最小二乘復(fù)頻域法PolyMax

1、式中：N一多項(xiàng)式階次最小二乘復(fù)頻域法(PolyMax)LM安司推出的PolyMax模態(tài)識(shí)別方法，屆丁多自由度時(shí)域識(shí)別法，也稱作多 參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法(Polyreference least squares complex frequency domainmethod),是最小二乘復(fù)頻域法(LSCF)的多輸入形式，是一種對(duì)極點(diǎn)和 模態(tài)參預(yù)因子進(jìn)行整體估計(jì)的多自由度法， 一般首先通過實(shí)驗(yàn)建立穩(wěn)態(tài)圖， 以判 定真實(shí)的模態(tài)頻率、阻尼和參預(yù)因子； 建立可以線性化的直交矩陣分式模型，然后基丁正則方程縮減最小二乘問題，得到壓縮正則方程，丁是模態(tài)參數(shù)可以通過 求解最小二乘問題得到。該方法集合了多參考點(diǎn)法和

2、LSC成法的優(yōu)點(diǎn)，可以得出非?；钗姆€(wěn)態(tài)圖，并且密集空間可以被分離出來，尤其在模態(tài)較密集的系統(tǒng)(動(dòng) 力總成系統(tǒng))，或者FR嗷據(jù)受到嚴(yán)重噪聲污染的情況下仍可以建立活晰的穩(wěn)態(tài) 圖，識(shí)別出高度密集的模態(tài)，對(duì)每一個(gè)模態(tài)的頻率、阻尼和振型都有很好的識(shí)別 精度，是國(guó)際最新發(fā)展并流行的基丁傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法。其基本思想如下：(1)建立頻率響應(yīng)函數(shù)模型多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域識(shí)別技術(shù)(PRLSC或PolyMAX要以頻響函數(shù)矩陣 作為識(shí)別的初始數(shù)據(jù)，其數(shù)學(xué)模型采用右矩陣分式模型來描述。在頻域中，系統(tǒng) 輸出o( o=1,2，No ,其中No為輸出點(diǎn)數(shù))和全部輸入的關(guān)系可用右矩陣分 式模型(RMFD來描述，右矩陣

3、分式模型的表達(dá)式為H。)=U)D0尸(1)式中：Ho(。廣ClxNi理論頻響函數(shù)的第。行，M是輸入點(diǎn)數(shù)，即激勵(lì)數(shù)；Uo伽卜clxNi一分子多項(xiàng)式行向量；Do幻爐CNi時(shí)一分母多項(xiàng)式矩陣。且U0井日D(。)可以表示成如下形式：NU )= (ZrS ) Bor )(o=1,2No)(2)r =0ND0 )=，(Zr何)A )(3)r =0其中分母系數(shù)矩陣AwRNi州和分子系數(shù)行向量BowR熟是待估計(jì)的參數(shù)。所 有這些系數(shù)合并為一個(gè)矩陣。(6)1 N式中：%= 縮放因子，用來提高方程的數(shù)值狀況。2ii.對(duì)丁離散時(shí)域模型，可取為Zr（o）=e（rs）式中：Ts一采樣周期。通常采用離散時(shí)域模型。（2）參

4、數(shù)的線性化通過試驗(yàn)測(cè)量出的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣 目SfcNoNi，用目。（幻kc1XNi表 示實(shí)測(cè)頻響矩陣的第0行，（0=1,2，NO, f =1,2，Nf）那么關(guān)丁參數(shù)矩陣9的 非線性最小二乘（NLS目標(biāo)函數(shù)可表示為N0Nf。次）=點(diǎn)tr妃f,網(wǎng)SNf,8）（8）u=打.；其中Eo=戶1YR5,BON式（2）和式（3）中出現(xiàn)的多項(xiàng)式基函數(shù)i .對(duì)丁連續(xù)時(shí)域模型，可取為aTT（4）A、EO=AI：RNWW，（5）AN0 4 f蘭式中：，H一矩陣的復(fù)共扼轉(zhuǎn)置；tr(,)一矩陣的跡，即矩陣的主對(duì)角元素之和通過對(duì)式(8)求極小值，便可以得到頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣的右分式矩陣模型各系 數(shù)的估計(jì)值，即8矩陣的估計(jì)

5、值。式(8)中的加權(quán)非線性最小二乘誤差函數(shù)被定義：/LS仙f )=W)(S Hof,8 )點(diǎn)。(幻)=雙知jUoSf,Po )D”3f,a)-氏3f )(9)上式中W。(幻)是一個(gè)加權(quán)函數(shù)。一般地，為了提高估計(jì)的質(zhì)量，我們采用式中：vaMJ一方差，可用相關(guān)函數(shù)求取。也可使用公式f來做加權(quán)函數(shù)的。這兩種加權(quán)函數(shù)都考慮了測(cè)量頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的好壞：測(cè)得頻響 的方差越小，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)越大。非線性誤差函數(shù)可以經(jīng)過一個(gè)近似的處理為一個(gè)線性的問題。實(shí)際上，通過 對(duì)端NLS(C0f,8)右乘D(C0f,a),則可以得到一個(gè)關(guān)丁參數(shù)為線性的方程，此加權(quán) 線性最小一乘(LS)方程誤差*S(cof, e)為/f廣

6、-；0JLSn廣 f,：= Wo(Of XUo3f,P。)D(斜,a)Ho(Of ) D仲f ,8 )(12)N.=Wof Zf Bor -Z f Ho ， Ar=0這樣式(12)關(guān)丁參數(shù)為線性，將所有頻率點(diǎn)裝配成一列，f =1,2，Nf,它可用矩陣形式來表示 L%谷LSW e LSo1,)JPJ*SB)昌：=【XoYjo=Joo(13)ILS/ laJ 9 JNf尸其中:Wof =(10)varlH。f- -Wo（0 ）-Zo01）,Z1（切1），ZN（切1）W(%f )*(切式中， Kronecker積。(3)縮減標(biāo)準(zhǔn)方程S。=Re XoHYoi-RN 1 Ni N 1T。=Re YoHY

7、。RNiN1NiN1為使LS(8)值最小，將LS(B)對(duì)系數(shù)矩陣切H） =2心o+E=。（o= UNo） （19）XoWo（G0Nf） Zo（向山）,Z（句Nf），%（皿NfNf -Wo（皿1）Zo（0 ）, Z1佃1），,ZN（m） Ho何1）CNf NiN1（15）Nf,Z1 Nf/,ZN ，NfJ、：Ho Nf式中:加權(quán)線性最小二乘估計(jì)表達(dá)式為NoLS口tr；So 4Nof=Ltr omHIS ；。U:TRo-T_S：SgoToJ（16）尺=Re XoHXoRN 1 N 1同時(shí), 目標(biāo)函數(shù)(16)等價(jià)丁LsEi=truTRe JHJ（17）式中,J是Jacobian矩陣,X10被如下定義

8、0X2丫1丫2C&NfN 1 NoNi（18）XNYNoPo和a求導(dǎo)，并令其為零(*氏心。+m=0（20）由式(19)得到Eo = RSoa，把它代入式(20)得No2稿(T。一gRoSO )宸=M & = 0(21)一其中，M =2版(ToSWS)。X一由式(19)和(20)得到標(biāo)準(zhǔn)方程，經(jīng)過整理，此標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式為R000&099+2 I -|0。RNO.STsNo式(21)即為“縮減”標(biāo)準(zhǔn)方程，其中矩陣M維數(shù)為NN +1 NJN +1 ),比標(biāo)準(zhǔn)方程式(22)中的Re(JHJ)的維數(shù)(No+ N XN+1)x(No+ N XN+1)要小 的多。(4)求解縮減標(biāo)準(zhǔn)

9、方程通過求解“縮減”標(biāo)準(zhǔn)方程，便可得到分母系數(shù)矩陣a。根據(jù)線性方程組的 求解理論，先對(duì)系數(shù)矩陣a施加一個(gè)約束。假如，設(shè)定系數(shù)矩陣a中的一個(gè)系數(shù) 矩陣塊等丁正則常數(shù)矩陣(例如設(shè)系數(shù)矩陣的最后一個(gè)矩陣塊a(N+1)=lNi),在這種前提下，縮減標(biāo)準(zhǔn)方程變?yōu)锳 X = B(23)其中A = M 1: NiN,1: NiNB =M 1: NiN NiN 1: NiN 1系數(shù)矩陣的最小二乘估計(jì)為WLS= !X1 X =AB(24)1Ni一旦求得了必LS ,那么通過吧=-So儀就可得到所有的分子系數(shù)凡S,o這種方法 考慮了標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特性，比直接求解方程(22)要快得多。確定了分母系數(shù) 1rS2E?2-

10、、=2Re(JHJ )舊=0o(22)SNNo=-L|n(|AJ )T.iTs(30)矩陣0（后，通過求解0（的伴隨矩陣的特征值和特征向量，這樣就可以得到了系統(tǒng) 的極點(diǎn)和相應(yīng)的模態(tài)參與因子。方程如下-0I 00 10000Si+ .9V = VA(25)000IL-A0-ATAN_2 AN-上式中，V,AWCNN瀏。N，矩陣V的最后Ni行就是模態(tài)參與因子；對(duì)角陣A的角 元記錄為i （i =1,2，NN）由不穩(wěn)定的數(shù)學(xué)極點(diǎn)和穩(wěn)定的物理結(jié)構(gòu)點(diǎn)兩部分組成 。記穩(wěn)定 的物理結(jié)構(gòu)極點(diǎn)為Ar=e-s,通過對(duì)這些物理結(jié)構(gòu)極進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便可得出結(jié)構(gòu) 的固有頻率和模態(tài)阻尼比L;關(guān)系式如下*.*2妃Ar=crri斜

11、 或%,% =一-斜|寸一-斜（26）（5）計(jì)算頻率點(diǎn)和阻尼比點(diǎn)根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)基本理論中對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的描述：系統(tǒng)的全部極點(diǎn)落丁s域左半平面（不包括虛軸），且滿足有界輸入有界輸出原則，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。復(fù)特 征矩陣A中的復(fù)特征值總是以共鑰對(duì)的形式出現(xiàn)，同時(shí)也包含實(shí)數(shù)（虛軸上）， 在求解頻率點(diǎn)叫和阻尼比點(diǎn)4時(shí)，對(duì)丁每個(gè)共鑰對(duì)只取其中一個(gè)進(jìn)行分析，且 不考慮實(shí)數(shù)。復(fù)特征矩陣A中的對(duì)角元A=/爪，由式（26） , Ai用Re（Ai）+i lm（Ai）描述，則 Re(4 )+i Im(與)=e3也)s=eEse志Ts=eTscos(cTs)i sin (cTs)(27)Re * i Imi =e-iTsarctankdTslRe(4 Vi s所以-1(Im(A ). _團(tuán)=arctan - (31)TslRe(A)J(28)由此可求得頻率哼和阻尼比4在求得的頻率和阻尼比。包含有結(jié)構(gòu)的固有頻率 斜和模態(tài)阻尼比1,因此, 必須對(duì)所有求得的o,和匕進(jìn)行有效的分析和選取，以確定系統(tǒng)真實(shí)的固有頻率 和阻尼比。建立穩(wěn)態(tài)圖就是一種行之有效的方法。(6)建立穩(wěn)態(tài)圖在模態(tài)分析中， 穩(wěn)態(tài)圖是幫助實(shí)驗(yàn)者分離結(jié)構(gòu)物理極點(diǎn)和數(shù)學(xué)極點(diǎn)的一個(gè)有 力工具，如圖1所示。通過逐漸增大多項(xiàng)式的階次N,且進(jìn)行相應(yīng)的重復(fù)性分 析計(jì)算可以建立起