上海理科數(shù)學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案解析

1、2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（選擇題共50分）一、填空題（本大題共14 小題，共 56 分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分（ 1）【 2015 年上海，理1】設(shè)全集 UR ，若集合 A1,2,3,4, Bx | 2 x 3 ，則 AeU B【答案】 1,4【解析】根據(jù)題意，可得eU Bx | x3或 x2，故 AeU B1,4【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算，熟練掌握集合的交并補(bǔ)的運(yùn)算規(guī)則是解本題的關(guān)鍵本題考查了推理判斷的能力（ 2）【 2015 年上海，理2】若復(fù)數(shù) z 滿足 3zz1i ，其中

2、i為虛數(shù)單位，則 z【答案】 11i42【解析】設(shè) zx yi x, yR ，根據(jù)題意，有zxyi ，可把 3 zz 1 i 化簡成 3x 3 yix yi 1 i ，對(duì)于系數(shù)相等可得出x1 , y1 ，z11 i 4242【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，屬于基礎(chǔ)題（ 3）【 2015 年上海，理3】若線性方程組的增廣矩陣為23c1 、解為x3，則 c1c201c2y5【答案】 16【解析】根據(jù)增廣矩陣的定義可以還原成方程組2 xy3yc1 把 x3代入，可得 c121,c2 5 ，c1 c2 16 0c2y5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查增廣矩陣的求解，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系是解決本題的關(guān)

3、鍵（ 4）【 2015 年上海，理4】若正三棱柱的所有棱長均為a ，且其體積為163 ，則 a【答案】 4【解析】根據(jù)正三棱柱的體積計(jì)算公式V hS底 =a13aa3a3163a4 224【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正棱柱的定義以及體積公式，屬于基礎(chǔ)題（ 5）【 2015 年上海，理5】拋物線20 上的動(dòng)點(diǎn) Q 到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則 py 2 px p【答案】 2【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，我們知道當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q 運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)的時(shí)候，才與拋物線焦點(diǎn)的距離的最小，所以有 QPmin 1p ,p2 2【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)（ 6）【2015 年上海，理 6】若

4、圓錐的側(cè)面積與過軸的截面積面積之比為2，則其母線與軸的夾角的大小為【答案】3【解析】設(shè)這個(gè)圓錐的母線長為h '，底面半徑為 r ，母線與軸的夾角為，所以 S側(cè)= 1l h' ，而過軸的截面是一121'2S側(cè)lh'個(gè)三角形，故，有222，2rhhhr，所以軸SS軸122rh21h'2h, hh'2r 2 ,h'2， sinr3,r3h'23【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，其中根據(jù)已知求出圓錐的母線與軸的夾角的余弦值，是解答的關(guān)鍵（ 7）【 2015 年上海，理 7】方程 log29x 15log23x 122 的解為【答案】 29

5、x1502【解析】由條件可得3x 1203x 14 3x130, 3x 133x 1 10，9x154 3x 123x13,x2,3x11,x1 ，所以 x1或 x2，檢驗(yàn)后只有x2 符合【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及其方程的解法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題（ 8）【 2015 年上海， 理 8】在報(bào)名的3 名男教師和6 名女教師中， 選取 5 人參加義務(wù)獻(xiàn)血， 要求男、女教師都有，則不同的選取方法的種數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】 120【解析】解法一：這里男女老師都要有的話，可以分男1、女 4，男 2、女 3 和男 3、女 4，142332456015120 所以有 C3

6、C6C3 C6C3 C6解法二：C95根據(jù)題意，報(bào)名的有3 名男老師和6 名女教師，在9 名老師中選取5 人，參加義務(wù)獻(xiàn)血，有=126種；其中只有女教師的有5種情況；則男、女教師都有的選取方式的種數(shù)為126 6=120 種C6 =6【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的運(yùn)用，本題適宜用排除法（間接法），可以避免分類討論，簡化計(jì)算（ 9）【 2015 年上海，理9】已知點(diǎn) P 和 Q 的橫坐標(biāo)相同，P 的縱坐標(biāo)是 Q 的縱坐標(biāo)的 2倍， P和Q的軌跡分別為雙曲線 C1和 C2 ，若 C1 的漸近線方程為y3x ，則 C2 的漸近線方程為【答案】 y3x2【解析】設(shè)點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)為x, y、 x0 , y0

7、xx0，又因?yàn)?C1 的漸近線方程為y3 x ，故設(shè) C1 的，則有y2 y0方程為 3x2y2，把 P 點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得3x024 y02，令0 ，3x2 y0即為曲線 C2 的漸近線方程，即 y3x 2【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)（ 10）【 2015 年上海，理10】設(shè) f1 x 為 fx2x2x , x0,2 的反函數(shù)，則 yfxf1x 的最大值2為【答案】 4【解析】通過分析，我們可得函數(shù)x2x0,21，由反函數(shù)的fx2在定義域上是單調(diào)遞增的，且值域?yàn)?42定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域以及反函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性相同，可得f1x

8、的定義域?yàn)?，值域?yàn)?0,2，又原函數(shù)與反函數(shù)的公共定義域?yàn)?，故2244ym a xf m a2xfm1 a 2x4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象間的關(guān)系，考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題110（ 11）【 2015 年上海，理11】在 1x的展開式中，2項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）x2015x【答案】 4511010101010【解析】在1x21x2015中要得到 x 項(xiàng)的系數(shù)，肯定不能含有2015 項(xiàng)，故只有 C10 1 xx2015x ，x2而對(duì)于1x10， x2項(xiàng)的系數(shù)為 C102 18 x245 【點(diǎn)評(píng)】本題考本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的記憶與運(yùn)用，

9、是基礎(chǔ)題（ 12）【 2015 年上海，理12】賭博有陷阱某種賭博每局的規(guī)則是：賭客現(xiàn)在標(biāo)有1,2,3,4,5 的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4 倍作為其獎(jiǎng)金 （單位： 元）若隨機(jī)變量1 和2 分別表示賭客在每一局賭博中的賭金與獎(jiǎng)金，則 E 1E 2（元）【答案】 0.2【解析】由題可知，P21.444 , P22.833 , P24.222 , P2 5.61 ，C5210C5210C521010所以，1 和 2的分布列分別為：1.42.84.25.61234521432111111PP10101

10、010555551123 453, E1.40.42.80.34.2 0.25.6 0.12.8 ，即有 E 1E 2 0.2E 125【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，根據(jù)概率的公式分別進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵（ 13）【 2015 年上海，理13】已知函數(shù)fxsin x ，若 x1 , x2 , xm 存在滿足 0x1 x2xm6 ，且f x1 fx2f x2fx3fxm 1fxm12 m2,m N *，則 m 的最小值為【答案】 8【解析】對(duì)任意的xi , xj， fxif xjfxmaxfx min2 ，欲使 m 取最小值，盡可能多的讓 xi i1,2, m取最值

11、點(diǎn)，考慮到0x1x2xm6，f xf x2f xf xf xf x12 m 2, m N*，123m 1m按照右圖所示取值可以滿足條件，所以m 的最小值為 8【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察正弦函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合是本題關(guān)鍵（ 14）【 2015 年上海，理14】在銳角ABC 中， tan A1 ， D 為 BC 邊上的一點(diǎn)，ABD 與ACD 面積分別為 22和4，過 D作DE AB于E，DFAC于F，則 DEDF16【答案】15【解析】由題可知，cos EDF1AB DE 2， S ACD1，cos A ， S ABDACDF 422S ABC12AB AC sin A 6 ，所以 DE4， DF8，

12、AB12ABACACsin A4832DEDFDEDF cosEDFcos Acos A ，ABACAB AC化簡可得8442tan A16DE DFsin A cos Asin 2 A3 121533tan A【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了三角函數(shù)的化簡與求值，是中檔題二、選擇題（本大題共有4 題，滿分20 分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)位置填涂，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，選對(duì)得 5分，否則一律得零分（ 15）【 2015 年上海，理15】設(shè) z1, z2C ，則 “z1 , z2 中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是 “z1 z2 是虛數(shù) ”的（）（ A ）充分非必

13、要條件（ B）必要非充分條件（ C）充要條件（D ）既非充分也非必要條件【答案】 B【解析】充分性不成立，如z11 i ， z22 i ， z1 z21不是虛數(shù)；必要性成立，采用反證法，若z1, z2 全不是虛數(shù)，即 z1 , z2 均為實(shí)數(shù)，則 z1z2 比為實(shí)數(shù)，所以z1 z2 是虛數(shù)，則 z1 , z2 中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)，故選 B3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵（ 16）【 2015 年上海，理16】已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為4 3,1，將 OA 繞坐標(biāo)原點(diǎn) O 逆時(shí)針轉(zhuǎn)至OB ，則B的縱坐標(biāo)為（）3（ A ）3353（C） 11（

14、D） 132（ B）2【答案】 D22【解析】以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè) A,，則 B,3，且nis1， cos43 ，B 的縱坐標(biāo)為：sin31sin3cos134313 ，故選 D22222【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)三角函數(shù)的定義以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵（ 17）【 2015 年上海，理17】記方程：x2a1 x10，方程： x2a 2 x20 ，方程： x2a3 x40，其中 a1, a2 , a3 是正實(shí)數(shù)當(dāng) a1 , a2 , a3成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程無實(shí)根的是（）（ A ）方程有實(shí)根，且有實(shí)根（ B）方程有實(shí)根

15、，且無實(shí)根（ C）方程無實(shí)根，且有實(shí)根（ D ）方程無實(shí)根，且無實(shí)根【答案】 B【解析】 方程無實(shí)根， 則3a2160 ，又1a24，2a28，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，a22a a，3312a1 , a2 ,a1 32a222即有 a3a2，由 3216160 ，即420 得 a3a1a216a1 ，當(dāng)方程有實(shí)根，且無實(shí)根時(shí)，a1a124， a228 ，可以推出 a246416416a12 ，故選 B【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查方程根存在性與判別式 之間的關(guān)系， 結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)判斷判別式 的取值關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵（ 18）【 2015 年上海，理18】設(shè) Pnxn , yn是直線 2xynn*與

16、圓x2y22 在第一象限的交點(diǎn)，則極nNyn1 （1限 lim）nxn1（A） 1（ B ）1（C）1（D）22【答案】 A【解析】采用極限思想求解當(dāng)n時(shí)，直線 2xyn1nN*趨向于 2 xy1 ，直線與圓的交點(diǎn)趨向于yn1 可以理解為過點(diǎn) P 1,1nP 1,1， lim所作的圓的切線的斜率k ，設(shè)切線方程為y1 k x1 ，結(jié)合n xn 1dr ，即1 k2 ，解之 k1 ，即 limyn121，故選 Ak1nxn1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極限思想、圓的切線的斜率、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題三、解答題（本題共5 題，滿分 74 分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定

17、區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟（ 19）【 2015 年上海，理19】（本小題滿分 12 分）如圖，在長方體中ABCD A1 B1C1D1 ，AA11，ABAD2， E 、 F 分別是棱 AB 、 BC 的中點(diǎn)，證明A1、C1、 F 、E四點(diǎn)共面，并求直線CD1 與平面 A1 C1 FE 所成角的大小解：由于 E 、 F 分別是棱 AB 、 BC 的中點(diǎn)，所以 EF / / AC ，又 AC / / AC11 ，所以 EF / /AC1 1，由公理三的推論，可知A1 、 C1 、 F 、 E 四點(diǎn)共面連接 A1F 、 A1B 由于 CD1 / / A1B ，所以直線 CD1 與平面 A1 C1 FE 所

18、成角的大小與A1 B 與平面 A1C1FE 所成角的大小相等 設(shè) A1B與平面FE 所成角為，點(diǎn) B 到平面sindEFB 中，體積1 111A CA EF 的距離為 d ，則，在三棱錐 AA1B4VAEFB VB A1EF ，所以 1S EFBAA11S AEFd ，即 dS EFBAA1 ，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)， 可以計(jì)算出 S EFB1 ，331S AEF21AFA1 B5， A1FEF2，A1F6 ，由此可以計(jì)算出S AEF33，所以 d，123所以 sind15 ，即arcsin15 ，所以直線 CD1 與平面 A1C1FE 所成角的大小為arcsin15 A1B151515【點(diǎn)評(píng)】本題主

19、要考查利用空間直角坐標(biāo)系求出二面角的方法，屬高考?？碱}型；本題也可采用空間向量解決（ 20）【 2015 年上海，理20】（本小題滿分14 分）如圖， A 、 B 、 C 三地有直道相通，AB5 千米， AC3千米， BC4 千米，現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從A 地出發(fā)勻速前往B 地，經(jīng)過 t 小時(shí)，他們之間的距離為f t（單位：千米） 甲的路線是AB ，速度是5千米 /小時(shí)，乙的路線是ACB ，速度為8 千米 / 小時(shí)乙到達(dá) B地后原地等待，設(shè)t t1 時(shí)，乙到達(dá) C 地（）求 t1 與 ft1的值；（）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離為3 千米當(dāng) t1t1時(shí)，求 ft的表達(dá)式，并判斷 f t在 t1

20、 ,1上的最大值是否超過3？說明理由解：（）由題中條件可知t13 小時(shí)，此時(shí)甲與A 點(diǎn)距離為 15千米，由余弦定理可知882152153369341f t192，所以 f t16 分8356488（）易知，當(dāng)t7 時(shí)乙到達(dá) B 位置，所以8當(dāng) 3t7 時(shí)，ft1278t255t22 7 8t55t425t 242t18 ；885725t 242t18, 3t17當(dāng)t1 時(shí)， ft5 5t；綜合，ft888755tt1,8當(dāng) 3t21 時(shí)， ft單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?,3 41 ；82558當(dāng) 21t7 時(shí)， ft單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?,5 ；25858當(dāng) 7t1 時(shí)， ft單調(diào)遞減

21、，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?,5；880, 3412由此，函數(shù)f t在 t1 ,1 上的值域?yàn)?，?419，即 3 413 ，888所以 f t在 t1 ,1 上的最大值沒有超過314 分【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及余弦定理和分段函數(shù)，屬中檔題（ 21）【 2015 年上海，理21】（本小題滿分14 分）已知橢圓 x22 y21 ，過原點(diǎn)的兩條直線l1 和 l2分別與橢圓交于點(diǎn) A、B 和 C、 D ，記得到的平行四邊形ACBD 的面積為 S （）設(shè) A x1, y1， Cx2 , y2 用 A、 C 坐標(biāo)表示點(diǎn) C 到直線 l1 的距離，并證明S2 x1 y2x2 y1 ；（）設(shè) l1 與 l2的斜率之積為1 ，求面積 S 的值2解：（）由題易知A、 C 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能同時(shí)為零，下面分兩種情況：當(dāng) A、 C 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)有一個(gè)為零時(shí)，不妨設(shè)x1 0， x20 不失一般性，此時(shí)l1 與 y 軸重合， C 到直線 l1