高考新課標數(shù)學數(shù)列大題精選50題(含答案、知識卡片)(共31頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高考新課標數(shù)學數(shù)列大題精選50題（含答案、知識卡片）一解答題（共50題）1 （2019全國）數(shù)列an中，a1，2an+1an+an+1an0（1）求an的通項公式；（2）求滿足a1a2+a2a3+an1an的n的最大值2（2019新課標）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S9a5（1）若a34，求an的通項公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范圍3（2019新課標）已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4（1）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（2）求an和bn的通項公式4（2019新課標）已知an

2、是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a12，a32a2+16（1）求an的通項公式；（2）設bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項和5（2018新課標）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a17，S315（1）求an的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值6（2018新課標）已知數(shù)列an滿足a11，nan+12（n+1）an，設bn（1）求b1，b2，b3；（2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求an的通項公式7（2018新課標）等比數(shù)列an中，a11，a54a3（1）求an的通項公式；（2）記Sn為an的前n項和若Sm63，求m8（2017全國）設數(shù)列bn的各項都為正數(shù)，且（1）證明數(shù)列

3、為等差數(shù)列；（2）設b11，求數(shù)列bnbn+1的前n項和Sn9（2017新課標）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，a11，b11，a2+b22（1）若a3+b35，求bn的通項公式；（2）若T321，求S310（2017新課標）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和已知S22，S36（1）求an的通項公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列11（2017新課標）設數(shù)列an滿足a1+3a2+（2n1）an2n（1）求an的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和12（2016全國）已知數(shù)列an的前n項和Snn2（）求an的通項公式；（）記bn，求數(shù)列bn的前

4、n項和13（2016新課標）已知數(shù)列an的前n項和Sn1+an，其中0（1）證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若S5，求14（2016新課標）已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，anbn+1+bn+1nbn（）求an的通項公式；（）求bn的前n項和15（2016新課標）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，an2（2an+11）an2an+10（1）求a2，a3；（2）求an的通項公式16（2016新課標）等差數(shù)列an中，a3+a44，a5+a76（）求an的通項公式；（）設bnan，求數(shù)列bn的前10項和，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，2.6217（2

5、016新課標）Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728，記bnlgan，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg991（）求b1，b11，b101；（）求數(shù)列bn的前1000項和18（2015全國）已知數(shù)列an的前n項和Sn4an（）證明：數(shù)列2nan是等差數(shù)列；（）求an的通項公式19（2015新課標）Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通項公式：（）設bn，求數(shù)列bn的前n項和數(shù)列全國高考數(shù)學試題參考答案與試題解析一解答題（共50小題）1（2019全國）數(shù)列an中，a1，2an+1an+an+1an0（1）求an的通項公式；（2）求滿足

6、a1a2+a2a3+an1an的n的最大值【分析】（1）由2an+1an+an+1an0可得，可知數(shù)列是等差數(shù)列，求出的通項公式可得an；（2）由（1）知，然后利用裂項相消法求出a1a2+a2a3+an1an，再解不等式可得n的范圍，進而得到n的最大值【解答】解：（1）2an+1an+an+1an0，又，數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列， ，；（2）由（1）知，a1a2+a2a3+an1an，a1a2+a2a3+an1an，4n+242，n10，nN*，n的最大值為9【點評】本題考查了等差數(shù)列的定義，通項公式和裂項相消法求出數(shù)列的前n項和，考查了轉(zhuǎn)化思想，關鍵是了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推

7、公式與通項公式的異同，會根據(jù)數(shù)列的遞推公式構(gòu)造新數(shù)列，屬中檔題2（2019新課標）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S9a5（1）若a34，求an的通項公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范圍【分析】（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列an中，設其公差為d，由S9a5，即可得S99a5a5，變形可得a50，結(jié)合a34，計算可得d的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式計算可得答案；（2）若Snan，則na1+da1+（n1）d，分n1與n2兩種情況討論，求出n的取值范圍，綜合即可得答案【解答】解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列an中，設其公差為d，若S9a5，則S99a5a5，變形可得a50，即a1+4d0，若a

8、34，則d2，則ana3+（n3）d2n+10，（2）若Snan，則na1+da1+（n1）d，當n1時，不等式成立，當n2時，有da1，變形可得（n2）d2a1，又由S9a5，即S99a5a5，則有a50，即a1+4d0，則有（n2）2a1，又由a10，則有n10，則有2n10，綜合可得：n的取值范圍是n|1n10，nN【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項和公式，涉及數(shù)列與不等式的綜合應用，屬于基礎題3（2019新課標）已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4（1）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（2）求an和bn的

9、通項公式【分析】（1）定義法證明即可；（2）由（1）結(jié)合等差、等比的通項公式可得【解答】解：（1）證明：4an+13anbn+4，4bn+13bnan4；4（an+1+bn+1）2（an+bn），4（an+1bn+1）4（anbn）+8；即an+1+bn+1（an+bn），an+1bn+1anbn+2；又a1+b11，a1b11，an+bn是首項為1，公比為的等比數(shù)列，anbn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）可得：an+bn（）n1，anbn1+2（n1）2n1；an（）n+n，bn（）nn+【點評】本題考查了等差、等比數(shù)列的定義和通項公式，是基礎題4（2019新課標）已知an是

10、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a12，a32a2+16（1）求an的通項公式；（2）設bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項和【分析】（1）設等比數(shù)列的公比，由已知列式求得公比，則通項公式可求；（2）把（1）中求得的an的通項公式代入bnlog2an，得到bn，說明數(shù)列bn是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項和公式求解【解答】解：（1）設等比數(shù)列的公比為q，由a12，a32a2+16，得2q24q+16，即q22q80，解得q2（舍）或q4；（2）bnlog2an，b11，bn+1bn2（n+1）12n+12，數(shù)列bn是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列bn的前n項和【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)

11、列的通項公式及前n項和，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎題5（2018全國）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1，an0，an+1（Sn+1+Sn）2（1）求Sn； （2）求+【分析】（1）由數(shù)列遞推式可得（Sn+1Sn）（Sn+1+Sn）2，可得Sn+12Sn22，運用等差數(shù)列的定義和通項公式可得所求Sn；（2）化簡（）（），再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理可得所求和【解答】解：（1）a1，an0，an+1（Sn+1+Sn）2，可得（Sn+1Sn）（Sn+1+Sn）2，可得Sn+12Sn22，即數(shù)列Sn2為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，可得Sn22+2（n1）2n，由an0，可得Sn；（2

12、）（）（），即+（1+2+）（1）【點評】本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題6（2018新課標）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a17，S315（1）求an的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【分析】（1）根據(jù)a17，S315，可得a17，3a1+3d15，求出等差數(shù)列an的公差，然后求出an即可；（2）由a17，d2，an2n9，得Snn28n（n4）216，由此可求出Sn以及Sn的最小值【解答】解：（1）等差數(shù)列an中，a17，S315，a17，3a1+3d15，解得a17，d2，an7+2（n1）2n

13、9；（2）a17，d2，an2n9，Snn28n（n4）216，當n4時，前n項的和Sn取得最小值為16【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公式，屬于中檔題7（2018新課標）已知數(shù)列an滿足a11，nan+12（n+1）an，設bn（1）求b1，b2，b3；（2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求an的通項公式【分析】（1）直接利用已知條件求出數(shù)列的各項（2）利用定義說明數(shù)列為等比數(shù)列（3）利用（1）（2）的結(jié)論，直接求出數(shù)列的通項公式【解答】解：（1）數(shù)列an滿足a11，nan+12（n+1）an，則：（常數(shù)），由于，故：，數(shù)列bn是以b1為首

14、項，2為公比的等比數(shù)列整理得：，所以：b11，b22，b34（2）由于（常數(shù)），數(shù)列bn是為等比數(shù)列；（3）由（1）得：，根據(jù)，所以：【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用8（2018新課標）等比數(shù)列an中，a11，a54a3（1）求an的通項公式；（2）記Sn為an的前n項和若Sm63，求m【分析】（1）利用等比數(shù)列通項公式列出方程，求出公比q±2，由此能求出an的通項公式（2）當a11，q2時，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，無解；當a11，q2時，Sn2n1，由此能求出m【解答】解：（1）等比數(shù)列an中，a11，a54a31×q44×（1

15、×q2），解得q±2，當q2時，an2n1，當q2時，an（2）n1，an的通項公式為，an2n1，或an（2）n1（2）記Sn為an的前n項和當a11，q2時，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，無解；當a11，q2時，Sn2n1，由Sm63，得Sm2m163，mN，解得m6【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題9（2017全國）設數(shù)列bn的各項都為正數(shù)，且（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設b11，求數(shù)列bnbn+1的前n項和Sn【分析】（1）對已知等式兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得證

16、；（2）由等差數(shù)列的通項公式可得，所以，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到所求和【解答】解：（1）證明：數(shù)列bn的各項都為正數(shù)，且，兩邊取倒數(shù)得，故數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1，首項為；（2）由（1）得，故，所以，因此【點評】本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式，考查構(gòu)造數(shù)列法，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡運算能力，屬于中檔題10（2017新課標）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，a11，b11，a2+b22（1）若a3+b35，求bn的通項公式；（2）若T321，求S3【分析】（1）設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，運用等差數(shù)

17、列和等比數(shù)列的通項公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通項公式；（2）運用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，再由等差數(shù)列的通項公式和求和，計算即可得到所求和【解答】解：（1）設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，a11，b11，a2+b22，a3+b35，可得1+d+q2，1+2d+q25，解得d1，q2或d3，q0（舍去），則bn的通項公式為bn2n1，nN*；（2）b11，T321，可得1+q+q221，解得q4或5，當q4時，b24，a2242，d2（1）1，S31236；當q5時，b25，a22（5）7，d7（1）8，S31+7+1521【點評】本題考查等差數(shù)列和等

18、比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，求出公差和公比是解題的關鍵，考查方程思想和化簡整理的運算能力，屬于基礎題11（2017新課標）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和已知S22，S36（1）求an的通項公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列【分析】（1）由題意可知a3S3S2628，a1，a2，由a1+a22，列方程即可求得q及a1，根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即可求得an的通項公式；（2）由（1）可知利用等比數(shù)列前n項和公式，即可求得Sn，分別求得Sn+1，Sn+2，顯然Sn+1+Sn+22Sn，則Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列【解答】解：（1）設等比數(shù)列an首項為a1，公比

19、為q，則a3S3S2628，則a1，a2，由a1+a22，+2，整理得：q2+4q+40，解得：q2，則a12，an（2）（2）n1（2）n，an的通項公式an（2）n；（2）由（1）可知：Sn2+（2）n+1，則Sn+12+（2）n+2，Sn+22+（2）n+3，由Sn+1+Sn+22+（2）n+22+（2）n+3，4+（2）×（2）n+1+（2）2×（2）n+1，4+2（2）n+12×（2+（2）n+1）2Sn，即Sn+1+Sn+22Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列【點評】本題考查等比數(shù)列通項公式，等比數(shù)列前n項和，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中

20、檔題12（2017新課標）設數(shù)列an滿足a1+3a2+（2n1）an2n（1）求an的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和【分析】（1）利用數(shù)列遞推關系即可得出（2）利用裂項求和方法即可得出【解答】解：（1）數(shù)列an滿足a1+3a2+（2n1）an2nn2時，a1+3a2+（2n3）an12（n1）（2n1）an2an當n1時，a12，上式也成立an（2）數(shù)列的前n項和+1【點評】本題考查了數(shù)列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題13（2016全國）已知數(shù)列an的前n項和Snn2（）求an的通項公式；（）記bn，求數(shù)列bn的前n項和【分析】（）運用數(shù)列的遞推式：a1S1；n

21、2時，anSnSn1，計算可得所求通項；（）化簡bn（），再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，計算可得所求和【解答】解：（）數(shù)列an的前n項和Snn2，可得a1S11；n2時，anSnSn1n2（n1）22n1，上式對n1也成立，則an2n1，nN*；（）bn（），則數(shù)列bn的前n項和為（1+）（1）【點評】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題14（2016新課標）已知數(shù)列an的前n項和Sn1+an，其中0（1）證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若S5，求【分析】（1）根據(jù)數(shù)列通項公式與前n項和公式之間的

22、關系進行遞推，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行證明求解即可（2）根據(jù)條件建立方程關系進行求解就可【解答】解：（1）Sn1+an，0an0當n2時，anSnSn11+an1an1anan1，即（1）anan1，0，an010即1，即，（n2），an是等比數(shù)列，公比q，當n1時，S11+a1a1，即a1，an（）n1（2）若S5，則若S51+（）4，即（）51，則，得1【點評】本題主要考查數(shù)列遞推關系的應用，根據(jù)n2時，anSnSn1的關系進行遞推是解決本題的關鍵考查學生的運算和推理能力15（2016新課標）已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，anbn+1+bn+1nbn（）求an的通項

23、公式；（）求bn的前n項和【分析】（）令n1，可得a12，結(jié)合an是公差為3的等差數(shù)列，可得an的通項公式；（）由（1）可得：數(shù)列bn是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，進而可得：bn的前n項和【解答】解：（）anbn+1+bn+1nbn當n1時，a1b2+b2b1b11，b2，a12，又an是公差為3的等差數(shù)列，an3n1，（）由（I）知：（3n1）bn+1+bn+1nbn即3bn+1bn即數(shù)列bn是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，bn的前n項和Sn（13n）【點評】本題考查的知識點是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項公式，數(shù)列的前n項和公式，難度中檔16（2016新課標）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足

24、a11，an2（2an+11）an2an+10（1）求a2，a3； （2）求an的通項公式【分析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式，令n1可得a12（2a21）a12a20，將a11代入可得a2的值，進而令n2可得a22（2a31）a22a30，將a2代入計算可得a3的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，將an2（2an+11）an2an+10變形可得（an2an+1）（an+an+1）0，進而分析可得an2an+1或anan+1，結(jié)合數(shù)列各項為正可得an2an+1，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得an是首項為a11，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式計算可得答案【解答】解：（1）根據(jù)題意，an2（2a

25、n+11）an2an+10，當n1時，有a12（2a21）a12a20，而a11，則有1（2a21）2a20，解可得a2，當n2時，有a22（2a31）a22a30，又由a2，解可得a3，故a2，a3；（2）根據(jù)題意，an2（2an+11）an2an+10，變形可得（an2an+1）（an+1）0，即有an2an+1或an1，又由數(shù)列an各項都為正數(shù)，則有an2an+1，故數(shù)列an是首項為a11，公比為的等比數(shù)列，則an1×（）n1（）n1，故an（）n1【點評】本題考查數(shù)列的遞推公式，關鍵是轉(zhuǎn)化思路，分析得到an與an+1的關系17（2016新課標）等差數(shù)列an中，a3+a44，a

26、5+a76（）求an的通項公式；（）設bnan，求數(shù)列bn的前10項和，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，2.62【分析】（）設等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)已知構(gòu)造關于首項和公差方程組，解得答案；（）根據(jù)bnan，列出數(shù)列bn的前10項，相加可得答案【解答】解：（）設等差數(shù)列an的公差為d，a3+a44，a5+a76，解得：，an；（）bnan，b1b2b31，b4b52，b6b7b83，b9b104故數(shù)列bn的前10項和S103×1+2×2+3×3+2×424【點評】本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，難度中檔18（2016新

27、課標）Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728，記bnlgan，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg991（）求b1，b11，b101；（）求數(shù)列bn的前1000項和【分析】（）利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，求出通項公式，然后求解b1，b11，b101；（）找出數(shù)列的規(guī)律，然后求數(shù)列bn的前1000項和【解答】解：（）Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728，7a428可得a44，則公差d1ann，bnlgn，則b1lg10，b11lg111，b101lg1012（）由（）可知：b1b2b3b90，b10b11b12b991b100b101b102b103b9992

28、，b10，003數(shù)列bn的前1000項和為：9×0+90×1+900×2+31893【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，考查分析問題解決問題的能力，以及計算能力19（2015全國）已知數(shù)列an的前n項和Sn4an（）證明：數(shù)列2nan是等差數(shù)列；（）求an的通項公式【分析】（）當n1時，解得a11，當n2時，Sn4an，Sn14an1兩式相減，得2an，由此能證明數(shù)列2nan是首項為2，公差為2的等差數(shù)列（）求出2nan2+（n1）×（2）42n，由此能求出an的通項公式【解答】證明：（）數(shù)列an的前n項和Sn4an當n1時，解得a11，當n2時，Sn

29、4an，Sn14an1兩式相減，得2an，2×2nan2×2nan2×2n1an14，2n1an12，又2a12，數(shù)列2nan是首項為2，公差為2的等差數(shù)列（）數(shù)列2nan是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，2nan2+（n1）×（2）42n，anan的通項公式為an【點評】本題考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、構(gòu)造法等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題19（2015新課標）Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通項公式：（）設bn，求數(shù)列bn的前n項和【分析】（

30、I）根據(jù)數(shù)列的遞推關系，利用作差法即可求an的通項公式：（）求出bn，利用裂項法即可求數(shù)列bn的前n項和【解答】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3兩式相減得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，當n1時，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，則an是首項為3，公差d2的等差數(shù)列，an的通項公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），數(shù)列bn的前n項和Tn（+）（）【點評】本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，利

31、用裂項法是解決本題的關鍵考點卡片1等差數(shù)列的性質(zhì)【等差數(shù)列】等差數(shù)列的通項公式為：ana1+（n1）d；前n項和公式為：Snna1+n（n1）或Sn （nN+），另一重要特征是若p+q2m，則有2amap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）例：已知等差數(shù)列an中，a1a2a3an且a3，a6為方程x210x+160的兩個實根（1）求此數(shù)列an的通項公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由解：（1）由已知條件得a32，a68又an為等差數(shù)列，設首項為a1，公差為d，a1+2d2，a1+5d8，解得a12，d2an2+（n1）×22n4（nN*）數(shù)列an的通項公

32、式為an2n4（2）令2682n4（nN*），解得n136268是此數(shù)列的第136項這是一個很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項和第幾項是多少，然后套用等差數(shù)列的通項公式ana1+（n1）d，求出首項和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了第二問判斷某個數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項，其實就是要你檢驗看符不符合通項公式，帶進去檢驗一下就是的【等差數(shù)列的性質(zhì)】（1）若公差d0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d0，則為常數(shù)列； （2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和； （3）m，nN+，則aman+（mn）d；（4）若s，t，p，qN*，且s+tp

33、+q，則as+atap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當s+t2p時，有as+at2ap； （5）若數(shù)列an，bn均是等差數(shù)列，則數(shù)列man+kbn仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)（6）an，an1，an2，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為d（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1an+an+2，2ananm+an+m，（nm+1，n，mN+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）2等差數(shù)列的通項公式【知識點的認識】ana1+（n1）d，或者anam+（nm

34、）d【例題解析】eg1：已知數(shù)列an的前n項和為Snn2+1，求數(shù)列an的通項公式，并判斷an是不是等差數(shù)列解：當n1時，a1S112+12，當n2時，anSnSn1n2+1（n1）212n1，an，把n1代入2n1可得12，an不是等差數(shù)列 考察了對概念的理解，除掉第一項這個數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項放進去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當中常用到的方式，大家可以熟記一下eg2：已知等差數(shù)列an的前三項分別為a1，2a+1，a+7則這個數(shù)列的通項公式為解：等差數(shù)列an的前三項分別為a1，2a+1，a+7，2（2a+1）a1+a+7，解得a2a1211，a22×2+15，a

35、32+79，數(shù)列an是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，an1+（n1）×44n3故答案：4n3 這個題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等差中項的特點，通過這個性質(zhì)然后解方程一樣求出首項和公差即可【考點點評】 求等差數(shù)列的通項公式是一種很常見的題型，這里面往往用的最多的就是等差中項的性質(zhì)，這也是學習或者復習時應重點掌握的知識點3等差數(shù)列的前n項和【知識點的認識】Snna1+n（n1）d或者Sn【例題解析】eg1：設等差數(shù)列的前n項和為Sn，若公差d1，S515，則S10解：d1，S515，5a1+d5a1+1015，即a11，則S1010a1+d10+4555故答案為：55點

36、評：此題考查了等差數(shù)列的前n項和公式，解題的關鍵是根據(jù)題意求出首項a1的值，然后套用公式即可eg2：等差數(shù)列an的前n項和Sn4n225n求數(shù)列|an|的前n項的和Tn解：等差數(shù)列an的前n項和Sn4n225nanSnSn1（4n225n）4（n1）225（n1）8n29，該等差數(shù)列為21，13，5，3，11，前3項為負，其和為S339n3時，TnSn25n4n2，n4，TnSn2S34n225n+78，點評：本題考查等差數(shù)列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值【考點點評】 等差數(shù)列比

37、較常見，單獨考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結(jié)合等比數(shù)列的相關知識考察，特別是錯位相減法的運用4等比數(shù)列的性質(zhì)例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設其公比為q，則182q4，解得q23，y2q22×36故答案為：6 本題的解法主要是運用了等比數(shù)列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項關鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法【等比數(shù)列的性質(zhì)】（1）通項公式的推廣：anamqnm，（n，mN*） （2）若an為等比數(shù)列，且k+lm+n，（k

38、，l，m，nN*），則 akalaman（3）若an，bn（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則an（0），a，anbn，仍是等比數(shù)列（4）單調(diào)性：或an是遞增數(shù)列；或an是遞減數(shù)列；q1an是常數(shù)列；q0an是擺動數(shù)列5等比數(shù)列的通項公式【知識點的認識】1等比數(shù)列的定義2等比數(shù)列的通項公式 ana1qn13等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項 G2ab （ab0）4等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項公式的推廣：anamqnm，（n，mN*）（2）若an為等比數(shù)列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），則 akalaman（3）若an，bn（項數(shù)相同）是等

39、比數(shù)列，則an（0），a，anbn，仍是等比數(shù)列（4）單調(diào)性：或an是遞增數(shù)列；或an是遞減數(shù)列；q1an是常數(shù)列；q0an是擺動數(shù)列6等比數(shù)列的前n項和【知識點的知識】1等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q（q0），其前n項和為Sn，當q1時，Snna1；當q1時，Sn2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn7數(shù)列的求和【知識點的知識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：等差數(shù)列前n項和公式：Snna1+n（n1）d或S

40、n等比數(shù)列前n項和公式：幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列an×bn的前n項和，其中anbn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列的前n項和，其中an為各項不為0的等差數(shù)列，即（）（4）倒序相加法： 推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an） （5）分組求和法： 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可 【典型例題分析】典例1：已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5+a726，an的前n

41、項和為Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求數(shù)列bn的前n項和Tn分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：解：（）設等差數(shù)列an的公差為d，a37，a5+a726，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；Snn2+2n（）由（）知an2n+1，bn，Tn，即數(shù)列bn的前n項和Tn點評：該題的第二問用的關鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和【解題方法點撥】 數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考8數(shù)列遞推式【知識點的知識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列an

42、的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an在數(shù)列an中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內(nèi)容一個重點，要認真掌握注意：（1）用anSnSn1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n2，當n1時，a1S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式anSnSn1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關系式，然后再求解3、數(shù)列的通項的求法：（1）公式法：

43、等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式（2）已知Sn（即a1+a2+anf（n）求an，用作差法：an一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含 或 的關系式，然后再求解（3）已知a1a2anf（n）求an，用作商法：an，（4）若an+1anf（n）求an，用累加法：an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（n2）（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n2）（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）特別地有，形如ankan1+b、ankan1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比

44、數(shù)列后，再求an形如an的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學歸納法進行證明9數(shù)列與函數(shù)的綜合【知識點的知識】一、數(shù)列的函數(shù)特性： 等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式中共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應用解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題二、解題步驟：1在解決有關數(shù)列的具體應用問題時：（1）要讀懂題意，理解實際背景，領悟其數(shù)學實質(zhì)，舍棄與解題無關的非本質(zhì)性東西；（2）準確地歸納其中的數(shù)量關系，建

45、立數(shù)學模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學模型的知識系統(tǒng)，解出數(shù)學模型的結(jié)果；（4）最后再回到實際問題中去，從而得到答案2在求數(shù)列的相關和時，要注意以下幾個方面的問題：（1）直接用公式求和時，注意公式的應用范圍和公式的推導過程（2）注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和（3）求一般數(shù)列的前n項和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項和的求法，觸類旁通3在用觀察法歸納數(shù)列的通項公式（尤其是在處理客觀題目時）時，要注意適當?shù)馗鶕?jù)具體問題多計算相應的數(shù)列的前幾項，否則會因為所計算的數(shù)列的項數(shù)過少，而歸納出錯誤的通項公式，從而得到錯誤的結(jié)論【典

46、型例題分析】典例：已知f（x）logax（a0，a1），設數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），f（an）是首項為4，公差為2的等差數(shù)列（I）設a為常數(shù)，求證：an成等比數(shù)列；（II）設bnanf（an），數(shù)列bn前n項和是Sn，當時，求Sn分析：（I）先利用條件求出f（an）的表達式，進而求出an的通項公式，再用定義來證an是等比數(shù)列即可；（II）先求出數(shù)列bn的通項公式，再對數(shù)列bn利用錯位相減法求和即可解答：證明：（I）f（an）4+（n1）×22n+2，即logaan2n+2，可得ana2n+2為定值an為等比數(shù)列（II）解：bnanf（an）a2n+2logaa2n+2（

47、2n+2）a2n+2（7分）當時，（8分）Sn2×23+3×24+4×25+（n+1）2n+2 2Sn2×24+3×25+4×26+n2n+2+（n+1）2n+3 得Sn2×23+24+25+2n+2（n+1）2n+3（12分）（n+1）2n+316+2n+324n2n+32n+3Snn2n+3（14分）點評：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯位相減法錯位相減法適用于通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列10數(shù)列與不等式的綜合【知識點的知識】證明與數(shù)列求和有關的不等式基本方法：（1）直接將數(shù)列求和后放縮；（2）先將通項放縮后求

48、和；（3）先將通項放縮后求和再放縮；（4）嘗試用數(shù)學歸納法證明常用的放縮方法有：，（n2），（）（n2），2（）2（）+【解題方法點撥】 證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項，如：|a|；n；（2）將分子或分母放大（或縮?。唬?）利用基本不等式；（4）二項式放縮；（5）利用常用結(jié)論；（6）利用函數(shù)單調(diào)性（7）常見模型：等差模型；等比模型；錯