版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
1、集合與簡易邏輯1集合的概念及運算集合定義特征一組對象的全體形成一個集合確定性、互異性、無序性表示法分類列舉法1,2,3,、描述法x|P、圖示法有限集、無限集數(shù)集關(guān)系自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、正整數(shù)集N、空集屬于、不屬于、包含于、真包含于、子集、真子集運算性質(zhì)交集 ABx|xA且xB;并集 ABx|xA或xB;補集x|xA且xU,U為全集AA;A;假設(shè)AB,BC,那么AC;AAAAA; A;AA;ABAABBAB;ACA; ACAI;C( CA)A;C(AB)CACB方法韋恩示意圖數(shù)軸分析注意: 區(qū)別與、與 、a與a、與、(1,2)與1,2;屬于與不屬于的關(guān)系 AB時,A有兩種
2、情況:A與A 如果a²,a,0,那么a0,且a1元素的唯一性 是任何非空集合的真子集,和任何集合的子集。與是附屬關(guān)系 0是以0為元素的集合,不是空集。集合知識網(wǎng)絡(luò)定義補充:真子集:如果A是B的子集,并且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集。包含與真包含:B中的元素都屬于A,那么稱A包含B.B中的元素都屬于A且A中至少有一個元素不屬于B,那么稱A真包含B.不等式絕對值不等式一元二次不等式|x|>a (a>0) x>a或x<a;去絕對值|x|<a (a>0) a<x<a去絕對值形式:axbxc>0或axbxc<
3、;0 a0;解法:方程的根函數(shù)草圖觀察得解注意:含參數(shù)的不等式axbxc>0恒成立問題含參不等式axbxc>0的解集是R; 方程:分a0(驗證bxc>0是否恒成立)、a0a<0且<0兩種情況 不等式:分a=0,a0,a0三種情況集合A是空集,0 集合A只有一個元素,=0 集合A非空集,0不等式知識網(wǎng)絡(luò)2四種命題及充要條件一四種命題:1原命題:假設(shè)p那么q 逆命題:假設(shè)P那么q,即交換原命題的條件和結(jié)論; 否命題:假設(shè)q那么p,即同時否認原命題的條件和結(jié)論; 逆否命題:假設(shè)P那么q,即交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時否認2四個命題的關(guān)系: 原命題為真,它的逆命題不一
4、定為真; 原命題為真,它的否命題不一定為真; 原命題為真,它的逆否命題一定為真原命題假設(shè)p那么q逆命題假設(shè)q那么p否命題假設(shè)那么q逆否命題假設(shè)那么互逆互互互為互否逆逆否否否否否兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性。原命題與逆否命題;逆命題與否命題同真同假 兩個命題互為逆命題或否命題,他們的真假性沒有關(guān)系 原命題和逆否命題為等價命題如果原命題成立,逆否命題成立逆命題和否命題為等價命題,如果逆命題成立,否命題成立 命題的否認形式與原命題互異二充分條件與必要條件1“假設(shè)那么是真命題,記做, “假設(shè)那么為假命題,記做,2假設(shè),那么稱是的充分條件,是的必要條件 假設(shè),且,那么稱是的充要條件;3假設(shè)的
5、充分條件是,那么; 假設(shè)的必要條件是,那么注意:注意區(qū)分“命題的否認與“否命題這兩個不同的概念。命題的否認為“非,記作,一般只是否認命題的結(jié)論,否命題是對原命題“假設(shè)那么既否認它的條件,又否它的結(jié)論。3邏輯連結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞一全稱量詞與存在量詞含有一個量詞的全稱命題的否認,有下面的結(jié)論:全稱命題:,它的否認:全稱命題的否認是存在性命題。含有一個量詞的存在性命題的否認,有下面的結(jié)論:存在性命題:,它的否認:存在性命題的否認是全稱命題二邏輯聯(lián)結(jié)詞:1命題是可以判斷真假的語句的語句,其中判斷為正確的稱為真命題,判斷為錯誤的為假命題如果不易判斷命題真假,可由它的逆否命題判斷。2邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或
6、、“且、“非3不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題,叫做簡單命題,由簡單命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題4真值表:pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假5關(guān)鍵詞的否認關(guān)鍵詞大小于是有全部任何,所有的至少有一個至多有一個對任意使真否認不大小于不是無不全,不都某些,有幾個一個也沒有至少有兩個存在使假關(guān)鍵詞p且q且=都是至多有N個任意N個否認p或q或不都是至少有N+1個存在N個函數(shù)1函數(shù)及其表示一函數(shù)的概念1映射:設(shè)A、B兩個非空集合,如果按照某中對應(yīng)法那么,對于集合A中的任意一個元素,在集合B中都有唯一的一個元素與之對應(yīng),這樣的對應(yīng)就稱為從集合A到集合B的映射2函數(shù):在某種變化過程
7、中的兩個變量、,對于在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值,按照某個對應(yīng)法那么,都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么稱是的函數(shù),記做,其中稱為自變量,變化的范圍叫做函數(shù)的定義域,和對應(yīng)的的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的變化范圍叫做函數(shù)的值域3函數(shù)三要素:定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系二函數(shù)的表示:解析法圖像法列表法解析式:1根據(jù)對應(yīng)法那么的意義求函數(shù)的解析式;例如:,求函數(shù)的解析式2函數(shù)的解析式一般形式,求函數(shù)的解析式;例如:是一次函數(shù),且,函數(shù)的解析式3注明定義域分段函數(shù)三函數(shù)的定義域樹立定義域優(yōu)先的思想1根據(jù)給出函數(shù)的解析式求定義域:含有絕對值的不等式分段求解|f(x)|+g(x)0 f(x)0 或 f(x)0 f(x)+g
8、(x)0 -f(x)+g(x)0 整式: 分式:分母不等于0 偶次方根:被開方數(shù)大于或等于0 含0次冪、負指數(shù)冪:底數(shù)不等于0 對數(shù):底數(shù)大于0且不等于1,真數(shù)大于0 三角函數(shù)中的y=tanx:xk+k/2(kZ)2根據(jù)對應(yīng)法那么的意義求函數(shù)的定義域:函數(shù)f(x)的定義域為D,求函數(shù)fg(x)的定義域,只需g(x)D例:定義域為,求定義域;函數(shù)fg(x)的定義域,求函數(shù)f(x)的定義域,只需xy|y=g(x),即g(x)的值域例:定義域為,求定義域;3實際問題中,根據(jù)自變量的實際意義決定的定義域六難點1沒有告訴定義域同對應(yīng)法那么y=f(x)中括號內(nèi)范圍相同同對立法那么2相同函數(shù) 定義域相同 對
9、應(yīng)法那么相同 恒等變換含有絕對值的不等式分段求解|f(x)|+g(x)0 f(x)0 或 f(x)0 f(x)+g(x)0 -f(x)+g(x)0含有絕對值的不等式分段求解|f(x)|+g(x)0 f(x)0 或 f(x)0 2函數(shù)的根本性質(zhì)一 函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)fx的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2 當x1<x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)fx在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是自左向右看圖象是注意:判斷單
10、調(diào)性 定義法 兩個增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù);一個增(減)函數(shù)與一個減(增)函數(shù)的差是增函數(shù) 奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)2單調(diào)區(qū)間的定義假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么稱函數(shù)fx在這一區(qū)間上具有嚴格的單調(diào)性,區(qū)間D叫做fx的單調(diào)區(qū)間. 3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:對于復(fù)合函數(shù),設(shè),那么,可根據(jù)它們的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù),具體判斷如下表增增減減增減增減增減減增假設(shè)均為某區(qū)間上的增減函數(shù),那么在這個區(qū)間上也為增減函數(shù)假設(shè)為增減函數(shù),那么為減增函數(shù)假設(shè)與的單調(diào)性相同,那么是增函數(shù);假設(shè)與的單調(diào)性不同,那么是減函數(shù)。奇函數(shù)在對稱
11、區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。常用函數(shù)的單調(diào)性解答:比擬大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。4判斷單調(diào)性的常用方法1定義法2兩個增減函數(shù)的和仍為增減函數(shù);一個增減函數(shù)與一個增減函數(shù)的差仍為增減函數(shù)。3奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同單調(diào)性,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性。4利用導(dǎo)函數(shù)二 函數(shù)的最值前提 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足 條件 于任意xI,都有f(x)M; 存在x0I,使得f(xo)=M 于任意xI,都有f(x)M 在x0I,使得f(xo)M結(jié)論 M為最大值 M為最小值 三函數(shù)的奇偶性1判斷函數(shù)奇偶性的步驟:判斷函數(shù)的定義域
12、是否關(guān)于原點對稱,如果對稱可進一步驗證,如果不對稱;驗證與的關(guān)系,假設(shè)滿足,那么為奇函數(shù),假設(shè)滿足,那么為偶函數(shù),否那么既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)2性質(zhì):奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱3、分別是定義在區(qū)間、上的奇偶函數(shù),分別根據(jù)條件判斷以下函數(shù)的奇偶性奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶4如果一個奇函數(shù)在處有定義,那么,如果一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),那么反之不成立。奇偶函數(shù)之和差為奇偶函數(shù);之積商為偶函數(shù)。一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積商為奇函數(shù)。5一次函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是; 二次函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是 假設(shè)a0,b0時,那么非奇非偶;假設(shè)b0,a=c=0時,該正比例
13、函數(shù)是奇函數(shù)4、兩個函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù),只要其中有一個是偶函數(shù),那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù);當兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時,該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。5、假設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,那么可以表示為,該式的特點是:右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。6判斷奇偶性的常用方法函數(shù)的定義域,看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,假設(shè)不對稱,那么該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)假設(shè)定義域關(guān)于原點對稱,函數(shù)表達式能化簡的,那么對函數(shù)進行適當?shù)幕?,以便于判斷利用定義域進行等價變形判斷分段函數(shù)應(yīng)分段討論,要注意根據(jù)x的范圍取得相應(yīng)的函數(shù)表達式或者利用圖像判斷3二次函數(shù)與冪函數(shù)一定義一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: y=ax2+
14、bx+ca0,那么稱y為x的二次函數(shù)。二二次函數(shù)的三種表達式 一般式:y=ax2+bx+ca0頂點式:y=a(x-h) 2+ka0,此時拋物線的頂點坐標為Ph,k,適用于頂點坐標和最大最小值交點式:y=a(x-x1)(x-x2)a0僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時,x1、x2為交點的橫坐標,所以兩交點的坐標分別為Ax1,0和 Bx2,0,對稱軸所在的直線為注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:,; =;三二次函數(shù)的圖像 從圖像可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,屬于軸對稱圖形。四拋物線的性質(zhì)1拋物線是軸對稱圖形,對稱軸為直線,對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋
15、物線的對稱軸是y軸即直線x=02拋物線有一個頂點P,坐標為P,。 當時,當a>0時,函數(shù)y有最小值;當a<0時,函數(shù)y有最大值。當時,P在y軸上即交點的橫坐標為0;當= b2-4ac=0時,P在x軸上即函數(shù)與x軸只有一個交點。3二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小即形狀。 當a0時,拋物線開口向上;當a0時,拋物線開口向下。|a|越大,那么拋物線的開口越小。對于兩個拋物線,假設(shè)形狀相同,開口方向相同,那么a相等;假設(shè)形狀相同,開口方向相反,那么a互為相反數(shù)。4二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置,四字口訣為“左同右異,即:當對稱軸在y軸左邊時,a與b同號即ab0; 當對
16、稱軸在y軸右邊時,a與b異號即ab0。 5常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置,拋物線與y軸交于點0,c。6實根分布拋物線y=ax2+bx+ca0與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法:= b2-4ac0時,拋物線與x軸有2個交點,對應(yīng)方程有兩個不相同的實數(shù)根;= b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點,對應(yīng)方程有兩個相同的實數(shù)根。 = b2-4ac0時,拋物線與x軸沒有交點,對應(yīng)方程沒有實數(shù)根。 分布:替換0滿足根在a的右側(cè)0,左側(cè)0五二次函數(shù)與一元二次方程 特別地,二次函數(shù)以下稱函數(shù)y=ax2+bx+ca0,當y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程,即ax2+bx+c=0
17、,此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。參考四-6六常用的計算方法:1求解析式的時候:實根分布假設(shè)給定三個普通點的坐標,那么設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+ca0,分別將三點坐標代入組成三元一次方程組,然后解此方程組求出a、b、c,再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式;假設(shè)給定有頂點坐標或?qū)ΨQ軸、最值,那么設(shè)為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+ka0,再找一點坐標代入即可求出a,再代回設(shè)的頂點式即可求出解析式;假設(shè)給定有與x軸的交點坐標,那么設(shè)為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)a0,再找一點坐標代入即可求出a,再代回設(shè)的交點式即可求出解析式。以上方法特別要注意括
18、號內(nèi)的正負號。2假設(shè)求函數(shù)與x軸的交點坐標,讓y=0,解一元二次方程所得的根就是交點的橫坐標;3假設(shè)求函數(shù)的頂點坐標,用配方的方法或者直接套用頂點坐標的公式;4假設(shè)求函數(shù)的最大值或者最小值,也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式同頂點坐標。5當需要判定函數(shù)y=ax2+bx+ca0與x軸沒有交點時,需判定方程ax2+bx+c=0的<0,同理,與x軸只有一個交點時,=0,與x軸有兩個交點時,>0。對的判定方法仍然是用配方的方法。 6二次函數(shù)y=ax2+bx+c不妨設(shè)a0在區(qū)間m,n上的最大值或最小值(1)當,即對稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時,的最小值在對稱軸處取得,其值是,的最大值在離對稱軸較
19、遠的端點處取得,它是、中的較大者2當,即給定的區(qū)間在對稱軸的一側(cè)時,是單調(diào)函數(shù)。假設(shè),在上是增函數(shù),的最小值是,最大值是,假設(shè),在上是減函數(shù),的最小值是,最大值是七冪函數(shù)的概念1冪函數(shù)的定義:函數(shù)叫做冪函數(shù)。其中是常數(shù),是自變量。冪函數(shù)的定義域由的值確定。2冪函數(shù)的圖像:1圖像都經(jīng)過點1,1和第一象限;2>0時圖像過原點0,0;<0時圖像不過遠點;3在第一象限內(nèi),當<0時圖像向上無限接近y軸,向右無限接近x軸;當0<<1時圖像向上凸起;當>1時圖像向下凸起。3冪函數(shù)的性質(zhì):1單調(diào)性:當時,在區(qū)間0,+上是增函數(shù);當時,在區(qū)間0,+上是減函數(shù)。2奇偶性:設(shè)當都
20、是奇數(shù)時,它是奇函數(shù);當是偶數(shù)是奇數(shù)時,它是偶函數(shù);是奇數(shù)是偶數(shù)時,它非奇非偶。八冪函數(shù)圖象特征:1當時,在第一象限內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞減,圖象為凹的曲線;2當時,圖象是一條不包括點0,1的直線;3當時,在第一象限內(nèi),圖象單調(diào)遞增,圖象為凸的曲線;4當時,圖象是一、三象限的角平分線;5當時,在第一象限內(nèi),圖象單調(diào)遞增,圖象為凹的曲線.6冪函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限;7當時,冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點0,0和點1,18如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點,那么;9如果冪函數(shù)、都是正整數(shù),且、互質(zhì)的圖象不經(jīng)過第三象限,那么可取任意正整數(shù),、中一個為奇數(shù),另一個為偶數(shù).4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一指數(shù)的概念1分數(shù)指數(shù)冪與根式
21、:如果,那么稱是的次方根,的次方根為0,假設(shè),那么當為奇數(shù)時,的次方根有1個,記做;當為偶數(shù)時,負數(shù)沒有次方根,正數(shù)的次方根有2個,其中正的次方根記做負的次方根記做1負數(shù)沒有偶次方根;2兩個關(guān)系式:;3正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義:;,且 正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義:,且4分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì): ; ; ; ; ,其中、均為有理數(shù),均為正整數(shù)5指數(shù)運算法那么:1;2;3二指數(shù)的圖像函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義域值域圖象性質(zhì)過定點減函數(shù)增函數(shù)奇偶性非奇非偶注意:恒成立問題(1) 函數(shù)y=f(x),假設(shè)f(x)b恒成立,f(x)minb(2) 相反,f(x)a恒成立,f(x)maxa5 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一對數(shù)及其運算
22、1定義:假設(shè),且,那么2指數(shù)式與對數(shù)式互化:.3三條性質(zhì): 1的對數(shù)是0,即; 底數(shù)的對數(shù)是1,即; 負數(shù)和零沒有對數(shù)4四條運算法那么: ; ; ; 5其他運算性質(zhì):1 對數(shù)恒等式:;2 對數(shù)的換底公式 (,且,且,).推論 (,且,且,).6. 設(shè)函數(shù),記.假設(shè)的定義域為,那么,且;假設(shè)的值域為,那么,且.對于的情形,需要單獨檢驗.三 對數(shù)的圖像函數(shù)對數(shù)數(shù)函數(shù)定義域值域圖象性質(zhì)過定點減函數(shù)增函數(shù)奇偶性非奇非偶6 函數(shù)的圖像 將圖像上每一點向上或向下平移個單位,將圖像上每一點向左或向右平移個單位,將圖像上的每一點橫坐標保持不變,縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍,將圖像上的每一點縱橫坐標保持不變,橫坐
23、標壓縮或拉伸為原來的,關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱關(guān)于原點對稱去負翻正將位于軸下方的局部沿軸對稱到上方,可得的圖像7 函數(shù)的值域與最值 一函數(shù)的值域:函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域,求值域必須在其定義域內(nèi)進行。二常見函數(shù)的值域名稱解析式值域一次函數(shù)二次函數(shù)時,時,反比例函數(shù),且指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)四 函數(shù)的最值一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:1 對于任意的xI,都有f(x)M,且存在x0I,使得f(x0)=M,那么M就是函數(shù)y=f(x)的最大值2 對于任意的xI,都有f(x)M,且存在x0I,使得f(x0)=M,那么M就是函數(shù)y=f(x)的最小 值五 求值域的方法1配方法:
24、對于求二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為形如的函數(shù)的值域最值一類問題,我們常常可以通過配方法來進行求解.2換元法:通過引入一個或多個新變量或代數(shù)式代替原來的變量或代數(shù)式或超越式,通過換元,我們常??梢曰叽螢榈痛?、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式等,這樣我們就能將比擬復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化成易于求值域的函數(shù)進行求解.3單調(diào)性法:對于形如、為常數(shù),或者形如而使用不等式法求值域卻未能湊效的函數(shù),我們往往可以考慮使用單調(diào)性法.4判別式法:一般地,形如、的函數(shù),我們可以將其轉(zhuǎn)化為的形式,再通過求得的范圍.但當函數(shù)為指定區(qū)間上的函數(shù)時,用判別式法求出的范圍后,應(yīng)將端點值代回到原函數(shù)進行檢驗,防止發(fā)生錯誤.5數(shù)形
25、結(jié)合法2.8 函數(shù)與方程一函數(shù)的零點1如果函數(shù)y=f(x)在實數(shù)a處的值等于零,即f(a)=0,那么a叫做這個函數(shù)的零點2函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點的就是方程f(x)=g(x)的實根;即函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖像交點的橫坐標二零點存在定理1在閉區(qū)間a,b上連續(xù)2f(a)·f(b)0三二分法第一步:確定區(qū)間a,b,驗證f(a)·f(b)0,給定精確度第二步:求區(qū)間(a,b)的中點x1第三步:計算f(x1) 假設(shè)f(x1)=0,那么x1就是函數(shù)的零點 假設(shè)f(a)·f(x1)0,那么令b=x1此時零點x0(a,x1) 假設(shè)f(x1)·f(b
26、)0,那么令a=x1此時零點x0(x1,b)此時長度減半了的新區(qū)間(a,b)第四步:判斷是否到達精確度,即假設(shè)|a-b|,那么得到零點或近似值a(b),否那么重復(fù)二、三、四部立體幾何1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 一柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征二斜二測畫法: 原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半。2 空間幾何體的外表積與體積一體積公式:柱體: 圓柱體: 圓錐體: 錐體: 球體:圓臺和棱臺:,其中和分別為上、下底面積,為高二側(cè)面積:圓柱側(cè)面積: 圓柱外表積圓錐側(cè)面積: 圓錐外表積圓臺側(cè)面積 圓臺外表積球的外表積:三幾個根本公式:弧長公式
27、:是圓心角的弧度數(shù),>0; 扇形面積公式:3 直線、平面平行的判定和性質(zhì)一直線與平面平行1判定定理如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行。線面平行線線平行 直線a在平面外直線b在平面內(nèi)兩直線a、b平行2性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行,那么過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行線面平行線線平行二平面與平面平行1判定定理判定定理1:如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行線面平行面面平行判定定理2:如果兩個平面同垂直于一條直線,那么這兩個平面平行判定定理3:平行于同一個平面的兩個平面平行2性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三
28、個平面相交,那么它們的交線平行面面平行線線平行三證明方法1證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點;2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;3轉(zhuǎn)化為線面平行;4轉(zhuǎn)化為線面垂直;5轉(zhuǎn)化為面面平行.2證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點;2轉(zhuǎn)化為線線平行;3轉(zhuǎn)化為面面平行.3證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點;2轉(zhuǎn)化為線面平行;3轉(zhuǎn)化為線面垂直.4直線、平面垂直的判定和性質(zhì)一直線與平面垂直1判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面2.性質(zhì)定理性質(zhì)定理1:垂直于同一個平面的兩條直線平行性質(zhì)定理2如果兩條平行線
29、中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面二平面與平面垂直1判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面互相垂直線面垂直面面垂直2 性質(zhì)定理性質(zhì)定理1:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面性質(zhì)定理2:如果兩個平面互相垂直,那么過第一個平面內(nèi)的一點且垂直于第二個平面的直線,在第一個平面內(nèi)三點到面的距離1.過平面外一點A平面引垂線,那么點A和垂足BA在上的正射影之間的距離叫做點A到平面的距離2.求點到平面的距離的關(guān)鍵是確定垂足的位置,然后通過解三角形求值。有時把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高,用等體積法求解四直線與平面所成角1.平面的一條
30、斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線斜線與這個平面所成的角。直線和平面所成角的范圍是2確定斜線和平面所成角的關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影,其核心是找到斜線上異于斜足的一點在平面內(nèi)的垂足五證明方法1證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直;2轉(zhuǎn)化為線面垂直;3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直;4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.2證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直;2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行;4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面;5轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.3證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二
31、面角是直二面角;2轉(zhuǎn)化為線面垂直.平面向量1 平面向量與平面向量的線性運算一向量的根本概念1向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量可以用一條有向線段來表示2向量的長度:向量的大小,也就是向量的長度也稱為的模,記作3零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作,零向量的方向是任意的4單位向量:長度等于1的向量叫做單位向量5平行向量:方向相同或相反的向量叫做平行向量,也叫做共線向量,假設(shè)向量、平行,記作0與任一向量平行。6相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量二向量的加、減的法那么1兩個向量的和:向量、,平移向量,使的起點與的終點重合,那么以的起點為起點,的終點為終點的向量叫做向量與向量的和求
32、兩個向量和的運算叫做向量的加法2向量加法的三角形法那么:根據(jù)向量和的定義,以第一個向量的終點A為起點作第二個向量,那么以的起點O為起點,以的終點B為終點的向量就是與的和,這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的三角形法那么3向量加法的平行四邊形法那么:以同一點A為起點的兩個向量、為鄰邊作平行四邊形ABCD,那么以A為起點的對角線就是,這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法那么4向量加法運算律: 交換律: 結(jié)合律:5相反向量:與向量方向相反的向量叫做的相反向量,記作規(guī)定:零向量的相反向量仍是零向量性質(zhì): 6兩個向量的差:加上的相反向量叫做與的差,即:法那么:如下圖,向量、,在平面內(nèi)任取一點
33、O,作,那么,即表示從向量的終點指向的終點的向量三實數(shù)與向量的積1實數(shù)與向量的積:實數(shù)與向量的積是一個向量,記作,它的長度與方向規(guī)定如下:當時,的方向與的方向相同;當時,的方向與的方向相反2實數(shù)與向量的積所滿足的運算律:設(shè)、為實數(shù),那么:;2平面向量的根本定理及坐標運算一平面向量根本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)、,使二平面向量的坐標:1概念:分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底,對于一個向量,有且只有一對實數(shù)、,使得,那么稱為向量的坐標,記做2平面向量的坐標運算: 設(shè),那么: ; ; 假設(shè)點,那么3.向量平行共線的坐標表示1
34、向量與共線的充要條件是2向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù),使得3平面向量的數(shù)量積及運算律1兩個向量的夾角:兩個非零向量,作,那么叫做向量與的夾角當時,與同向;當時,與反向,如果與的夾角是時,那么稱與垂直,記作2兩個向量的數(shù)量積:兩個非零向量與,它們的夾角為,那么數(shù)量叫做與的數(shù)量積,記作,即:規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即3向量數(shù)量積的幾何意義:叫做向量在方向上的投影,其中當為銳角時,它是正值,當為鈍角時,它是負值,當時,它是0,當時,它是的幾何意義是:數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積4向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)、都是非零向量,是與的夾角,那么:是與方向相同的單位向量 當
35、與同向時,; 當與反向時,;特殊的,或者5向量的數(shù)量積的運算律:;6向量數(shù)量積的坐標運算: 設(shè),那么 假設(shè)向量,垂直的充要條件是2 假設(shè),那么3 設(shè),那么三角函數(shù)1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式一角度與弧度制1弧度與角度的互化:2終邊相同角:與角有相同終邊的角的集合可以表示為:3特殊角的集合: 各個象限的角的集合 第一象限角: 第二象限角: 第三象限角: 第四象限角: 角的終邊在各個坐標軸上的角的集合 終邊在軸的角: 終邊在軸的角: 終邊在坐標軸上的角: 終邊在第一三象限角平分線上: 終邊在第二四象限角平分線上:4弧長公式和扇形面積公式 設(shè)扇形的半徑為,圓心角為,那么弧長,扇形的
36、面積二任意角三角函數(shù)的定義:1定義:以角頂點為原點,始邊為軸的非負半軸建立直角坐標系。在角的終邊上任取不同于原點的一點,設(shè)點與原點的距離為,那么,那么角的六個三角函數(shù)依次為:, , , , 2三角函數(shù)的定義域與值域:定義域值域RRR3三角函數(shù)值的符號:4三角函數(shù)線正弦線、余弦線正切線以角的終邊與單位圓的公共點作軸的垂線軸,垂足為,那么過點作軸的垂線交的終邊或終邊的延長線于點,那么:5同角三角函數(shù)根本關(guān)系式: 商數(shù)關(guān)系:、平方關(guān)系:6三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:,口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限,口訣:正弦與余弦互換,符號看象限7.誘導(dǎo)公式可簡單的概括為:“奇變偶不變,符號看象限,其中“奇變偶不變的含義為
37、:當為奇數(shù)時,的三角函數(shù)值為的余函數(shù),當為偶數(shù)時,的三角函數(shù)值為的原函數(shù);“符號看象限的含義為在的三角函數(shù)前加上一個把看作銳角時原三角函數(shù)值的符號.8特殊角的值0sin01cos10tan01不存在2 三角恒等變換一根本公式:二兩角和與差的正切公式的變形:三二倍角與余弦的變形應(yīng)用1升冪 2降冪 四二倍角與正弦的變形應(yīng)用3 三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)一正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像:1正弦函數(shù)2余弦函數(shù)2正切函數(shù)函 數(shù)名 稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)定義域RR值 域R最 值最小正周 期奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱軸對 稱中 心單調(diào)性增減二三角函數(shù)圖像的根本概念函數(shù)的最大值是,最小值是,周期是,頻率是,相位是
38、,初相是;其圖象的對稱軸是直線,但凡該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。三三角函數(shù)的圖象變換:1:將圖象上各點橫坐標保持不變,縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍得到2:將圖象上各點縱坐標保持不變,橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍得到3:將的圖象向右或向左平移個單位得到4函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象分別經(jīng)過下面的兩種方法得到: 將的圖象向左或向右平移個單位,可得到函數(shù)圖象; 將得到圖象點的縱坐標保持不變,橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍,得到函數(shù)圖象; 將新圖象各點橫坐標保持不變,縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍,可得函數(shù)圖象 將圖象點縱坐標保持不變,橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍,可以得到函數(shù)圖象; 將得到的圖象向
39、左或向右平移個單位就得到函數(shù)圖象; 將新的圖象各點橫坐標保持不變,縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍,可得函數(shù)的圖象老師推薦振幅變化周期變化相位變化四形如的函數(shù)圖像的畫法 五點法,即根據(jù)分別取、時對應(yīng)的與的值描點作出的一個周期的圖像4解三角形一正弦定理: 在一個三角形中,各邊和他所對角的正弦的比都等于該三角形外接圓的直徑,即二余弦定理:三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即:推論:;三相關(guān)結(jié)論:在中,角、所對的邊分別為、, , , , 根據(jù)正弦定理:, 三角形面積公式: 三角形的面積等于三角形任意一邊與對應(yīng)邊上的高的乘積的一半,即: 三角形的面積等于三角形的任意兩
40、邊與其夾角的正弦值乘積的一半,即:5 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角方法求最值的常見函數(shù) 變正弦變余弦導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1導(dǎo)數(shù)的概念及運算一 在處的導(dǎo)數(shù)二函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程是.三 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)C為常數(shù).(2).(3).(4). (5) ;.(6) ;.四 導(dǎo)數(shù)的運算法那么1.2.3.2.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一極值、最值的概念1.極值 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義,是區(qū)間內(nèi)的一個點,如果對于點附近的任意點,都成立,那么稱是函數(shù)的一個極大值;如果對于點附近的任意點,都成立,那么稱是函數(shù)的一個極小值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點統(tǒng)稱極值點2.
41、最值 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得的最大的函數(shù)值叫做函數(shù)的最大值;函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得的最小的函數(shù)值叫做函數(shù)的最小值。最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。二用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及閉區(qū)間上的最值1. 多項式函數(shù)單調(diào)性的判別法(1) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加,此時的叫做單調(diào)增區(qū)間;(2) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減加,時的叫做單調(diào)減區(qū)間。2. 多項式函數(shù)極值的判別法設(shè)假設(shè),那么點叫做函數(shù)的駐點(1) 如果時,;時,那么函數(shù)在處取得極大值。圖6.3(2) 如果時,;時,那么函數(shù)在處取得極小值。圖6.3(3) 如果的兩側(cè),具有相同的符號,那么函數(shù)在處不取得極值。圖6.33. 求多項式函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間、極值
42、的步驟:(1) 求;(2) 令,求出駐點;(3) 分析各駐點是不是極值點,是極大值點還是極小值點;(4) 極大值點左側(cè)緊鄰單調(diào)增區(qū)間,右側(cè)緊鄰單調(diào)減區(qū)間;極小值點左側(cè)緊鄰單調(diào)減區(qū)間,右側(cè)緊鄰單調(diào)增區(qū)間;(5) 將各極值點代入即可得各個極值。數(shù)列1.數(shù)列的概念及其表示一數(shù)列的概念1. 數(shù)列:按照一定順序排列著的一列數(shù)2. 數(shù)列的項:數(shù)列中的每一個數(shù)3. 有窮數(shù)列:項數(shù)有限的數(shù)列4. 無窮數(shù)列:項數(shù)無限的數(shù)列5. 遞增數(shù)列:從第2項起,每一項都不小于它的前一項的數(shù)列6. 遞減數(shù)列:從第2項起,每一項都不大于它的前一項的數(shù)列7. 常數(shù)列:各項相等的數(shù)列8. 擺動數(shù)列:從第2項起,有些項大于它的前一項
43、,有些項小于它的前一項的數(shù)列二數(shù)列的表示1. 數(shù)列的通項公式:表示數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系的公式2. 數(shù)列的遞推公式:表示任一項與它的前一項或前幾項間的關(guān)系的公式3. 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列稱為等差數(shù)列,這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差4. 由三個數(shù),組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列,那么稱為與的等差中項假設(shè),那么稱為與的等差中項5. 數(shù)列的前項和:6. 與的關(guān)系:2.等差數(shù)列及其前n項和一等差數(shù)列的概念定義如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d
44、表示。二等差數(shù)列的判定方法1 定義法:對于數(shù)列,假設(shè)(常數(shù)),那么數(shù)列是等差數(shù)列。 2等差中項:對于數(shù)列,假設(shè),那么數(shù)列是等差數(shù)列。三等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列的首項是,公差是,那么等差數(shù)列的通項為。假設(shè)、,那么說明該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。四等差數(shù)列的前n項和1 2.說明對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)。五等差中項如果,成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項。即:或說明:在一個等差數(shù)列中,從第2項起,每一項有窮等差數(shù)列的末項除外都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上等差數(shù)列中某一項為哪一項與其等距離的前后兩項的等差中項。六等差數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:如果是等
45、差數(shù)列的第項,是等差數(shù)列的第項,公差為,那么有對于等差數(shù)列,假設(shè),那么。假設(shè)某幾項的項數(shù)成等差數(shù)列,那么對應(yīng)的項也成等差數(shù)列,即:假設(shè)假設(shè),那么2也就是:,如下圖:3假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,是其前n項的和,那么,成等差數(shù)列。如以下圖所示:4設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,是奇數(shù)項的和,是偶數(shù)項項的和,是前n項的和,那么有如下性質(zhì):前n項的和當n為偶數(shù)時,其中d為公差;當n為奇數(shù)時,那么,其中是等差數(shù)列的中間一項。5假設(shè)等差數(shù)列的前項的和為,等差數(shù)列的前項的和為,那么。七證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法:1利用定義證明:2利用等差中項證明:3利用通項公式證明:4利用前項和公式證明:注: 前項和公式的推導(dǎo)使用的是倒序相加法
46、的方法 在數(shù)列中,通項公式,前項和公式均是關(guān)于項數(shù)的函數(shù),在等差數(shù)列通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系,前項和公式是關(guān)于的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)關(guān)系 在等差數(shù)列中包含、這五個根本量,上述的公式中均含有4根本量,因此在數(shù)列運算中,只需知道其中任意3個,可以求出其余根本量2.等比數(shù)列及其前n項和一等比數(shù)列的概念定義如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示。二等比中項如果在與之間插入一個數(shù),使,成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項。也就是,如果是的等比中項,那么,即。三等比數(shù)列的判定方法1 定義法:對于數(shù)列,假設(shè),
47、那么數(shù)列是等比數(shù)列。 2等比中項:對于數(shù)列,假設(shè),那么數(shù)列是等比數(shù)列。四等比數(shù)列的通項公式如果等比數(shù)列的首項是,公比是,那么等比數(shù)列的通項為。五等比數(shù)列的前n項和當時,六等比數(shù)列的性質(zhì)1等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:如果是等比數(shù)列的第項,是等差數(shù)列的第項,那么有對于等比數(shù)列,假設(shè),那么假設(shè)某幾項的項數(shù)成等差數(shù)列,那么對應(yīng)的項成等比數(shù)列,即:假設(shè),那么也就是:。如下圖:4假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,是其前n項的和,那么,成等比數(shù)列。如以下圖所示:3數(shù)列求和1常見數(shù)列的前n項和: 自然數(shù)數(shù)列:1,2,3,n, 奇數(shù)列:1,3,5, 偶數(shù)列:2,4,6, 自然數(shù)平方數(shù)列:, 2等差、等比數(shù)列:利用等差、等比數(shù)列的求和公式3數(shù)列滿足:,其中、為等差或者等比數(shù)列方法:拆項,轉(zhuǎn)化成兩個等差或等比各項的和差4數(shù)列滿足:,其中是公差為的等差數(shù)列;是公比為的等比數(shù)列方法:錯位相減 5假設(shè)數(shù)列滿足:,其中、均為常數(shù)方法:裂項法,設(shè),其中為可確定的參數(shù)不等式1不等式的概念和性質(zhì)、根本不等式一兩個實數(shù)比擬大小的依據(jù):二反對稱性:如果,那么;如果,那么三傳遞性:如果,且,那么四加法性質(zhì):如果,那么 推論1:如果,那么 推論2:如果,那么 推論3:如果,那么五乘法性質(zhì):如果,那么; 如果,那么 推論1:如
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 酒店管理晉升路徑
- 酒店管理工作目標
- All Touch移動信息化管理平臺介紹課件
- 2025-2030全球動畫工作室行業(yè)調(diào)研及趨勢分析報告
- 2025年全球及中國超細玻璃棉行業(yè)頭部企業(yè)市場占有率及排名調(diào)研報告
- 2025-2030全球機器人電子皮膚行業(yè)調(diào)研及趨勢分析報告
- 2025年全球及中國光伏增效膜行業(yè)頭部企業(yè)市場占有率及排名調(diào)研報告
- 2025年全球及中國近紅外(NIR)超透鏡行業(yè)頭部企業(yè)市場占有率及排名調(diào)研報告
- 2025年全球及中國3D感知數(shù)智化解決方案行業(yè)頭部企業(yè)市場占有率及排名調(diào)研報告
- 2025-2030全球數(shù)字布局軟件行業(yè)調(diào)研及趨勢分析報告
- 2025年新能源汽車銷售傭金返點合同范本6篇
- 食材配送公司機構(gòu)設(shè)置及崗位職責(zé)
- 2023年版一級建造師-水利工程實務(wù)電子教材
- 房地產(chǎn)工程管理 -中建八局機電工程質(zhì)量通病治理辦法
- GB/T 6403.4-2008零件倒圓與倒角
- GB/T 2518-2019連續(xù)熱鍍鋅和鋅合金鍍層鋼板及鋼帶
- 企業(yè)合規(guī)管理-課件
- 火電廠安全工作規(guī)程
- GB∕T 33047.1-2016 塑料 聚合物熱重法(TG) 第1部分:通則
- 特發(fā)性肺纖維化IPF
- FIDIC國際合同條款中英文對照.doc
評論
0/150
提交評論