2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(江西卷,含答案)(一)

1、絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江西卷)數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第I卷(選擇題)和第I【卷(非選擇題)兩部分。第I卷1至2頁，第I【卷3至4頁。全卷 滿分150分?？荚嚂r間120分鐘?？忌⒁猓? .答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上?？忌J(rèn)真核對答題卡上粘帖的條形 碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致。2 .第【卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦 干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號°第II卷用0.5亳米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，若在試題卷 上答題，答案無效。4.考試結(jié)束，監(jiān)

2、考員將試題卷、答題卡一并收回。第I卷(選擇題共50分)一、選擇題：本大題共10小題。每小題5分，共50分:在每個小題給出的四個選項中，只有一項是 符合題目要求的。L 設(shè)集合 M二1, 2, zi,i 為虛數(shù)單位，N=3, 4, MAN=4,則復(fù)數(shù) z二 ()A. -2iB. 2i C. -4i D.4i2 .函數(shù)尸4In (1-x)的定義域為 ( )A. (0, 1)B. 0, 1)C. (0, 1 D. 0, 13 .等比數(shù)列x, 3x+3, 6x+6,的的第四項等于 ( )A. -24B.OC. 12D. 244 .總體由編號為01, 02,，19, 20的20個個體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)

3、表選取5個個體，選取方法 從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的 編號為()7816657208026314070243699728019832049234493482003623486969387481A. 08B. 07C. 02D. 0125.(工2-'3 )5展開式中的常數(shù)項為 )A. 80B. -80C.4022D. -406.若，S產(chǎn)3盧廣上七，e'd孫 則si, s2, s3的大小關(guān)系為A. si FI *'! <s2<s3B. s2<sl<s3C. s2<s3<sl D

4、. s3<s2<sl7 .閱讀如下程序框圖，如果愉出i=5,那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語句為A. S=2*i-2C. S=2*IB. S=2*i-1D. S=2*i+48 .如果，正方體的底而與正四而體的底面在同一平而o上，且AB/CD,正方體的六個而所在的平而 與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m, n,那么m+n=A. 8B. 9C. 10D. 11、受9.過點(，0) 面積取最大值時,V3A. 3引直線i的曲線，直線i的斜率等于V13B.- 3y=、，牙相交于4.8兩點0為坐標(biāo)原點，當(dāng)AAOB的10.如圖，半徑為1的半圓0與等邊三角形 ABC夾在兩平行線T, i2之間，i

5、T,1與半圓相交于F,G兩點，與三角形ABC 兩邊相交于E,D兩點。設(shè)弧 FG 的長為 x (0<x< n ), y=EB-BC+CD, 若i從T平行移動到i2,則函數(shù)-f(x) 的圖像大致是第II卷注意事項：第卷共2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答。若在試題卷上作答，答案無效。二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分11 .函數(shù)y=sin2x+2Vsin2x的最小正周期T為.TT312 .設(shè)el,。2為單位向量。且el、e2的夾角為,若a=el+3e2, b=2el,則向量a在b方向上 的射影為.13 .設(shè)函數(shù) f(x)在(0, +8)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(ex)=x+

6、ex,則 f' (1)二.14 .拋物線x2=2py (p>0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與雙曲線3 - 3=1相交于A, B兩點，若AABF為等邊三角形，則P二.三.選做題：請在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做按其中一題評閱計分。本題共5分。15 （1）.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為：x=t, y=t2 （t為參數(shù)），若以直角坐 標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸簡歷極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為.（2）.（不等式選做題）在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式：x-2l的解集為.四.解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16 .（本小題滿分12

7、分）在AABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,已知 cosC+ （conA-v JsinA） cosB=O.求角B的大?。蝗鬭+c=1,求b的取值范闈17 .（本小題滿分12分）正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：求數(shù)列an的通項公式an：n+15令b"（n+2）%：,數(shù)列bn）的前n項和為Tn.證明：對于任意n£N*,都有TnV。18 .（本小題滿分12分）小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊，游戲規(guī)則為：以0為起點，再從Al, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 （如圖）這8個點中任取兩點分別分終點得到兩個向量，記

8、這兩個向量的數(shù) 量積為X。若XR就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊。y4（ T，1） T“ 1/式J04（兀FT /1）求小詼頭力譯枝香麗一的概參求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。19 （本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA，平面ABCD, E為BD的中點，G為PD的中點，ZkDAB父 ADCB, EA=EB=AB=1,3PA=2,連接CE并延長交AD于F求證：ADL平面CFG；求平而BCP與平面DCP的夾角的余弦值20.(本小題滿分13分) 如圖，橢圓a /經(jīng)過點P (L 2),離心率=2,直線1的方程為歸4.求橢圓C的方程：AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P),設(shè)直線AB與直線

9、1相交于點記PA, PB, PM的斜率分 別為kl, k2, k3c I nJ：是否存在常數(shù)入，使得kl+k2=Nk3?若存在，求、的值：若不存在，說明理由 2L (本小題滿分14分)1已知函數(shù)f (x)=a (1-2 I X-2 I ), a為常數(shù)且a>0.1證明：函數(shù)f(X)的圖像關(guān)于直線x=2對稱：若xO滿足f (f (xO) = xO,但f (xO) WxO,則稱xO為函數(shù)f (x)的二階周期點，如果f (x)有兩個二階周期點xl, x2,試確定a的取值范圍：對于(2)中的xl, x2,和a,設(shè)x3為函數(shù)f (f (x)的最大值點，A (xb f (f (xl), B (x2,

10、f (f (x2), C (x3, 0),記AABC的面積為S (a),討論S (a)的單調(diào)性。絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。l.C 2.D3. A 4. D 5.C6. B 7.C8. A 9. B 10. D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.511. 7112. 213. 214. 6三、選做題：本大題5分.15,（1）pcos26>-sin<9 = 0°閣四、解答題：本大題共6小題，共75分。16 .（本小題滿分12分）解.（）由已知得一cos（A + 8

11、） + cosAcosB 5/5sinAcos8 = 0即 仃 sin A sin 8 - V?sin A cos 8 = 0因為 sin A WO ,所以 sin 8 - JJcosB =。，又 cosB WO,所以 tan B =6,B =-又°V8V4,所以 3。（2）由余弦定理，有，/=c+c2_2accos8。a + c = 1, cos B = b2 = 3（ - ）2 + 因為2,有2 4o-<b2<-<b<又°vavl,于是有4 ，即有2,17 .（本小題滿分12分）解:由5；-（2+-1電-"+% = 0,得區(qū)-面+叨+1

12、） = 0。由于6是正項數(shù)列，所以S" >03” = n2+no于是 4 =S| =2,22 時，an = S - S-1 =n2 +n- （n -1）2 - （/? -1） = In綜上，數(shù)列“的通項凡=2。a = 2/7, Z? =?證明：由于5 + 2)，；16 n1 (7/ + 2)2 -+ - (mI)2 ( + 1)2 n (n+2)21622 5 + 1)2 ( + 2)*-l，。小小貓 I . X18 .（本小題滿分12分）T 弱1尸1）2 _ ,父解：（1）從8個點中任意取兩點為向量終點的不同取法共有5 一2種，二°時，兩向量夾角為直角共有8種情形：

13、所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為Q ,尸（，=0）= =19.（本大題滿分12分）解：（1）在AABD中，因為E是8。的中點，所以EA = EB = ED = AB = 1,因為 ADAB = ADCB 所以 AEAB = SECB從而有 /FED = NFEA,故Ef ADA/=尸0,又因為PG = GD所以/g 始，28 7（2）兩向量數(shù)量積/的所有可能取值為-2,-1,0,1,/ = 2時，有兩種情形：7 = 1時，有8種情形:，=T時，有10種情形。所以的分布列為：Z-2-101P114514272715223EZ-( 2)xi4+( 1)xi4 + 0x7+1x7- m 0又24,平面

14、A3CO, 所以GF, AO,故A。,平面cfg。44。,。, 0）, 8（1,0,0）,晨,£ 0）, 0（0," 0）（2）以點A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，則2 2P（0,0；）比=&乎,0）,麗=（_：,一，3,麗=（二呼,0）2,故 2 222 22 22 2 13 6 3n一一一一V, 十 & =02 272 設(shè)平而8”的法向量 =（1，）1，4）,則.>1 =一 一/i 小 2、 n =（L-"解得設(shè)平面0cp的法向量生 =6）'22）,則3+正力=。2 23 5/3% =6 ,解得匕=23 =&_ co即4

15、 =（1,6,2）。從而平而80與平面OCP的夾角的余弦值為V 920.（本大題滿分13分）3190（1，7）二 + "77 = 1解：（1）由 2在橢圓上得，（廠協(xié)依題設(shè)知4 = 2c,則/=3J代入解得,'=1，/= 4, =3。22片+廠1故橢圓C的方程為43。（2）方法一：由題意可設(shè)A8的斜率為女，則直線AB的方程為=心工-1）代入橢圓方程3* +4/ =12并整理， （4k2 + 3）x2 - 8公x + 4（攵2 - 3） = 0得設(shè)4%,州）.8（,），2）,則有玉+公4（父 一3） 4k2+3，即3 3在方程中令工=4得，M的坐標(biāo)為（4.3公。乃 3kq 1h

16、 =乙,匕=、k% = k -從而 內(nèi)一1 七一1 4一12人= » = k注意到A£8共線，則有攵=工”=攵"，即有玉7 &-1人+公=2+占所以七一1占一1X A 311- + (+)X 1%2 12 X 1 X? 2= 2k-一七十 12_2 xx2 _(/ +x2) + l代入得8k2&+一-28?4k2+3 -4父+3k =&_!_又5,所以占+自=2取。故存在常數(shù)%=2符合題意。方法二：設(shè)8（%，為）（與工1）,則直線用的方程為:M（4,22k）令工=4,求得 % I ,._2%一兩+ 1從而直線尸”的斜率為2（% -1）,TT

17、*/. 1 聯(lián)H)，=已(1)工+143則直線外的斜率為:得 2% - 5 2x0 - 5 ,_ 2%-2/+ 52(% 一1),直線總的斜率為:_ 2)，。-32(x0-l)k 卜死. 2M 2.% + 5 ； 2.v。-3 _ 2* 一 凡 + 1_所以 12(%-1)2(%-1),-13故存在常數(shù)4 = 2符合題意。21.（本大題滿分14分）（1）證明：因為/(7+ x) = (1 一 2 |x|),/( x) = «(1 2 |x|)/ /（： + %）= /（；-x） 有12=£所以函數(shù)/（月的圖像關(guān)于直線2對稱。0<«<1/（ 吁（2）解：

18、當(dāng)2時，有所以/（/（x）="只有一個解x = °,又/（。）=。，故。不是二階周期點,J /（7（X） = <當(dāng) 2時，有上,21x > 一.2所以"/（x）= x有解集 階周期點。又當(dāng)x W £ / 2時，fM = 故xx< >2J中的所有點都不是二r（/u）=4n2A2。一4。,4。、人.4。22。(1 - 2。) + 4。、, 1467-1一< .V S1a > 當(dāng) 2時，有4a2 -4/尤24674。一1X所以J（/（x）= x有四個解°*1+4/'1 + 2。'1 + 4/ ,又仔佟八J（r）/l + 4c l + 4c/1+4”-述，所求"的取值范圍為2o2a1 + 4/ ,故只有1 + 4/'1 + 4/是/（x）的二階周期點。綜上所v = =(3)由得 1 1 + 41 + 4因為與為函數(shù)/（/（幻）的最大值點