整理基于錯誤分析,把握教學(xué)本質(zhì)——以乘法分配律的教學(xué)為例

1、基于錯誤分析把握教學(xué)本質(zhì)以?乘法分配律?的教學(xué)為例【摘要】 乘法分配律是乘法運算定律教學(xué)中的一個重點, 對其意義的理解及靈 活運用是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點.基于對學(xué)生的錯誤分析,會發(fā)現(xiàn)學(xué)生只重視乘法 分配律的“形,無視了對乘法分配律最本質(zhì)意義上的理解.筆者認為? 乘法分 配律?的教學(xué)應(yīng)基于學(xué)情、把握本質(zhì)的根底上引導(dǎo)學(xué)生自然建構(gòu)知識體系.【關(guān)鍵詞】 乘法分配律錯誤分析本質(zhì)教學(xué)乘法分配律是小學(xué)階段簡便計算中比擬難掌握和理解的,學(xué)生在練習(xí)的過 程中往往會出現(xiàn)很多的錯誤.由于它不像其他運算定律那樣只有單一的運算關(guān) 系,它溝通了乘除法和加減法之間的聯(lián)系： 它既有順向的分配形式,又有逆向的 合成形式；它既有典

2、型的常規(guī)題型,又有非典型的變式題型,因而顯得更加復(fù)雜.一、測評及分析1、對象與方法選取本校四年級4個班的學(xué)生共計163人,進行乘法分配各題型進行問卷調(diào) 查,要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)完成.2、測評試題及錯題分析題 號題型與要求試題錯誤人 數(shù)1順向的分配形式：括號里的兩個加數(shù)要分別乘括 號外的數(shù),再把積相加.(4+100)X 2562順向的分配形式：括號外的數(shù)要分別乘括號里的 兩個數(shù),再把積相加.125X( 8+80)73乘法對減法的分配：括號外的數(shù)要分別乘括號里 的兩個數(shù),再把積相減.76X( 100-2)104乘法對減法的分配：括號里的兩個加數(shù)要分別乘 括號外的數(shù),再把積相減.(40-8) X 2

3、5105逆向的合成形式: 一次.兩個乘法中相同的因數(shù)只能寫35 X 34+35X 6646逆向的合成形式: 一次.兩個乘法中相同的因數(shù)只能寫425 X 12-425 X 277乘法分配變式題: 數(shù)與一個數(shù)的和,把接近整百十的數(shù)看作整百 再運用乘法分配律.77 X 10198乘法分配變式題：把接近整百(十)的數(shù)看作整百 數(shù)與一個數(shù)的和,再運用乘法分配律.25 X 41169乘法對減法的分配變式題：把接近整百(十)的數(shù)看作整百數(shù)與一個數(shù)的差,再用乘法分配律.32 X 99710乘法對減法的分配變式題：把接近整百(十)的數(shù)看作整百數(shù)與一個數(shù)的差,再用乘法分配律.56 X 981711合成形式變式題：

4、把 73看作73 X 1,再用乘法分 配律.73+73X 992612合成形式變式題：把 92看作92 X 1.再用乘法分 配律.92 X 31-9228通過上面的數(shù)據(jù),可以看到：失分多的為第 (3)、(8)、(10)、(11)、 (12)題,即變式題、乘法對減法的分配題等.【典型錯誤1】概念性錯誤(4)(40 8) X 25=25X 408=1000- 8=991(8)25 X 4仁25X( 40+1) =25 X 40+1=1001【典型錯誤2】混淆性錯誤(11)73+73X 99=73X 2X 99=146X 99=145【典型錯誤3】定勢性錯誤或其他錯誤(4) (20 8) X 125

5、=(125 X 8) 一 20=1000-20=980(2)125X 88=125X 8X8 0=1000X8 0=80000在進行錯題分析時,不禁思考：學(xué)生這么難掌握乘法分配律的原因到底出在哪里？學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時會遇到哪些困難？這些困難又該如何解決？在與任課教師的交流中,大局部教師認為乘法分配律是歷屆學(xué)生學(xué)習(xí)的易錯 點和難點,并且認為學(xué)生錯誤的原因主要是粗心大意、不認真聽講、練習(xí)過少等.但是,真的僅僅是這些原因嗎？二、分析錯題根源直擊知識本質(zhì)通過對錯題的分析與教師的訪談,究其原因大致有以下幾點：1. 知識層面分配律的公式是通過不完全歸納法推導(dǎo)得到的,過程看似簡單,卻展現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的

6、數(shù)學(xué)思維過程.在此之前,學(xué)生主要運用算術(shù)思想,是建立在直觀根底之上的.而乘法分配律是代數(shù)思維注重的是關(guān)系的符號化及其運 算,在某種程度上是無法依賴直觀的. 從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)化,也間接造 成了分配律的難以掌握.其次,分配律有很強的抽象性與概括性,它將小括號以 及“X、+結(jié)合在一個算式里.分配律左、右形式發(fā)生變化而結(jié)果不變,學(xué)生 很難體會到“變與不變的哲學(xué)思想. 再次,分配律既有嚴格的適用條件,又有 變換的推廣應(yīng)用.乘法對加法或減法同時滿足左右分配律甚至還有幾個加數(shù)的和 及其他的變換形式.所以,分配律知識本身的復(fù)雜性,造成了學(xué)生很難理解與掌 握它的本質(zhì).2. 教材層面以下是三種主要教材版本

7、人教版、蘇教版、北師大版：三種不同版本的教材所設(shè)置的情景雖不同,但無一例外都是讓學(xué)生在解決 實際問題的過程中發(fā)現(xiàn)并理解乘法分配律. 學(xué)生通過對情景的分析得出乘法分配 的表達形式,但學(xué)生容易忽略了兩種方法間的等量關(guān)系和他們間“形的聯(lián)系與 變化.其次教材更注重結(jié)合實際意義對所求結(jié)果進行分析,得出兩種表達式相等的結(jié)論.這里的結(jié)論并沒有動態(tài)“分配的過程, 學(xué)生頭腦中很難建立公式的形 式和實質(zhì)意義之間的聯(lián)系.理解是應(yīng)用的根底,當(dāng)理解發(fā)生障礙時,機械的記憶 與套用,不可防止地會出現(xiàn)各種問題.所以學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)乘法分配律時不是 很扎實.3. 教師層面很多教師在教學(xué)乘法分配律時注重讓學(xué)生記住乘法分配律的“形

8、,而沒有挖掘其中的“神.這些教師的教學(xué)思路：創(chuàng)設(shè)情境一一解釋算理一一發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 整個環(huán)節(jié)看似邏輯性很強,但仔細研究,教師的教學(xué)設(shè)計還停留在外表. 這樣的 設(shè)計對于規(guī)律的歸納只停留在“形的模仿上,為什么相等,為什么可以轉(zhuǎn)化, 缺乏必要的理論支撐.學(xué)生無法在頭腦中建立意義上的聯(lián)系, 就只能機械地記憶 和套用公式,做題時就不可防止地出現(xiàn)錯誤.4學(xué)生層面瑞士著名兒童心理學(xué)家皮亞杰認為,兒童到達認知成熟需要經(jīng)歷四個階段： 感知動作期02歲、前運算階段27歲、具體運算階段7、811、12歲 和形式運算階段 11、 12.14、 15 歲.四年級學(xué)生處于具體運算階段,他們在 考慮問題時只注重了書面語和符號表

9、征,但是這種表征又離不開具體事物的支 持,不能產(chǎn)生抽象思維.同時,此階段的兒童思維從前運算階段開展而來,還帶 有很多前運算階段的思維方式. 因此.在對抽象符號的陌生與對圖形敏感的相互 作用下,造成學(xué)生更善于把公式當(dāng)成特殊的圖形去記憶, 而忽略了公式中所包含 的本質(zhì).從以上原因可以看出, 學(xué)生對乘法分配律所表現(xiàn)出的易錯難懂現(xiàn)象, 不僅僅 是教師認為粗心大意、 不認真聽講、 練習(xí)過少的原因, 它還與兒童認知心理開展、 分配律的知識特點和教材及教師的教學(xué)有著密切的聯(lián)系. 為了更好地幫助學(xué)生克 服學(xué)習(xí)困難, 教師應(yīng)該在設(shè)計教案及教學(xué)時要結(jié)合知識, 學(xué)生的認知特點進行有 效教學(xué).三、基于錯誤分析的乘法分

10、配律的本質(zhì)教學(xué) 基于前面的原因分析,最終的源頭還在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的熟悉,所以提出了 以下幾點的教學(xué)策略來破解學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律的困難.一、系統(tǒng)把握,注重前期滲透學(xué)習(xí)乘法分配律應(yīng)該注重學(xué)生已有的知識經(jīng)驗, 找到知識的生長點, 經(jīng)過同 化和順應(yīng),構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu).那么,學(xué)生已有的知識經(jīng)驗、知識的生長點是什 么呢 ?怎樣構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)呢 ?筆者認為學(xué)生已有的知識經(jīng)驗是“幾個幾相加, 乘法的意義, 由于在低年級學(xué)習(xí)乘法的意義后, 后繼教材中都有所孕伏、 滲透. 所以,我們在教學(xué)乘法分配律前應(yīng)系統(tǒng)地把握好教材, 為今后的繼續(xù)學(xué)習(xí)打下好 的根底.(1) 回憶乘法算式的意義在北師大版第三冊“ 8,9的乘法口

11、訣第83頁教材中有這樣的題目:教師在教學(xué)這題時不因只為計算而計算,而要最大限度地挖掘練習(xí)題的多重 功能.如“ 9X 5+5先讓學(xué)生計算出結(jié)果,接著追問：“還可以怎么算 ？有些 學(xué)生可能會根據(jù)算式的意義“ 9個5連加后,再加一個5,就等于10個5,所以 可以用5X 10=50來計算,這其實就是為學(xué)習(xí)乘法分配律打下根底.(2) 回憶兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計算北師大版三年級下冊“隊列表演(二)第38頁：14X12的算法是：先用個位上的2乘14,再用十位上的1乘14,然后把兩次的 得數(shù)加起來也就是先算2個14,再算10個14,最后算12個14,用式子表示 是: 14X 12=14X (2+10)= 14

12、X 2+14X 10,同樣運用了乘法分配律.(3)回憶計算長方形的周長如長方形的長是28米,寬是22米,周長是多少米？算式是：28X 2+22X2 或者(28+22) X 2,這兩道算式都是求長方形的周長, 可以用等號連接,這也為學(xué) 習(xí)乘法分配律作孕伏.在運算定律的教學(xué)中,我們應(yīng)當(dāng)重視將學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗與新知進行有效地鏈接,這樣抽象的運算定律對于學(xué)生而言將變得豐富和生動起來.(二) 、立足本質(zhì) 促進意義建構(gòu)在乘法分配律簡算的教學(xué)中要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實際,從學(xué)生的生活經(jīng) 驗和已有知識出發(fā),創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境,引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、操作、猜測、推 理、交流等活動,使學(xué)生準確理解概念,弄清楚概念的

13、內(nèi)涵和外延,穩(wěn)固新學(xué)的 知識和方法.1、豐富素材,讓感知從單一走向豐富兩種情景處理方式：對照組：教師呈現(xiàn)教材植樹情境圖,要求學(xué)生列式,然后引導(dǎo)學(xué)生觀察相等的一 組算式,進而概括出乘法分配律.實驗組：教師呈現(xiàn)：(1)數(shù)形感知：出示長方形植樹地：這塊地的周長是多少?教師引導(dǎo)學(xué)生列出兩種算式.(2) 生活感知：我們班有男生15人,女生20人,如果每人植樹3棵,一共可以 植樹多少棵？讓學(xué)生用兩種方法列式解答.(3) 正例感知：你還能舉出像上述這樣的兩個算式的例子嗎？反例感知：有同學(xué)列舉出(4 X 2)+25=4+25X 2+25,這個例子對嗎？上述案例中,對照組教師囿于教材編排,陷入“一事一例框框,學(xué)

14、生因感 知素材單一.而導(dǎo)致感知體驗貧乏,所獲取的數(shù)學(xué)表象必然是蒼白淺薄的.實驗組教師以教材例子為載體,通過創(chuàng)造性處理教材,變“一為“幾,既關(guān)注了 學(xué)生已有經(jīng)驗,為學(xué)生提供乘法分配律的多樣化數(shù)學(xué)模型,有利于學(xué)生借助已有經(jīng)驗加以理解、內(nèi)化,使學(xué)生對乘法分配律的感知變得更加豐富、充分.2、注重意義感悟,建構(gòu)運算定律我們通過計算發(fā)現(xiàn)(36+14)X 6=36X 6+14X 6,教師要讓學(xué)生具體說明算 式每一步的意義：等號左邊表示 6個36+14的和；等號右邊分別表示6個36和 6個14,36X 6+14X6表示6個36與6個14的和.啟發(fā)學(xué)生寫出如下算式：36+36+36+36+36+36 6 個 3

15、6 的和414+14+14+14+14 6 個 14 的和豎著看：算式是(36+14) X 6;橫著看：算式是 36X 6+14X 6.不管是豎著看, 還是橫著看,都是求6個36與6個14的和,所以(36+14) X 6=36X 6+14X 6,與 多少人種樹有同樣的道理.這樣處理,教師不僅注重了乘法分配律“形的抽象、 概括與建構(gòu),而且立足于“等式兩邊求相同的幾個幾 這一概念本質(zhì),再適時加 以追問,引導(dǎo)學(xué)生用乘法的意義來理解和解釋乘法的分配律,不但注意了學(xué)生對 外部形態(tài)的歸納和應(yīng)用,更注重了學(xué)生對乘法分配律本質(zhì)上的理解.3、回歸生活實際,拓展定律運用蘇霍姆林斯基認為：“人的內(nèi)心里有一種根深蒂固

16、的需要,總想自己是發(fā)現(xiàn) 者、研究者、探尋者.在兒童的精神世界中,這種需求特別強烈.但如果不向這 種需求提供養(yǎng)料, 這種需求就會逐漸消失, 求知興趣也與之一道熄滅. 因此練習(xí) 的設(shè)計應(yīng)給學(xué)生提供足夠的養(yǎng)料.如：(1) 根據(jù)乘法分配律把式子填完整：(27+73) X 9=口乂口 +口X口,25 X 12+25X 8=口乂 ( 口 + 口),口X ( 口 +口 )=7 X 63+7X 37.(2) 美術(shù)興趣小組的男生買了 17 套水彩筆,每套 8 元；女生中有 13 人也想買同 樣的水彩筆,請你算一算一共用去多少錢 ?學(xué)生會出現(xiàn)兩種方法,比擬兩種方法 哪種簡便呢 ?學(xué)生在解決實際問題過程中,發(fā)現(xiàn)運用

17、乘法分配律能給計算帶來方 便,就會喜愛它,從內(nèi)心深處接納它.當(dāng)然,練習(xí)中還需要引導(dǎo)學(xué)生對乘法分配 律進行合理的聯(lián)想和必要的擴展. 學(xué)生才能再次經(jīng)歷探究之旅, 不僅穩(wěn)固了新知, 還會對乘法分配律的內(nèi)涵與外延有更深的體驗和更多的發(fā)現(xiàn), 而這樣的探索與發(fā) 現(xiàn),會幫助學(xué)生真正領(lǐng)悟乘法分配律的本質(zhì).(三) 、后期延伸 提升簡算意識 學(xué)習(xí)乘法分配律的最終落腳點不在于對內(nèi)涵本質(zhì)的理解,在于運用乘法分 配律進行簡便運算, 而簡便計算教學(xué)的落腳點又在于使學(xué)生形成自覺計算的意識 和水平.(1) 理解為本,強化比照 教育家贊可夫認為“知識的穩(wěn)固性不是靠大量的復(fù)習(xí),而是靠知識的廣度 來到達.“廣度不是指范圍很廣,最主

18、要是指知識之間的本質(zhì)聯(lián)系.因此分配 律教學(xué)的主要任務(wù)是提升學(xué)生對知識間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的理解, 能進行知識的轉(zhuǎn)化 與變換,能運用知識解決綜合與變化的問題. 根據(jù)運用乘法分配律進行簡便計算 的難易程度,分成了以下七類.第一類：直接運用乘法分配律.如： (300+6) X 12 25 X (4+8) 第二類：先分解成整十、整百數(shù)加幾,再利用乘法分配律.如:42 X 2784 X 101第三類：先分解成整十、整百數(shù)減幾,再利用乘法分配律.如:99 X 16198 X 23第四類：乘法分配律的反響用.如: 32X 16+14X 32 78 X 2+78X 3+78X 5第五類:乘法分配律反響用的特殊類型.如: 99X13+13178X 10l178第六類:局部簡算和二次簡算.如: 23X4+23X 15+15+867X102-67X 3第七類:易錯類.如: 25X(4X8)125 X3X125X 5(2) 優(yōu)化算法,增強意識有相當(dāng)一局部學(xué)生要看到 “簡便計算 這一要求才會使用簡算方法, 沒要求 的就不用簡算. 針對這一現(xiàn)象, 在進行練習(xí)設(shè)計時, 教師應(yīng)想方設(shè)法使學(xué)生熟悉 到題中一旦涉及計算, 不管有無簡算要求, 都要自覺選擇合理靈活的方法進行計 算,以提升計算的效率和質(zhì)量.如:穩(wěn)固練習(xí)中買東西問題,簡便計算不僅僅是 計算題的專利, 只要涉及計算的領(lǐng)域都要