線性代數(shù)第三章

1、一、概念的引入一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 112233122331132132a a aa a aa a a 13 22 3111 23 3212 21 33a a aa a aa a a 說明說明（1）三階行列式共有）三階行列式共有6項(xiàng)，即項(xiàng)，即 項(xiàng)項(xiàng)3 ?。?）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 3

2、121 12, 322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 132101, 偶排列偶排列奇排列奇排列正正號(hào)號(hào) ,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) 123111213212223123313233( 1).pppaaaaaaaaaaaa 二、二、n階行列式的定義階行列式的定義111212122212,nnnnnnnaaaaaaaaan 階階行行列列式式是是所所有有取取自自不不同同行行不不同同列列的的個(gè)個(gè)元元素素的的乘乘積積的的代代數(shù)數(shù)和和 即即定義定義12121212()12(-1).nnnnp ppp ppppnpnp ppaaa 其其中中表表示示對(duì)對(duì)所所有有 級(jí)級(jí)排排列列求求和和，項(xiàng)項(xiàng)的的符符號(hào)號(hào)是是1

3、212121112121222()1212(-1)nnnnnp ppppnpp ppnnnnaaaaaaaaaaaa ).det(ija簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作說明說明(1) 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解線行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解線性方程組的需要而定義的性方程組的需要而定義的;(2) 階行列式是階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和;n!n(3) 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積;nn(4) 一階行列式一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;aa (5) 的符號(hào)為的符號(hào)為nnpppaaa2121 12()1n

4、p pp 例例 1 在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào)在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào).;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為102210 , 6 所以所以 前邊應(yīng)帶正號(hào)前邊應(yīng)帶正號(hào).651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa例例2 2計(jì)算計(jì)算0004003002001000分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個(gè)項(xiàng)為零，從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以所以

5、只能等于只能等于4 , 1p同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為.aaaa41322314;21n n 21一般地，一般地，對(duì)角行列式對(duì)角行列式0004003002001000 432111 2 3 4 .24 例例3 3 計(jì)算計(jì)算上三角行列式上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項(xiàng)只有所以不為零的項(xiàng)只有.2211nnaaa解解nnnnaaaaaa00022211211 1

6、211221nnna aa 1122nna aa 例例4?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 12121nppp nDaaa 定理定理 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n其中其中 為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). . nppp21 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n 1 12 21n np qp qp qDaaa 其中其中 是兩個(gè)是兩個(gè) 級(jí)排列，級(jí)排列， 為行為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序

7、數(shù)的和標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和. .nnqqq,ppp2121n 行標(biāo)排列行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為列標(biāo)排列列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為400301 t所以所以 前邊應(yīng)帶正號(hào)前邊應(yīng)帶正號(hào).256651144332aaaaaa6400200 t324314516625a a a a a a例例 在六階行列式中，項(xiàng)在六階行列式中，項(xiàng) 帶什么符號(hào)帶什么符號(hào).例例5 5 用行列式的定義計(jì)算用行列式的定義計(jì)算nnDn0000000010020001000 !.1221nDnnn 221 nn解解 1,12,21,11nnnnnnDaaaa 1 1 21nn 1!,n 1221nnn 1232 nn已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 x思考題解答思考題解答解解含含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)的項(xiàng)有兩項(xiàng),即即3x 1211123111211xxxx