高一數學數列的求和測試題

1、專題研究：數列的求和·例題解析【例1】求下列數列的前 n 項和 Sn：(1)11， 21 ， 31 ， ( n1n ) ，；24821212(2)32，34333(3)1， 1，112121212， 56，2 n 12 n，；33331， 1 1 1，41242n1解 (1)Sn111(n1= 1232n )248 n)11 11=(1 23(2482 n )11n(n +1)2(12n )=2112 n(n 1)1= 122n(2)S n =121212332333432 n 132 n111222=(3+33 + 32n-1 ) + ( 32 +34 + 32n )1121=3

2、(132 n )32 (132 n )11113232518(132 n )(3)先對通項求和an = 111121242n 12n 1111 Sn= (22 2) (12+4+ +2 n-1 )(1 111= 2n2+4+ 2 n-1 )= 2n22 n11【例 2】求和：(1)1+1+1+ 11·n(n 1)2 2·3 3·4(2)11111· 53· 75· 9(2n 1)( 2n3)(3)11112· 55· 8(3n1)(3n2)8·11解 (1)111n(n + 1)nn1 Sn(11)(11

3、)(11)(11 )122334nn111n1nn1(2)1111)(2n1)(2n + 3)4(12n2n3 Sn =1111111137592n3451112n12n12n3=11111432n1 2n3n( 4n5)3(2n1)(2n3)(3)1111)(3n1)(3n + 2)3(13n3n21111111) 11 Sn = () ()(11(13n)3255883n2111=(3n)322n6n4【例 3】求下面數列的前 n 項和：1111 1， a 4， a2 7， an 1 (3n 2) ，分析 將數列中的每一項拆成兩個數，一個數組成以1為公比的等a比數列，另一個數組成以3n2

4、為通項的等差數列，分別求和后再合并解 設數列的通項為 an，前 n 項和為 Sn1則 an = an 1 (3n2)111 7 (3n 2) Sn = (12n 1 ) 14aaa當 a = 1時， Sn = n1(3n2) · n3n2n2211(13n 2)nan1(3n1) n當 a 1時， Sn =an112anan 12a說明 等比數列的求和問題，分q=1 與 q1兩種情況討論【例 4】設 ak =12 2 2 k 2 (k N*) ，則數列3 ，5 ，7 ，a1a2a3的前 n 項之和是6n3n6(n 1)6( n 1)A n 1B n 1CnD n 2解 設數列3 ，

5、5， 7，的通項為 b n a1a2a32n1則 bn =an又 a n = 12 22 n2 =1 1)n(n 1)(2n6116 bn =)= 6(n + 1n(n + 1)n數列 b n 的前 n 項和 Sn=b1b2 bn1111111= 6(1) (2n)23n3n 11)= 6(1n 1= 6n 選 (A) n +1【例 5】求在區(qū)間 a，b(ba，a，bN)上分母是 3 的不可約分數之和解法一 區(qū)間 a， b上分母為 3的所有分數是3a ， 3a1 ， 3a2 ，333 ， 3a4 ， 3a5 ， ， ， 3b2 ， 3b1， 3b 它是以a 13a 2b 133333a 為首項

6、，以 1 為公差的等差數列331項數為 3b 3a 1，其和 S =(3b 3a1)(a b)其中，可約分數是a，a1，a2， b1其和S =(b b)a 1)(a2故不可約分數之和為1S S =(a b)(3b 3a 1) (b a1)2=b2a2解法二3a + 13a + 2+3a + 43a + 53b 2 3b1 S =+ +333333124521 S=(a 3)(a 3 ) (a 3 )(a 3 ) (b 3 )(b 3 )而又有1(b 2)(b 4)(b 5) 2)S=(b)333(a33 1(a3 )兩式相加： 2S=(ab)(ab) (ab)其個數為以 3 為分母的分數個數減

7、去可約分數個數即 3(ba)1(ba 1)=2(ba) 2S=2(ba)(ab) S=b2a2【例 6】求下列數列的前n 項和 Sn：(1)a，2a2，3a3， nan， (a0、1)；(2)1，4，9， n2，；(3)1，3x，5x2， (2n1)xn-1， (x 1)123n(4) 2 ， 4 ， 8 ， 2n ，解 (1)Sn=a2a23a3 nan a0 aSn=a22a33a4 (n1)annan+1 SnaSn=aa2a3 annan+1 a1 ()a(1a n )n 11a Sn1anaSna(1an )nan 1(1a)21a(2)Sn=149 n2 (a1)3a3=3a23a

8、1 2313=3×123×11 3323=3×223×21 4333=3×323×31n3(n1)3=3(n1)23(n1)1(n1)3n3=3n23n1把上列幾個等式的左右兩邊分別相加，得(n1)313=3(1222 n2)3(12 n)n= 3(12 22 32 n2 ) 3n( n1) n2 122232 n21(n1)3 3n( n 1)n=1321) 1n33n2 3n(nn=3n3212=n(2n 3n1)1=n(n 1)(2n 1)6(3)Sn=13x5x27x3 (2n1)xn-1 xSn=x3x25x3 (2n3)x

9、n-1(2n1)xn兩式相減，得(1x)Sn=12x(1xx2 xn-2)(2n1)xn1)xn 2x(x n1 1)= 1(2nx1(2n1)x n+1(2n1) xn(1x)=1x(2n1)x n+1(2n1) x n(1x)Sn=(1x) 2(4)Sn=123n22 2232 n1123n2 Sn2 2232 42 n 1兩式相減，得11111n2 Sn22 2232n2n 1112(12n )n112 n 1211n2 n2 n1 S= 21nn2 n12 n說明求形如 a n·bn 的數列的前 n 項和，若其中 a n 成等差數列， b n 成等比數列，則可采用推導等比數列

10、求和公式的方法，即錯位相減法，此方法體現了化歸思想【例 7】設等差數列 a n 的前 n項和為 Sn ，且 Sn = ( an1) 2 ，2nN* ，若 bn=(1)n·Sn，求數列 b n 的前 n 項和 Tn分析 求b n 的前 n 項和，應從通項 bn 入手，關鍵在于求a n 的前 n 項和 Sn，而由已知只需求 a n 的通項 an 即可解法一 a n 是等差數列， Sn= ( a n1) 22當 n = 1時， a1 = ( a11) 2 解得 a1 = 12當 n = 2時， a1 a2a2 12解得 a2 = 3或 a2 = 1= ()2a31 2，由 a2= 3，解得

11、 a3= 5或 a3 =當 n = 3時， a1 a2 a3 = (2) 3，由 a2=1，解得 a3=1an12 0， a2 = 1， a3 = 3， a3 = 1( 舍 )又 Sn = ()2即 a1=1，a2=3，a3=5， d=2an=12(n1)=2n1Sn=135 (2n1)=n2bn=(1)n·Sn=(1)n·n2Tn=12223242 (1)n·n2當 n 為偶數時，即 n=2k，kN*Tn=(1222)(3242) (2k1)2(2k)2 =37 (4k1)3 + (4k1)· k=2= (2k 1)kn( n1)=2當 n 為奇數時，即 n=2k1，kN* Tn=12223242 (2k1)2= 12223242 (2k1)2(2k)2(2k)2 =(2k1)k(2k)2= k(2k1)= n(n1)2n · n( n1)Tn= (1)N *2n也可利用等差數列的前項和公式(a1+ an )·n ，求annSn =2解法二取 n = 1，則 a1a112 a1= 1=