分式方程培優(yōu)講義

1、分式方一、含有參數(shù)方程假設(shè)關(guān)于x的分式方程"'的解為非負(fù)數(shù),貝U a的取值范圍是x-222.分式方程i=1- 的根為x(x+l) x+13.假設(shè)數(shù)a使關(guān)于x的分式方程亠+=4的解為正數(shù),且使關(guān)于y的不等式組x-11-x*32 的解集為y v- 2,那么符合條件的所有整數(shù)a的和為2(y-a)<0、方程無解2.3.假設(shè)關(guān)于x的方程:=-1無解,那么m的值是x-3假設(shè)=0無解,x-4 4-k 假設(shè)關(guān)于x的分式方程x-2那么m的值是" 無解,求a=廣-5計(jì)6三、有增根1、2、3、4、亙-二=1時(shí)出現(xiàn)增根,那么m的值為x-22-x關(guān)于x的分式方程丄-旦有增根,那么增根為

2、 .X-l X-1假設(shè)關(guān)于x的方程丄亠有增根,那么m的值是.x-2k-2解關(guān)于x的方程+,:=產(chǎn)生增根,那么常數(shù)a=x-2 x2_4x+2如果解關(guān)于x的分式方程2、3.四、整體代入解方程在方程x2+2x+=3中,如果設(shè)y=x2+2x,那么原方程可化為關(guān)于 yx +2x的整式方程是.用換元法解方程三-2?H +1=0時(shí)應(yīng)設(shè)y=.2x+l x-2如果實(shí)數(shù)x滿足(x+)2 -(x+)- 2=0,那么x+的值是四、實(shí)際問題1.某服裝店用10000元購進(jìn)一批某品牌夏季襯衫假設(shè)干件,很快售完；該店又用 14700元錢購進(jìn)第二批這種襯衫,所進(jìn)件數(shù)比第一批多 價(jià)比第一批每件襯衫的進(jìn)價(jià)多 購進(jìn)x件襯衫,那么所列

3、方程為A Ci - 10二一丨!ii；、|：40%每件襯衫的進(jìn) 10元,求第一批購進(jìn)多少件襯衫？設(shè)第一批)10000 +10= 14700.(1+4 霸)況 +10= ' 1 11.U二丄C _ 10000_ 10_1 鉀002艘輪船在靜水中的最大航速為 35km/h,它以最大航速沿江順流航行120km 所用時(shí)間,與以最大航速逆流航行90km所用時(shí)間相等設(shè)江水的流速為vkm/h,那么可列方程為A 120 =9. B 120 二 9Q C 120 二 9Q D 1 如=90 v+35 ¥-3535r 35+vv-35 v+3535+v 35r3 .甲、乙二人做某種機(jī)械零件,甲每

4、小時(shí)比乙多做6個(gè),甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙60個(gè)所用的時(shí)間相等.設(shè)甲每小時(shí)做 x個(gè)零件,下面所列方程正確的 是 A 90 _ 60 B 9060 C 9060 D 9060x x-6x x+6x-6 xx+6 x4. 2021年,在創(chuàng)立文明城市的進(jìn)程中,烏魯木齊市為美化城市環(huán)境,方案種植 樹木30萬棵,由于志愿者的參加,實(shí)際每天植樹比原方案多20%結(jié)果提前5 天完成任務(wù),設(shè)原方案每天植樹 x萬棵,可列方程是A=5 T (1+20%)Xc.+5二20%k x_ =5門：=5'1+20% x5.西寧市創(chuàng)立全國文明城市已經(jīng)進(jìn)入倒計(jì)時(shí)！垃圾,調(diào)用甲車3小時(shí)只清理了一半垃圾,為了加快進(jìn)度,再調(diào)用

5、乙車,兩車 合作1.2小時(shí)清理完另一半垃圾.設(shè)乙車單獨(dú)清理全部垃圾的時(shí)間為x小時(shí),根據(jù)題意可列出方程為A. I 十'=16 x某環(huán)衛(wèi)公司為清理衛(wèi)生死角內(nèi)的C丨.十=丨.一【同步練習(xí)】1 .如果關(guān)于x的不等式組匚2的解集為x> 1,且關(guān)于x的分式方程：十.=3有非負(fù)整數(shù)解,那么符合條件的m的所有值的和是A.- 2 B . 4 C . 7 D . 82.從-2、- 1、0、2、5這一個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為 m假設(shè)數(shù)m使關(guān)于x的不等式組$>時(shí) 無解,且使關(guān)于x的分式方程土礙纟=-1有非負(fù)-2z-l>4nri-lx-2 2-x整數(shù)解,那么這一個(gè)數(shù)中所有滿足條件的m的個(gè)數(shù)是

6、A. 1 B . 2 C . 3 D . 43.假設(shè)關(guān)于x的分式方程+3="無解,那么實(shí)數(shù)m x-1x-14 .假設(shè)關(guān)于x的分式方程二+ =3的解為正實(shí)數(shù),貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是x-2 2-x5.甲、乙工程隊(duì)分別承接了 160米、200米的管道鋪設(shè)任務(wù),乙比甲每天 多鋪設(shè)5米,甲、乙完成鋪設(shè)任務(wù)的時(shí)間相同,問甲每天鋪設(shè)多少米？設(shè)甲每 天鋪設(shè)x米,根據(jù)題意可列出方程：6 .某市為綠化環(huán)境方案植樹 2400棵,實(shí)際勞動中每天植樹的數(shù)量比原方案多20%結(jié)果提前8天完成任務(wù)假設(shè)設(shè)原方案每天植樹 x棵,那么根據(jù)題意可列方 程為.7.關(guān)于x的方程：x+ =c+ 的解是 Xi=c, X2J ； x

7、=C丄的解是 Xi=c, X2=K CCMC-一,貝U x+ =c+ 的解是 xi=C, X2=.ci-3c-38. 假設(shè)數(shù)a使關(guān)于x的不等式組22"有且僅有四個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)于 yh+4>p的分式方程亠+=2有非負(fù)數(shù)解,那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是y-22-r A. 3 B. 1 C. 0 D . - 39. 如圖,Rt ABC中, Z B=90°, AB=3cm BC=4cm 點(diǎn) D在 AC上, AD=1cm 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿C-B-A-C的路徑勻速 運(yùn)動.兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),在B點(diǎn)處首次相遇后,點(diǎn)P的運(yùn)動速度每秒提升了 2cm

8、并沿B-C-A的路徑勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q保持速度不變,并繼續(xù)沿原路徑勻速運(yùn)動, 兩點(diǎn)在D點(diǎn)處再次相遇后停止運(yùn)動,設(shè)點(diǎn) P原來的速度為xcm/s.1 點(diǎn)Q的速度為cm/s 用含x的代數(shù)式表示.2求點(diǎn)P原來的速度.12.定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a, b 其中a0,都有a?b-吐,等式右a a邊是通常的加法、減法及除法運(yùn)算,例如 2?3=-罕 =+ =1.2 2 2 21求-2 ?3的值；2假設(shè)x?2=1,求x的值.2021年12月02日峰尚的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一.選擇題共14小題1. 假設(shè)關(guān)于x的分式方程：的解為非負(fù)數(shù),貝U a的取值范圍是A -WMA. a?1B. a> 1C. a?

9、1 且 a4D. a> 1 且 a4【解答】解：去分母得：2 2x- a =x - 2,解得：x=厶由題意得：二0且生工工2,33解得：a?1且a4,應(yīng)選：C.2. 假設(shè)數(shù)a使關(guān)于x的分式方程丄+ '| =4的解為正數(shù),且使關(guān)于y的不等式組x-11-1止丄>1“32 的解集為y V- 2,那么符合條件的所有整數(shù)a的和為2y-aX0A. 10 B. 12 C. 14 D. 16【解答】解：分式方程+二_=4的解為且x工1,x-1 1-x4關(guān)于x的分式方程=4的解為正數(shù),x-11 -X A_l>0 且二工 1,44二 av 6 且 a2.得少解不等式得：yv- 2；解不等

10、式得：yw a.畢丄>1關(guān)于y的不等式組,32 的解集為yv-2,L2(y-a)<0a?一2.- 2 w a v 6且 aM 2. a為整數(shù),-a= 2、 1、0、1、3、4、5,(2) + ( 1) +0+1+3+4+5=10 應(yīng)選A.( <j_k+23 .假設(shè)數(shù)a使關(guān)于x的不等式組,2% 2X £有且僅有四個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)于0+4的分式方程+,嚴(yán)有非負(fù)數(shù)解,那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是(【解答】解：解不等式組*2K3 心半A. 3 B. 1 C. 0 D.- 3 1卻+2,可得|f x+4-a1L不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解, 1w- 一亠0,7 4 v a

11、 w 3,解分式方程"+=2,可得y (a+2),y-2 2-r2又'分式方程有非負(fù)數(shù)解, y>0,且 y工2,即 1 (a+2)> 0,- (a+2)M 2,解得a> 2且aM2, 2waw3,且 am2,滿足條件的整數(shù)a的值為-2, 1, 0, 1, 3, 滿足條件的整數(shù)a的值之和是1.應(yīng)選：B.4 分式方程=1的根為A. 1 或 3 B. 1 C . 3 D. 1 或3 【解答】解：去分母得：3=x2+x- 3x,解得：x= - 1或x=3,經(jīng)檢驗(yàn)x=- 1是增根,分式方程的根為x=3, 應(yīng)選C5.如果解關(guān)于x的分式方程A.- 2 B . 2C. 4

12、D.- 4° =1時(shí)出現(xiàn)增根,那么m的值為2-x【解答】解:去分母,方程兩邊同時(shí)乘以x - 2,得：m+2x=x- 2,由分母可知,分式方程的增根可能是 2,當(dāng) x=2 時(shí),m+4=- 2,m= 4,應(yīng)選D.6 .某服裝店用10000元購進(jìn)一批某品牌夏季襯衫假設(shè)干件,很快售完；該店又用 14700元錢購進(jìn)第二批這種襯衫,所進(jìn)件數(shù)比第一批多40%每件襯衫的進(jìn)價(jià)比第一批每件襯衫的進(jìn)價(jià)多10元,求第一批購進(jìn)多少件襯衫？設(shè)第一批購進(jìn) 襯衫,那么所列方程為A .'.' J： - 10=.葢"1+40% XC 10000 - 10=皿C 一 ：0=【解答】解：設(shè)第一批購

13、進(jìn)丄工+10=葢1+4Q小.)B.D.10000+10=需(l+40«x+1o4m(1-40%) x x10000x件襯衫,那么所列方程為:應(yīng)選：B .7. 一艘輪船在靜水中的最大航速為 35km/h,它以最大航速沿江順流航行120km 所用時(shí)間,與以最大航速逆流航行90km所用時(shí)間相等.設(shè)江水的流速為v km/h, 那么可列方程為A小二一 B"=C： = D【解答】解：設(shè)江水的流速為vkm/h,根據(jù)題意得：= ',35+v 35-v 應(yīng)選：D .8.甲、乙二人做某種機(jī)械零件,甲每小時(shí)比乙多做 6個(gè),甲做90個(gè)所用的時(shí)間 與乙60個(gè)所用的時(shí)間相等.設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零

14、件,下面所列方程正確的選項(xiàng)是 A 90 _ 6Q B 90 _ 6Q c 90D 90x x-6葢 k+6x-6 xx+6 x【解答】解：設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件,那么乙每小時(shí)做X-6個(gè)零件,由題意得,£二一.X k-6應(yīng)選A.9. 2021年,在創(chuàng)立文明城市的進(jìn)程中,烏魯木齊市為美化城市環(huán)境,方案種植 樹木30萬棵,由于志愿者的參加,實(shí)際每天植樹比原方案多20%結(jié)果提前5天完成任務(wù),設(shè)原方案每天植樹 x萬棵,可列方程是A 30=5 B 30 =5x (1+20%) kx 20%xC.；+5 =5【解答】解：設(shè)原方案每天植樹x萬棵,需要二天完成,實(shí)際每天植樹X+0.2X 萬棵,提前5天完

15、成任務(wù),-：川=5" '一,需要30(1+2 珊)X天完成,應(yīng)選A10. 西寧市創(chuàng)立全國文明城市已經(jīng)進(jìn)入倒計(jì)時(shí)！ 某環(huán)衛(wèi)公司為清理衛(wèi)生死角內(nèi)的 垃圾,調(diào)用甲車3小時(shí)只清理了一半垃圾,為了加快進(jìn)度,再調(diào)用乙車,兩車合作1.2小時(shí)清理完另一半垃圾.設(shè)乙車單獨(dú)清理全部垃圾的時(shí)間為 x小時(shí),根據(jù) 題意可列出方程為A 竺1=1 b.空2 AC.空44D 竺1=16 x6x23x23 x【解答】解：由題意可得,1. 2 1. 2 1巧,應(yīng)選B.11. 假設(shè)關(guān)于x的方程上牛-霽 =1無解,那么m的值是x-33-xA. m B. m=3 C m或 1 D. m或 3 333【解答】解：去分母

16、得：3 2x+mx- 2= x+3,整理得：m- 1 x=2,當(dāng)m-仁0,即m=1時(shí),方程無解；當(dāng)m- 1工1時(shí),x 3=0,即x=3時(shí),方程無解,此時(shí)亠=3,即卩m=, m-13應(yīng)選C12. 假設(shè)-=0無解,那么m的值是x-4 4-xA. 2 B . 2C. 3D. 3【解答】解：方程兩邊都乘x - 4得：m+1- x=0,方程無解,x- 4=0,即 x=4,m+1 4=0,即m=3應(yīng)選C.13 如果關(guān)于x的不等式組* 2的解集為x > 1,且關(guān)于x的分式方程k-4<3 x-2二=3有非負(fù)整數(shù)解,那么符合條件的 m的所有值的和是2-x k-2A.- 2 B .- 4 C .- 7

17、 D .- 8$衛(wèi)0【解答】解：2,/-4<3x-2-解得x>m解得x> 1.不等式組的解集是x > 1,那么me 1.解方程匕+亠=3,2-x x-2去分母,得 1 - x - m=32 - x,去括號,得1 - x - m=6- 3x,移項(xiàng),得-x+3x=6 - 1+m合并同類項(xiàng),得2x=5+m系數(shù)化成1得x=：.分式方程i 一；十工 '-r.=3有非負(fù)整數(shù)解,.5+m> 0,.m>- 5,.- 5< m< 1,m=- 5,- 3, 1,.符合條件的m的所有值的和是-7, 應(yīng)選C.m假設(shè)數(shù)m使關(guān)于十二=-1有非負(fù)14.從-2、- 1、

18、0、2、5這一個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為 x的不等式組Cj解,且使關(guān)于x的分式方程總整數(shù)解,那么這一個(gè)數(shù)中所有滿足條件的 m的個(gè)數(shù)是A. 1B. 2 C. 3D. 4【解答】解：不等式組整理得：鄉(xiāng)+2kx*i-2in-l由不等式組無解,得到 m+2>- 2m- 1,解得：m>- 1 即 m=- 1, 0, 2, 5,分式方程去分母得：x - m+2=- x+2,即x= - m,2把m=- 1代入得：x=- 一,不符合題意；2把m=0代入得：x=0,符合題意；把m=2代入得：x=1,符合題意；把m=5代入得：x=2.5,不符合題意,那么所有滿足條件m的個(gè)數(shù)是2,應(yīng)選B二填空題共15小

19、題15. 假設(shè)關(guān)于x的分式方程+3='無解,那么實(shí)數(shù)m= 3或7.x-1x-1【解答】解：方程去分母得：7+3 x- 1 =mx整理,得m- 3 x=4,當(dāng)整式方程無解時(shí),m- 3=0,m=3當(dāng)整式方程的解為分式方程的增根時(shí),x=1,二 m- 3=4,m=7 m的值為3或7.故答案為3或7.16. 假設(shè)關(guān)于x的分式方程=3的解為正實(shí)數(shù),貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是 mx-2 2-xV 6 且 m 2.【解答】解：二+ : =3,葢-22-x方程兩邊同乘x- 2得,x+m- 2m=3x- 6,解得,x=-F. 工 2二 ,二 nn 2,由題意得,-二0,解得,mV6,故答案為：mV6且2.17

20、. 甲、乙工程隊(duì)分別承接了 160米、200米的管道鋪設(shè)任務(wù),乙比甲每天 多鋪設(shè)5米,甲、乙完成鋪設(shè)任務(wù)的時(shí)間相同,問甲每天鋪設(shè)多少米？設(shè)甲每天 鋪設(shè)x米,根據(jù)題意可列出方程： 曲三_ .x x+5意得：160=200x x+5故答案是:【解答】解：設(shè)甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)x米,那么乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)x+5米,由題11. =；!«K x+518. 某市為綠化環(huán)境方案植樹 2400棵,實(shí)際勞動中每天植樹的數(shù)量比原方案多 20%結(jié)果提前8天完成任務(wù).假設(shè)設(shè)原方案每天植樹 x棵,那么根據(jù)題意可列方程 為=8,【解答】解：設(shè)原方案每天植樹x棵,那么實(shí)際每天植樹1+20% x=1.2x ,根據(jù)題意可得

21、：衛(wèi)衛(wèi)-=8,故答案為：土二-二匚=8 .K 1.2x19 .假設(shè)關(guān)于x的分式方程=2的解為非負(fù)數(shù),那么m的取值范圍是 m>- 1且mx-1工1.【解答】解：去分母得,n仁2 x - 1,-x=一1一二,方程的解是非負(fù)數(shù), m+1> 0 即存-1又由于x- 1工0, xm 1, 1, nM 1,那么m的取值范圍是m>- 1且nM 1.應(yīng)選：m>- 1且nM 1.20. 假設(shè)關(guān)于x的分式方程 一+=2有整數(shù)解,整數(shù)m的值是 1, 3, 4,- 2,x-2x-26 .【解答】解：去分母得：mx- 1+仁2x- 4,整理得：m- 2 x=- 4,解得：x=-,tn-2由分式方

22、程有整數(shù)解,得到 m- 2=- 1, 1,- 2, 2,- 4, 4,且x - 2工0, 解得：m=1 3, 4,- 2, 6, 故答案為：1, 3, 4,- 2, 621. 在方程x2+2x+ =3中,如果設(shè)y=x2+2x,那么原方程可化為關(guān)于yJ十2k的整式方程是 y2- 3y+2=0 .【解答】解：設(shè)y=x2+2x,貝U原方程可化為y+=3,y 去分母,得y2- 3y+2=0.故答案是：y - 3y+2=0.22 .用換元法解方程啟-2?互%+1=0時(shí)應(yīng)設(shè)y=_子羊_.2x+l x-22x+l【解答】解：設(shè) k ,貝U原方程變?yōu)槎?1=0,2x+ly故答案為：.2x+l23如果實(shí)數(shù)x滿足

23、x+1 2-x+1 - 2=0,那么x+1的值是 2【解答】解：設(shè)x+-=u,原方程等價(jià)于u2- U-2=0,解得u=2或u=- 1,x+=2或x+丄二-1 不符合題意,舍,KX故答案為：2.24. 關(guān)于x的分式方程 有增根,那么增根為 x=1 .X-l K-1【解答】解：原方程有增根,二最簡公分母x -仁0,解得x=1.故答案為x=1.25. 假設(shè)關(guān)于x的方程二一二有增根,那么m的值是 4.x-2x-2【解答】解：方程兩邊都乘x - 2,得 x+2=m原方程有增根,最簡公分母x- 2 =0,解得x=2,當(dāng) x=2 時(shí),m=2+2+4故答案為：4.26假設(shè)分式方程.-的解為正數(shù),那么a的取值范

24、圍是av8,且a4x-4m-4【解答】解：分式方程去分母得：x=2x- 8+a,解得：x=8 - a,根據(jù)題意得：8 - a>0, 8 - aM4,解得：av8,且aM4.故答案為：av8,且aM4.27.關(guān)于 x的方程：x+=c+丄的解是 xi=c, X2=; x-丄=c- 的解是 xi=c, X2=1那么 x=c+ -的解是xi=c,【解答】 解： X+丄=C+的解是Xi=c, X2= ； x-丄=C-=的解是Xi=c, X2=-丄X CCXcc故答案為3+.c-328 假設(shè)關(guān)于x的分式方程亠-厶二無解,求a= - 1 或 2 .x-23-x x2-5x+6【解答】解：去分母得：3-

25、x-a x- 2 =- 2,即a+1 x=2a+5,當(dāng)a=- 1時(shí),顯然方程無解；當(dāng)a工1時(shí),x,a+1當(dāng)x=2時(shí),a不存在；當(dāng) x=3 時(shí),a=2,綜上,a的值為-1或2. 故答案為-1或2.29. 解關(guān)于x的方程丄+：=產(chǎn)生增根,那么常數(shù)a= - 4或6 .x-2 x2_4x+2【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x- 6,由分式方程有增根,得到x+2 x - 2 =0,即x=2或x=- 2,把 x=2 代入得：8+2a=0,即 a= - 4;把 x=- 2 代入得：-2a=- 12,即 a=6,綜上,常數(shù)a=- 4或6,故答案為：-4或6三.解做題共6小題30. 如圖,Rt ABC中,/ B=90° , AB=3cm BC=4cm 點(diǎn) D在 AC上,AD=1cm 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿C-B-A-C的路徑勻速 運(yùn)動.兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),在B點(diǎn)處首次相遇后,點(diǎn)P的運(yùn)動速度每秒提升了 2cm 并沿B-C-A的路徑勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q保持速度不變,并繼續(xù)沿原路徑勻速運(yùn)動, 兩點(diǎn)在D點(diǎn)處再次相遇后停止運(yùn)動,設(shè)點(diǎn) P原來的速度為xcm/s .1點(diǎn)Q的速度為 x cm/s 用含x的代數(shù)式