高中數(shù)學(xué)第一講相似三角形的判定及有關(guān)性四直角三角形的射影定理創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案新人教A版選修4-1

1、四 角三角形的射影定理 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P141射影(1) 點(diǎn)在直線上的正射影：從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影(2) 線段在直線上的正射影：線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段(3) 射影：點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱為射影2射影定理(1) 文字語(yǔ)言：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)(2) 圖形語(yǔ)言：如圖，在 Rt ABC中， CD為斜邊 AB上的高，2則有 CDAD· BD，2ACAD· AB，2BCBD· AB. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P14射影定理的有關(guān)計(jì)算 例 1如圖，在Rt

2、 ABC中， CD為斜邊AB 上的高，若AD2 cm ，DB 6 cm，求 CD， AC， BC的長(zhǎng) 思路點(diǎn)撥 在直角三角形內(nèi)求線段的長(zhǎng)度，可考慮使用勾股定理和射影定理2 解 CD AD·DB2×6 12， CD12 23(cm) 2 AC AD· AB2×(2 6) 16， AC 16 4(cm) 2 BC BD· AB6×(2 6) 48， BC48 43(cm) 故 CD、 AC、 BC的長(zhǎng)分別為23 cm,4 cm,43 cm.1/18(1) 在 Rt ABC中，共有 AC、BC、 CD、AD、 BD和 AB六條線段，已知其中

3、任意兩條，便可求出其余四條(2) 射影定理中每個(gè)等積式中含三條線段，若已知兩條可求出第三條1. 如圖，在 Rt ABC中， C90°， CD是 AB上的高已知 BD 4， AB 29，試求出圖中其他未知線段的長(zhǎng)2解：由射影定理，得BCBD· AB， BC BD·AB 4×29 2 29.又 AD AB BD 29 425.222且 AC AB BC， ACAB2 BC22924×29 529.2 CD AD· BD， CD AD·BD 25×4 10.2已知：CD是直角三角形ABC斜邊AB上的高，如果兩直角邊，的長(zhǎng)

4、度比為AC BCAC BC 3 4.求： (1) AD BD的值；(2) 若 AB 25 cm，求 CD的長(zhǎng)2解： (1) AC AD· AB，2BC BD·AB，AD·ABAC2.BD·ABBC2ADAC 2 (329. () 16BDBC4(2) AB 25 cm， AD BD 9 16，9 AD 9 16×25 9(cm) ，16BD9 16×2516(cm) CDAD·BD9×16 12(cm).與射影定理有關(guān)的證明問(wèn)題 例 2如圖所示， CD垂直平分AB，點(diǎn) E 在 CD上， DF AC， DGBE， F

5、、 G分別為垂足求證： AF· ACBG· BE.2/18 思路點(diǎn)撥 先將圖分解成兩個(gè)基本圖形(1)(2)，再在簡(jiǎn)單的圖形中利用射影定理證明所要的結(jié)論 證明 CD垂直平分AB， ACD和 BDE均為直角三角形，且ADBD.又 DF AC， DG BE，2 AF·AC AD，2BG· BE DB.2 2 AD DB， AF·AC BG·BE.將原圖分成兩部分來(lái)看，就可以分別在兩個(gè)三角形中運(yùn)用射影定理，實(shí)現(xiàn)了溝通兩個(gè)比例式的目的在求解此類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵就是把握基本圖形，從所給圖形中分離出基本圖形進(jìn)行求解或證明3如圖所示，設(shè)CD是 Rt AB

6、C的斜邊 AB上的高求證： CA· CDBC· AD.證明：由射影定理知：2CD AD·BD，2CA AD·AB，2BC BD·AB. CA·CD AD2·BD·AB AD· BD·AB，BC· AD AD·AB·BD.即 CA· CD BC· AD.4 Rt ABC中有正方形DEFG，點(diǎn) D、 G分別在 AB、 AC上， E、 F在斜邊 BC上求證： EF2 BE· FC.證明：過(guò)點(diǎn)A 作 AH BC于 H.則 DE AH GF.DE

7、BEGFFC，.AHBHAHCH3/18DE·GFBE·FC AH2 BH·CH.2又 AHBH· CH， DE·GF BE·FC.而 DE GF EF， EF2 BE· FC. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P15一、選擇題1已知 Rt ABC中，斜邊AB 5 cm， BC2 cm， D為 AC上一點(diǎn)， DE AB交 AB于 E，且 AD 3.2 cm ，則 DE ()B 1.26 cmA 1.24 cmD 1.3 cmC1.28 cm解析：如圖，A A， Rt ADE Rt ABC，ADDE，ABBCDEAD·BC3.2 

8、15;2AB5 1.28.答案： C2已知直角三角形中兩直角邊的比為12，則它們?cè)谛边吷系纳溆氨葹?)B 21A12D 41C14解析：設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為1 和 2，則斜邊長(zhǎng)為5， 兩直角邊在斜邊上14的射影分別為和 .55答案： C3一個(gè)直角三角形的一條直角邊為3 cm，斜邊上的高為2.4 cm ，則這個(gè)直角三角形的面積為 ()B 6 cm2A 7.2 cm 2D 24 cm2C 12 cm 2解析：長(zhǎng)為 3 cm 的直角邊在斜邊上的射影為32 2.42 1.8(cm)，由射影定理知斜邊長(zhǎng)為32 5(cm) ，1.84/18 三角形面積為 12×5×2.4 6(

9、cm2) 答案： B4如圖所示，在ABC中， ACB90°， CD AB，D為垂足 ，若CD 6 cm，AD DB1 2，則 AD的值是 ()A 6 cmB 32 cmC 18 cmD 36 cm解析： AD DB 1 2，可設(shè) AD t ，DB 2t .又 2·， 36 ·2 ，CDADDBtt 2t 2 36， t 32(cm) ，即 AD 32 cm.答案： B二、填空題5若等腰直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為1，則該三角形在直線l 上的射影的最大值為_(kāi)解析：射影的最大值即為等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)答案：26如圖所示，四邊形ABCD是矩形， BEF90°，

10、這四個(gè)三角形能相似的是_解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以 A D90°.因?yàn)?BEF90°，所以 1 290°.因?yàn)?2 390°，所以 1 3.所以 ABE DEF.答案：7在 ABC中， A90°， AD BC于點(diǎn) D， AD 6， BD 12，則 CD _， AC2 2 _ ， AB AC _.222解析：如圖， ABAD BD，又 AD 6， BD12， AB6 5.2由射影定理可得，AB BD· BC，AB2 BC BD 15. CDBC BD15 123.5/182由射影定理可得，AC CD· BC， AC

11、3×15 3 5. AB2 BD·BC BD 12 4. AC2 CD·BC CD 3答案：33541三、解答題8如圖：在Rt ABC中， CD是斜邊 AB上的高， DE是 Rt BCD斜邊 BC上的高，若BE 6， CE 2.求 AD的長(zhǎng)是多少2解：因?yàn)樵赗t BCD中， DE BC，所以由射影定理可得：CDCE· BC，2所以 CD 16，2因?yàn)?BDBE· BC，所以 BD6×8 43.因?yàn)樵?Rt ABC中， ACB90°，CD AB，所以由射影定理可得：2CDAD· BD，CD21643所以 AD BD4

12、3 3 .29如圖，在 ABC中， CD AB 于 D，且 CD AD· BD，求 證： ACB90°.證明： CD AB， CDA BDC90°.2又 CDAD· BD，即 AD CDCD BD， ACD CBD. CAD BCD.又 ACD CAD90°， ACB ACD BCD ACD CAD90°.10已知直角三角形周長(zhǎng)為48 cm ，一銳角平分線分對(duì)邊為3 5 兩部分(1) 求直角三角形的三邊長(zhǎng)；6/18(2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長(zhǎng)解： (1) 如圖，設(shè) 3，5x，CD xBD則 BC8x，過(guò) D作 DEAB，由題意可

13、得，DE 3x， BE4x， AE AC12x 48.又，AE AC AC 246x， AB24 2x. (24 6x)2 (8 x)2(24 2x)2，解得： x 0( 舍去 ) ， x 2.12AB 20，AC 12，BC 16，三邊長(zhǎng)分別為： 20 cm,12 cm,16 cm.(2)作 CF AB于 F 點(diǎn)，2 AC AF· AB.AC212236 AF AB 20 5 (cm) ；同理：BC216264(cm) BFAB2053664兩直角邊在斜邊上的射影長(zhǎng)分別為5 cm， 5cm. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P16近兩年高考中，由于各地的要求不同，所以試題的呈現(xiàn)形式也不同但都主要考查相

14、似三角形的判定與性質(zhì)，射影定理，平行線分線段成比例定理；一般試題難度不大，解題中要注意觀察圖形特點(diǎn)，巧添輔助線對(duì)解題可起到事半功倍的效果在使用平行線分線段成比例定理及其推論時(shí)，一定要搞清有關(guān)線段或邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，切忌搞錯(cuò)比例關(guān)系1. 如圖，在梯形 ABCD中， AB CD， AB 4， CD 2， E，F(xiàn) 分別為AD， BC上的點(diǎn)，且EF 3，EF AB，則梯形ABFE與梯形 EFCD的面積比為 _解析：由 CD 2， AB 4， EF 3，7/181得 EF 2( CD AB) ， EF是梯形 ABCD的中位線，則梯形 ABFE與梯形 EFCD有相同的高，設(shè)為h，于是兩梯形的面積比為11(3

15、4) h2(2 3) h 7 5. 2答案： 7 52. 如圖，圓 O上一點(diǎn) C 在直徑 AB 上的射影為 D，點(diǎn) D 在半徑 OC上CE的射影為 E. 若 AB 3AD，則的值為 _EO解析：連接AC， BC，則 ACB90°.設(shè) AD 2，則 AB6，于是 4， 1.BDOD如圖，由射影定理得22.CD AD·BD 8，則 CD 2在 Rt OCD中， DEOD·CD1× 2222OC 3 3 .則 CE DC2 DE2888 9 3，81 3.EO OC CE338因此CE3 8.EO13答案： 8 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P16平行線分線段相關(guān)定理平行線等分

16、線段定理、平行線分線段成比例定理，其實(shí)質(zhì)是揭示一組平行線在與其相交的直線上截得的線段所呈現(xiàn)的規(guī)律，主要用來(lái)證明比例式成立、證明直線平行、計(jì)算線段的長(zhǎng)度，也可以作為計(jì)算某些圖形的周長(zhǎng)或面積的重要方法，其中，平行線等分線段定理是線段的比為 1 的特例8/18 例 1如圖，在 ABC中， DEBC， DHGC.求證： EG BH. 證明 DEBC，AEAD.ACABAHAD DHGC， .AC AG AE·AB AC·AD AH·AG.AEAG . EGBH.AHAB 例 2 如圖，直線l分別交的邊，于點(diǎn)，且1 ，ABCBCCAABD E FAF3ABBD5EC2BC，

17、試求 AE. 解 作 CN AB交 DF于點(diǎn) N，并作 EG AB交 BC于點(diǎn) G，由平BFDBCNEC行截割定理，知，CNDC AFAEBFCNDBEC兩式相乘，得··，CNAFDC AEECBFDC即 AE AF· DB.又由 AF 1AB，得 BF 2，3AF5 DC 3由 BD BC，得 ，2 DB 5EC36所以2×.AE55相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)揭示了形狀相同，大小不一定相等的兩個(gè)三角形之間的邊、角關(guān)系其應(yīng)用非常廣泛，涉及到多種題型，可用來(lái)計(jì)算線段、角的大小，也可用來(lái)證明線段、角之間的關(guān)系，還可以證明直線之間的位置關(guān)系其

18、中，三角形全等是三角形相似的特殊情況例 3如圖所示，、是的兩條高線，在AB上取一AD CFABC9/18點(diǎn) P，使 AP AD，再?gòu)?P 點(diǎn)引 BC的平行線與AC交于點(diǎn) Q.求證： PQ CF. 證明 AD、CF是 ABC的兩條高線， ADB BFC90°.又 B B， ABD CBF.ADAB.CFCB又 PQ BC， APQABC.PQAPAPABADAP . . .BCABPQ BCCFPQ又 AP AD， CF PQ.例 4四邊形中， ，平分， 于點(diǎn)，2 ，若CEDABCDAB CD CEBCD CE ADEDE AE的面積為1，求四邊形ABCE的面積 解 如圖，延長(zhǎng)CB、

19、DA交于點(diǎn) F，又 CE平分 BCD， CE AD. FCD為等腰三角形，E 為 FD的中點(diǎn)1 S FCD 2FD· CE1 ×2ED· CE2 2SCED 2，EF ED 2AE.1 FAAE 4FD.又 AB CD， FBA FCD.SFBAFA2121 ()() .SFCDFD41611 S FBA 16× SFCD 8. S 四邊形 ABCE SFCD SCEDSFBA1 7 2 1 8 8.射影定理射影定理揭示了直角三角形中兩直角邊在斜邊上的射影，斜邊及兩直角邊之間的比例10/18關(guān)系，此定理常作為計(jì)算與證明的依據(jù)，在運(yùn)用射影定理時(shí)，要特別注意

20、弄清射影與直角邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分清比例中項(xiàng)，否則在做題中極易出錯(cuò) 例 5如圖，在 ABC中， ACB90°， CD AB于 D， DE AC于E， EF AB于 F.2求證： CE BD· DF. 證明 ACB90°， DE AC，BDAB DEBC. .CE ACCEAC同理： CD EF，.DFAD ACB90°， CD AB，2 AC AD· AB.ACAB.ADACCEBD.DFCE2 CE BD· DF. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P41( 時(shí)間： 90 分鐘，滿分： 120 分 )一、選擇題 ( 本大題共10 小題，每小題5 分，滿分50

21、 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1如圖，已知AA BB CC， AB BC1 3，那么下列等式成立的是()B 3A B B CA AB 2A BD AB A BC BCB CABAB1解析： AA BB CC， BCBC 3. 3A B B C.答案： B2. 如圖， ACB90°.CD AB 于 D， AD 3、CD 2，則ACBC 的值是()11/18B 94A3 2D.23C.3 2ACAD 3解析 ： Rt ACD Rt CBD， .BCCD 2答案： A3在 Rt ABC中， CD為斜邊 AB上的高，若BD 3 cm， AC 2cm，則 CD和 BC

22、的長(zhǎng)分別為 ()A. 3 cm 和 3 2 cmB 1 cm 和3 cmC 1 cm 和 32 cmD. 3 cm 和 2 3 cm解析：設(shè) AD x，則由射影定理得x( x 3) 4，即 x1( 負(fù)值舍去 ) ，則 CD AD·BD 3(cm) ，BCBD·AB33 1 23(cm) 答案： D4如圖，在ABC中， BAC90°， AD是斜邊 BC上的高， DE是的高，且 5， 2，則的值為 ()ACDACCDDEA.221B.2155C.321D.212552解析： AC CD· BC，即 522×，BC25.BC2 AB252521BC2

23、 AC24 522.DEDC2 21，.ABBCDE5答案： A5如圖所示，給出下列條件：；ACAB2；BACDADCACBCDBCACAD· AB. 其中單獨(dú)能夠判定ABC ACD的個(gè)數(shù)為 ()12/18B2A 1D4C 3解析：由 B ACD，再加上公共角A A，可得兩個(gè)三角形相似；由ADCAC AB ACB，再加上公共角 A A，可得兩個(gè)三角形相似； ，而夾角不一定相等，所CD BC以兩個(gè)三角形不一定相似；2ACAB ACAD· AB可得，再加上公共角 A A，可得兩個(gè)ADAC三角形相似答案： C6. 如圖， DE BC，S S 1 8， 則 ADDB的值為 () A

24、DE四邊形 DBCEB1 3A14D1 5C12解析：由 S S18 ADE四邊形 DBCE得 S S 19. ADEABC DE BC， ADE ABC. (AD 2SADE1) .ABSABC9AD1AD1， .AB3DB2答案： C7 ABC和 DEF滿足下列條件，其中不一定使 ABC與 DEF相似的是 ()A A D45°38， C26°22， E108°B 1，1.5，2， 12，8， 16ABACBCDEEFDFC BC a，AC b， AB c， DEa， EFb， DFcD AB AC， DE DF， A D40°解析： A 中 A D，

25、 B E108°， ABC DEF；B 中 AB AC BC EF DE DF 2 3 4； ABC EFD；D 中ABDE，A D，ACDF13/18 ABC DEF；而 C中不能保證三邊對(duì)應(yīng)成比例答案： C8在Rt ACB中， C90°.CD AB 于 D. 若 BD AD 1 4，則tan BCD的值是()11B.A.341D2C. 2解析：由射影定理得2BD AD 14.CDAD· BD，又令，則 4 (x>0) ，BD xAD x22 CD 4x，BDx1 CD 2x， tan BCD .CD2x2答案： C9. 在 ?ABCD中， E 為 CD上

26、一點(diǎn)， DE CE 23，連接 AE、BE、 BD且AE、 BD交于點(diǎn) F，則 S DEF S EBF SABF ()B 4 9 25A 4 1025D2 5 25C 2 3 5解析： AB CD， ABF EDF.DEDF2 .ABFB5SDEF2 24().SABF525又 DEF和 BEF等高SDEFDF24.SEBFFB510答案： A10如圖，已知 a b， AF3， BC3. 則 AE EC ()BF5 CD125A. 5B. 1275C.D.5714/18AEAG AFAG解析： a b，.ECCD BFBDBC 3， BC 3CD， BD 4CD.CD又AF3，BF5AGAF3

27、. AG3AG12.5 . BDBF4CD5CD5AEAG12 .ECCD5答案： A二、填空題 ( 本大題共4 個(gè)小題，每小題5 分，滿分20 分把答案填寫在題中的橫線上)11如圖， D，E 分別是 ABC邊 AB， AC上的點(diǎn)，且 DEBC， BD2AD，那么 ADE的周長(zhǎng) ABC的周長(zhǎng)等于 _解析： DE BC， ADE ABC.AD1 BD2AD， AB 3AD. AB 3.ADE的周長(zhǎng)AD1 .ABC的周長(zhǎng)AB31答案： 312如圖，在ABC中， DE BC， DF AC， AE AC 3 5， DE 6，則 BF _.解析： DE BC，DEAEAC5， BCDE·6&#

28、215; 10，BCACAE3又 DFAC， DE FC 6. BF BC FC 4.答案： 413如圖，在 ABC中， DE BC，BE與 CD相交于點(diǎn)O，直線 AO與15/18DE、 BC分別交于 N、M，若 DN MC 14，則 NE BM _， AE EC_.ODDN1解析： ，OCMC4OEOD1 .OBOC 4NEOE 1 .BMOB4又DEOD 1 ，BCOC 4AEDE 1 .ACBC 4 AEEC 1 3.答案： 141314陽(yáng)光通過(guò)窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7 m寬的亮區(qū) ( 如圖所示 ) ，已知亮區(qū)一邊到窗下的墻角距離CE 8.7 m ，窗口高AB1.8 m ，那么窗

29、口底邊離地面的高BC 等于_m.BCCD解析： BD AE，.ABDEAB·CDBC.DE AB1.8 m ， DE 2.7 m ， CE 8.7 m ， CDCE DE8.7 2.7 6(m) 1.8 ×6 BC 2.7 4(m) 答案： 4三、解答題 ( 本大題共4 個(gè)小題，滿分50 分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 )15 ( 本小題滿分12 分 ) 如圖， ABC中， BC 的中點(diǎn)為D， ADB和 ADC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn) M、 N.求證： MN BC.證明： MD平分 ADB，16/18ADAM.BDMBADAN ND平分 ADC， .DC NC BDDC，AM ADADAN.MBBDDCNC MNBC.16 ( 本小題滿分12 分) 如圖，已知：ABC中， AB AC，AD是中線，P是上一點(diǎn)，過(guò)C作，延長(zhǎng)交于，交CF于，ADCFABBPACEF2求證： BP PE· PF.證明：連接PC， ABAC， AD是中線， A