2018高考——空間向量與立體幾何理科

1、第14講空間向量與立體幾何知識要點.空間向量1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示 .同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不變性2 .空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如圖)。OB = OA+AB = a + b ； BA = oA-oB = a-b；運算律：加法交換律：a b = b a加法結(jié)合律：(a , b) , c = a , (b , c)數(shù)乘分配律：(a b) = a b運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3 .共線向量。(1)如果表示空間向量

2、的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b,記作a b。(2)共線向量定理：空間任意兩個向量 a、b ( b W 0 ) , a/ b存在實數(shù) 入，使a =入b。(3)三點共線：a b、C三點共線<=> AB = A AC<=>OC=xOAyOB （其中 x + y = 1）a(4)與a共線的單位向量為一百4 .共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。 說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線,p與向量a, b共面的條件是存在實數(shù)x, y使p = xa + yb。（3）

3、四點共面：若a、r c、p四點共面<=>AP= xAB+ yAC<=>OP = xOA+ yOB+ zOC(其中 x+ y+ z=1)5.空間向量基本定理：如果三個向量c不共面，那么對空間任一向量p,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z,使p = xa+yb +叫做基向量，空間任意OA = xi + yi + zk ,若三向量 ab,C不共面，我們把a,b,c叫做空間的一個基底, 三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)O,A, B,C是不共面的四點，則對空間任一點P ,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù) x, y, z,使 OP =xOA + yOB+zOC。6.空

4、間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo):在空間直角坐標(biāo)系 O - xyz中，對空間任一點 a ,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 （x, y, z）,有序?qū)崝?shù)組（x, y, z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中的坐標(biāo)，記作A(x, y,z) , x叫橫坐標(biāo),x軸的的對稱點為（x,-y,-z）,注：點A （x,y,z ）關(guān)于關(guān)于xoy平面的對稱點為（x,y,-z）. 即點關(guān)于在y軸上的點設(shè)為（0,y,0）,在平面yOz什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。中的點設(shè)為（0,y,z）（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底，用i, j, k表示

5、?？臻g中彳e一向量 a xi + yj + zk =（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標(biāo)運算律；若 a = (4,a2,a3), b = (bpbz'A)，則 a+b =(司 + U,a2 + b2,a3 + A)，a 一 b = (a - n, a2 一 b2, a3 一 b3)，& a = (&al, 九 a2, 九 a3)( W R)，T 4a b =時 + a2b2 + a3b3， 4abu a1 =九bi,a2 = 'ub2,a3 = ,心(九三 R),T 4a -L b- a1ti + a2b2 + a3b3 = 0。若 A(Xi,yi,Zi),

6、B(x2,y2,z2),貝 u 命=3yy2 y1,z2 z1)。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。定比分點公式：若 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), AP =九PB，則點p坐標(biāo)為XiX2 yi y2 ziz2(,)。推導(dǎo)：設(shè) P (x，y，z )貝Ui i i ,P(xx2(x-%y yzz) = Mx2 x,y2 y,z2 z),顯然，當(dāng) p為 ab中點時，ViV2 ,z2,)22 AABC中，A（Xi, y1,z1）, B（x2, yzzJ'C% 丫3，4），三角形重心 p坐標(biāo)為P(xix2x3 yiy2y

7、3 ziz2z3A ABC的五心:內(nèi)心P:內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點:AB AC、AP =兒（尸=i 尸=i）（單位向量）ABAC外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點:|PA =同 “PC垂心p：高的交點：PA PB = PA PC = PB PC （移項，內(nèi)積為o,則垂直）i ,一 重心P：中線的交點，三等分點（中位線比）AP （AB AC）3中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長公式：若 a=（ai，a2,a3）, b = （h,b2,t3）,(5)夾角公式： cos/a b)=:a b|a| |b|aiaibia2b2asho222 222a2a3 , bib24A ABC中ABAC0

8、<=>A為銳角 ABAC <0<=>A為鈍角，鈍角A(6)兩點間的距離公式：若 A(xi, yi, zi) , B(x2,y2, z2),T-*2-則 | AB LqAB,2；2(x2 - xi)( y2 - yi)(z2 - zi)3:72二72二22或 d A,B - (X2 _ xi)(y2 _ yi)(z2 _ zi )7.空間向量的數(shù)量積。（i）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量,b ,在空間任取一點 O ,作OA = a,OB = b ,顯然有則NAOB叫做向量a與b的夾角，記作< a,b > ；且規(guī)定0工父a,b n才 W-I n .

9、彳.一<a,b >=< b,a a；若<a,b *一，則稱a與b互相垂直，記作：a _Lb 。2（2）向量的模：設(shè) OA = a,則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：|B 八,11 I I 一 MJ "八B _ 4 4（3）向量的數(shù)量積：已知向量a,b,則|a 11 b18s < a b >叫做a,b的數(shù)量積，記作a b即 a b 二面 |b| cos a,b（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì):2 2 a e = | a | cos Ma,eA。aLbu ab=0。|a| =(5)空間向量數(shù)量積運算律：（交換律）。 八八 3 Ga) b =九(

10、a b) = a (九 b)。 a b = b，/h + i i - a (b + c) = a 'b + a c (分配律)。不滿足乘法結(jié)合率：（a b）c=a（b c）.空間向量與立體幾何1 .線線平行 u兩線的方向向量平行i-i線面平行u線的方向向量與面的法向量垂直i-2面面平行u兩面的法向量平行2 .線線垂直（共面與異面） 二 兩線的方向向量垂直2-i線面垂直二線與面的法向量平行2-2面面垂直 之 兩面的法向量垂直3 .線線夾角9 （共面與異面）0O,90Ou兩線的方向向量n1，n2的夾角或夾角的補角,cos-二cos < ni, n2 >3-1線面夾角e0O,90

11、O：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量 AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角.sing = cos< AP,n>3-2面面夾角（二面角）日0°,180°：若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量n1,n2的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角 .cos = ± cos< n1,n2 A4.點面距離h :求點P（x0,y0 ）到平面支的距離： 在平面口上取一點Q（x, y）,得向量PQ ;計算平面a的法向量n ;. hPQ nn|4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點面距離4-

12、2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點面距離'-4隨堂演練一.選擇題1 . （2017浙江）如圖p已關(guān)口正四面體D-ABC（所有校長均相等的三棱錐）,P、Q% R分別為AE% BCx CA上的點，AP=PB ,空空=2,分別記二面角DPRQC-Qt D-PQ-R； D-QR-P的平面角為小07,則（）D . P<y<aA . y<a<p2 - （ 2017清城區(qū)校級一模）已知向量展二（2m-l, 3 , m-1） , ；=（2, m-m）,且展。貝炫數(shù)m 的值等于（>3. (2017* 甘肅二模)已知工=(-3 j 2 j S") j %= ( 1 j

13、 X, -1 ) j 且"工=L 則 x 的值是 (D. 34. （2017陽山縣校級一模）已知A （2, -5, 1） , B （2, -2, 4） C （1, -4, 1）,則向量方與就 的夾角為（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. （2017成安縣校級模擬）已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為底面的邊長都為若P為底面A1B1C1的中心，貝"PA與平面ABC所成角的大小為（）6. （2017上饒縣模擬）若一條直線與一個平面成72c角，則這條直線與這個平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所 成角中最大角等于（）

14、A. 72°B. 90°C . 108°D. 180°7. （2016秋馬鞍山期末）空間四邊形ABCD中，若向量方=CD=（7,1, -4）點E, F分別為線段BC, AD的中點,則而的坐標(biāo)為（(-3, 5, 2)，A. (2, 3, 3)B. (-2, -3, -3)C. (5, -2, 1)D. (-5, 2, -1)8. （2017南開區(qū)模擬）已知長方體ABCD-AiBCDi中，AB=BC=4, CG=2,貝U直線BG和平面DBBQi所成角的正弦值為（）c.叵9. （2017婁底二模）過正方體ABCD-AiB（iDi的頂點A作平面a,使接AB ,

15、AD, AAi所在直線與平 面a所成角都相等，則這樣的平面a可以作（A.1個B. 2個C. 3個D. 4個10.（2017江西二模）三棱柱ABC-AiBiCi的削棱與底面垂直，4A1=AB=AC=1 ,二B1C, N是BC的中點，點P在AI】上，且滿足直線PX與平面ABC所成角H的正切值取最大值時人的值為（D*二填空題1 . C2017新課標(biāo)III） a, b為空間中兩條互相垂直的直線j等腰直角三角形ABC的直角邊RCP斤在直線 與a, b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60匕角時，AB與b成30。角s當(dāng)直線AB與a成60c角時，AR與b成60口角；直線AB

16、與a所成角的最小值為45，直線AB與m所成角的最小值為6。，其中正確的是 .填寫所有正確結(jié)論的編號）2 .（2017仁壽縣校級三模）已知Aj B, C三點都在體積為半的球O的表面上j若AB=4, ZACB=3 J01則球心。到平面ABC的距離為.3- （2017 晉中一模）設(shè)二面角*CD書的大小為45。A點在平面a內(nèi)，B點在CD上，且/AEC=450貝J AB與平面R所成角的大小為4,（2017湖南一模）已知邊長為2的正方形ABCD的四個頂點在球O的球面上，球。的體積為幽巨則OA與平面ABCD所成的角的余弦值為35. （2017 徐匯區(qū)校級模擬）在正三棱柱 ABC AB1cl中，各棱長都相等，

17、M是BB1的中點，則BC1與平面AC1M所成角的正弦值是.解答題1 . （2017天津）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD1平面PDC, A D / BC, PD1PB, AD=1, BC=3, CD=4, PD=2 .（I）求異面直線AP與BC所成角的余弦值j（n）求證：PDl平面PBC;（m）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.2. （2017浙江）如圖，已知四棱錐P.ABCD, /iPAD是以AD為斜邊的等艘 直角三角形，BCAD, CD1AD, PC=AD=2DC=2CB , E為PD的中點.（I）證明：CE"平面PAB;（n）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.3. （2017北京）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為 正方形，平面PAD1平面ABCD,點M在線段PB上，PD”平面 MAC, PA=PD= AB=4.（1）求證：M為PB的中點；（2）求二面角B-PDA的大小j（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.4. （2017新課標(biāo)n）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且 垂直于底面ABCD, AB=BC=!aD, ZBAD=ZABC=90°. E是PD的中點.2（1 ）證明：直線CE”平面PAB3（2）點M在棱PC上，旦直線BM與底面ABCD所成角為45。，求二面角M-A B-D的余弦值.5. （2016四