法分析電磁場(chǎng)傳播中的影

9、響是不可能避免的，但我 們可以盡可能的減小數(shù)值色散的影響?，F(xiàn)在適當(dāng)選取時(shí)間和空間步長，傳播方向，可以得到理想情況，如下所示：3-D方形網(wǎng)格：(數(shù)值穩(wěn)定的極限狀態(tài)，可得理想色散關(guān)系)取波沿對(duì)角線傳播kx= ky= kz= k/J3 , Ax = Ay = & = 8qt=臭欄(11)_._ L 8 g.2-D萬形網(wǎng)格：也是沿對(duì)角線傳播kx = ky =kz = k/J2 , At = -(12)1-D網(wǎng)格:4.吸收邊界條件在電磁場(chǎng)的輻射和散射問題中，邊界總是開放的，電磁場(chǎng)占據(jù)無限大空間， 而計(jì)算機(jī)內(nèi)存是有限的，所以只能模擬有限空間。即：時(shí)域有限差分網(wǎng)格將在某 處被截?cái)?。這要求在網(wǎng)格截?cái)嗵?/p>

10、不能引起波的明顯反射，因而對(duì)向外傳播的波而言，就像在無限大的空間傳播一樣，一種行之有效的方法是在截?cái)嗵幵O(shè)置一種吸 收邊界條件。使傳播到截?cái)喑龅牟ū贿吔缥斩划a(chǎn)生反射。下面只給出Engquist-Majda吸收邊界條件，采用Mur差分格式，其總體虛 假反射在1%5%之間。一維一階近似情形，x=0邊界：u(0)=un+件當(dāng)u(1)-u(0) (14) c t x二維二階近似情形，x=0邊界：Wn1(0, j) = -W(1, j)王牛Wn1(1, j) (0, j)c t ：x2+2 xWn(0, j) +Wn(1, j) +(ct)x.(15)ct己x2(己y) (ct己x)Wn(0 j 1) 2Wn(0 j) Wn(0 j -1) Wn(1 j 1) 2Wn(1 j) Wn(1 j T),三維二階近似情形，x=0邊界：TVsin一=7T7Sin - TTsm(10)(13)Wn1(0,j,k) = W % j,k) W01(1, j,k)一時(shí)(0, j, k) c ：t以2 -+Wn(0,j,kWn(1,j,k) .( 16)c t：=x2( y) (c t：x)Wn(0,j 1,k2Wn(0,j,k) Wn(0,j -1,k) W(1,j 1,k)-2Wn(1, j,k) Wn(1, j -1,k) Wn(0,j,k 1)-2Wn(0,j,k)