數(shù)理方程課件

1、數(shù)理方程數(shù)理方程第五章第五章 Legendre多項式多項式數(shù)理方程數(shù)理方程5.1 Legendre方程與方程與Legendre多項式多項式的引出的引出n例：例：在本來勻強的靜電場在本來勻強的靜電場 中，放置一個導中，放置一個導體球，球的半徑為體球，球的半徑為a，試研究導體球怎樣改變，試研究導體球怎樣改變了勻強電磁場。了勻強電磁場。 解：解： 這個問題是三維靜電場問題，球外電勢滿足這個問題是三維靜電場問題，球外電勢滿足Laplace方程，在方程，在距球無窮遠處，電場保持為原來的距球無窮遠處，電場保持為原來的 。0E0E以球心為原點取球坐標系，則定解問題是：以球心為原點取球坐標系，則定解問題是：

2、2000 5.1.1cos5.1.205.1.3rr aurauE zE ru 數(shù)理方程數(shù)理方程2000,5.1.1cos ,5.1.20.5.1.3rr aurauE zE ru 在球坐標系中，在球坐標系中，Laplace方程的表達式是：方程的表達式是：2222222111sin0sinsinuuurrrrrr用分離變量法求解，設(shè)：用分離變量法求解，設(shè)：( , , )( ) ( )( )u rR r 代入到方程中，得：代入到方程中，得：2222222sin0sinsinddRRddRdrrdrdrrddrd(5.1.4)數(shù)理方程數(shù)理方程2222222sin0sinsinddRRddRdrrd

3、rdrrddrd將關(guān)于將關(guān)于 的變量和關(guān)于的變量和關(guān)于 的變量分離：的變量分離：, r用用 遍乘上式，并適當移項，可得：遍乘上式，并適當移項，可得：22sinrR222sinsinsinddRddrmRdrdrdd 由此可得兩個微分方程：由此可得兩個微分方程：20m （5.1.5）和和22211sin0sinsinddRddmrR drdrdd數(shù)理方程數(shù)理方程20m 22211sin0sinsinddRddmrR drdrdd（5.1.5）對上面第二個方程，再將變量對上面第二個方程，再將變量 分離開來：分離開來：, r22211sin(1)sinsinddmddRrl lddR drdr 由此

4、再得兩個常微分方程：由此再得兩個常微分方程：2(1)0ddRrl lRdrdr(5.1.6a)即即2( )2( )(1) ( )0r R rrR rl lR r(5.1.6b)以及以及221sin(1)0sinsinddml ldd (5.1.7a)數(shù)理方程數(shù)理方程221sin(1)0sinsinddml ldd (5.1.7a)對方程（對方程（5.1.7a）作變換）作變換 可得：可得：cosx22222sincossinddddddddxdxdx sindddxdddxddx sinddddx 22222cossindddddxdx 代入代入5.1.7a，得：，得：222sin(1)01dd

5、ml ldxdxx 數(shù)理方程數(shù)理方程即：即：222(1)(1)01ddmxl ldxdxx (5.1.7b)即即222(1)( )2( )(1)( )01mxxxxl lxx(5.1.7c)至此球坐標系下的至此球坐標系下的Laplace方程分離變量的結(jié)果是得到三個常微分方程：方程分離變量的結(jié)果是得到三個常微分方程：20m （5.1.5）2( )2( )(1) ( )0r R rrR rl lR r(5.1.6b)222(1)( )2( )(1)( )01mxxxxl lxx(5.1.7c)222sin(1)01ddml ldxdxx 數(shù)理方程數(shù)理方程20m （5.1.5）2( )2( )(1)

6、 ( )0r R rrR rl lR r(5.1.6b)222(1)( )2( )(1)( )01mxxxxl lxx(5.1.7c)方程方程(5.1.5)加上周期性條件加上周期性條件(0)(2 ) (5.1.8)構(gòu)成本征值問題，解之得到：構(gòu)成本征值問題，解之得到：( )cossin,0,1,2,.mmAmBmm方程（方程（5.1.6）是）是Euler方程，令方程，令 ，解之得：，解之得： 1llllR rArB r（5.1.10）（5.1.9）方程（方程（5.1.7）叫做關(guān)聯(lián)）叫做關(guān)聯(lián)Legendre方程。在方程。在m=0時，退化為時，退化為Legendre方程：方程： 2(1)( )2(

7、)(1) ( )0,xxxxl lx（5.1.11）tre數(shù)理方程數(shù)理方程m=0物理含義：軸對稱問題，即場量物理含義：軸對稱問題，即場量u與角度與角度 無關(guān)，只是無關(guān)，只是 和和 的函數(shù)。的函數(shù)。r重新考慮定解問題重新考慮定解問題2000,5.1.1cos ,5.1.20.5.1.3rrurauE zE ru 非齊次邊界條件（非齊次邊界條件（5.1.2）是引起場量）是引起場量u發(fā)生變化的唯一根源，這個非齊發(fā)生變化的唯一根源，這個非齊次函數(shù)不是角變量次函數(shù)不是角變量 的函數(shù)，所以問題具有軸對稱性。的函數(shù)，所以問題具有軸對稱性。2(1)( )2( )(1) ( )0,xxxxl lx（5.1.11

8、）在第三章中，我們已經(jīng)求出了在第三章中，我們已經(jīng)求出了Legendre方程方程(5.1.11)的通解，并且指出，的通解，并且指出，Legendre方程方程(5.1.11)加上自然條件加上自然條件 1, （5.1.12）構(gòu)成本征值問題，其本征值和本征函數(shù)依次是：構(gòu)成本征值問題，其本征值和本征函數(shù)依次是： 0,1,2,;.nlnnxP x數(shù)理方程數(shù)理方程綜上，定解問題綜上，定解問題(5.1.1)-(5.1.3)在具有軸對稱性質(zhì)的假設(shè)下，具有本征解：在具有軸對稱性質(zhì)的假設(shè)下，具有本征解： 1,cos0,1,2,nnnnnnurA rB rPn（5.1.14）將這些解疊加起來，得到級數(shù)解為：將這些解疊

9、加起來，得到級數(shù)解為：10,cos.nnnnnnu rA rB rP（5.1.15）下一步：利用下一步：利用Legendre多項式的性質(zhì)，確定未知常數(shù)。多項式的性質(zhì)，確定未知常數(shù)。數(shù)理方程數(shù)理方程當當 時，方程為關(guān)聯(lián)時，方程為關(guān)聯(lián)Legendre方程：方程：0m 222(1)( )2( )(1)( )01mxxxxl lxx(5.1.7c)令令2/2( )(1)( )mxxY x(5.1.16)則函數(shù)則函數(shù)Y滿足：滿足：2(1)2(1)(1)(1)0 x YmxYl lm mY(5.1.17)12/222( )(1)( )(1)mmxxY xmxxY12/2221222222( )(1)( )

10、2 (1) (1)(2)(1)mmmmxxYxmxxYmxYm mxx Y數(shù)理方程數(shù)理方程另一方面，利用微商的萊布尼茲法則：另一方面，利用微商的萊布尼茲法則：()()(1)(2)()( )()(1)().1!2!(1)(2).(1) .!mmmmm kkmmm muvuvuvuvm mmmkuvuvk將勒讓德方程將勒讓德方程2(1)( )2( )(1) ( )0 xxxxl lxPPP對對x求求m次微商，可得：次微商，可得：2()()()(1)2(1)(1)(1)0mmmxmxl lm mPPP其中其中()mmmddxPP（II）2()()()()()()(1)(1)222 2(1)0mmmm

11、mmm mxm xxml lPPPPPP即：即：數(shù)理方程數(shù)理方程滿足自然條件（滿足自然條件（5.1.12）的）的Legendre方程的解是方程的解是legendre多項式多項式 ，( )nP x滿足同樣邊界條件的關(guān)聯(lián)滿足同樣邊界條件的關(guān)聯(lián)Legendre方程的本征函數(shù)稱為關(guān)聯(lián)方程的本征函數(shù)稱為關(guān)聯(lián)Legendre多多項式，記作項式，記作( )mnPx所以所以22( )( )(1)(0,1,2, )mmmnnmd P xPxxmndx一般解：一般解：本征解：本征解：(1)( , , ) cossin(cos )nnmnmmmnurArBrCmDmP 00( , , )( , , )nnmnmu

12、rur 比較（比較（5.1.17）和（）和（5.1.17），可知：），可知：()( )( )mY xx P2(1)2(1)(1)(1)0 x YmxYl lm mY（5.1.17）2()()()(1)2(1)(1)(1)0mmmxmxl lm mPPP（5.1.17）代回代回2/2( )(1)( )mxxY x可得：可得：2/2()( )(1)( )mmxxxP數(shù)理方程數(shù)理方程5.2 Legendre多項式的性質(zhì)多項式的性質(zhì)nLegendre多項式的微分表示多項式的微分表示Legendre多項式：多項式：/220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkP xxk lkl

13、kl為偶數(shù)為偶數(shù)(1)/220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkP xxk lklkl為奇數(shù)為奇數(shù)現(xiàn)在我們來證明，現(xiàn)在我們來證明，Legendre多項式還可表示成如下的微分形式：多項式還可表示成如下的微分形式： 21( )(1)2 !llllldP xxl dx（5.2.1）數(shù)理方程數(shù)理方程21( )(1)2 !llllldP xxl dx證明：將式（證明：將式（5.2.1）中的）中的 按二項式定理展開，可得：按二項式定理展開，可得：2(1)lx /2220/2201( 1) (22 )(21)(1)2 !2!()!(22 )!( 1)2!()!(2 )!lkll

14、lklllklklklkdlklkxxl dxk lklkxk lklkRodrigues公式由此得證。公式由此得證。（5.2.1）22011!(1)()( 1)2 !2 !()!lllll kkllllkddlxxl dxl dxk lk將其中的將其中的l次微商實施。凡是次微商實施。凡是x的冪次的冪次2l-2k低于低于l的項在微商過程中都成為的項在微商過程中都成為零，留下的項必滿足：零，留下的項必滿足： ，即，即22lkl/2kl故故數(shù)理方程數(shù)理方程利用利用Rodrigues公式，可方便地給出低階的幾個公式，可方便地給出低階的幾個Legendre多項式的顯多項式的顯式：式：21( )(1)2

15、 !llllldP xxl dx012223334245351cos313cos1( )22535cos3cos( )221( )(35303)81 (35cos420cos29)641( )(637015 )81 (63cos535cos330cos )128PPxxP xxxP xP xxxP xxxx（5.2.2）0P1P2P3P4P5P數(shù)理方程數(shù)理方程(1)1;lP( )lP x的奇偶性由的奇偶性由l的奇偶性來決定。的奇偶性來決定。222121()( );()( );nnnnPxPxPxPx （5.2.3）由圖可見，由圖可見，0P1P2P3P4P5P數(shù)理方程數(shù)理方程nLegendre多

16、項式的積分表示多項式的積分表示1）. 施列夫利（施列夫利（Schlufli）積分）積分根據(jù)復變函數(shù)的根據(jù)復變函數(shù)的Cauchy積分公式積分公式( )1!( )( )2()nnLnf z dzfxizx的微分表示又可變?yōu)榉e分表示：的微分表示又可變?yōu)榉e分表示：( )lP x22111(1)( )(1)2 !2 2()llllllllCdzP xxdzl dxizx其中其中C是在是在z平面上圍繞平面上圍繞z=x點的任一閉合回路。點的任一閉合回路。2）. Laplace積分積分將積分回路將積分回路C選成：以選成：以z=x為圓心，以為圓心，以 為半徑的圓周為半徑的圓周（5.2.5）1221x在積分回路上

17、：在積分回路上：2 1/22 1/22 1/2(1)(02 ),(1)(1)iiizxxezxxedzixe d即1x 數(shù)理方程數(shù)理方程將以上各式代入式將以上各式代入式22111(1)( )(1)2 !2 2()llllllllCdzP xxdzl dxizx經(jīng)過整理簡化，可得：經(jīng)過整理簡化，可得：2 1/201( )(1)cosllP xxixd（5.2.6）按按 ，從，從x變回變回 ，可得：，可得：cosx01(cos )cossincosllPid（5.2.7）Legendre多項式的多項式的Laplace積分積分利用該式，可得利用該式，可得Legendre多項式的一些特殊值。比如：多項

18、式的一些特殊值。比如：(1)1( 1)( 1)lllPP ，2 1/22 1/22 1/2(1)(02 ),(1)(1)iiizxxezxxedzixe d即數(shù)理方程數(shù)理方程nLegendre多項式的母函數(shù)多項式的母函數(shù)如果一個函數(shù)按其某個自變量的冪級數(shù)展開時，其系數(shù)是如果一個函數(shù)按其某個自變量的冪級數(shù)展開時，其系數(shù)是Legendre多項多項式，則稱該函數(shù)為式，則稱該函數(shù)為Legendre多項式的多項式的母函數(shù)母函數(shù)，或稱，或稱生成函數(shù)。生成函數(shù)。0( , )( )nnnf x tP t x即如果有即如果有則稱則稱 為為Legendre多項式的母函數(shù)。多項式的母函數(shù)。( , )f x t例：考

19、察電量為例：考察電量為 ，位于半徑為，位于半徑為1的單位球北極的單位球北極N處的點電荷在球處的點電荷在球內(nèi)一點內(nèi)一點 處所產(chǎn)生的電勢是處所產(chǎn)生的電勢是04( , , )M r 21/211(12 cos )udrr其中其中_21/21,(12 cos )rdMNrr（5.2.8）數(shù)理方程數(shù)理方程另一方面，球內(nèi)電勢滿足：另一方面，球內(nèi)電勢滿足：20u在球坐標系中，由于電荷放在極軸上，它所產(chǎn)生的靜電場是軸對稱的，在球坐標系中，由于電荷放在極軸上，它所產(chǎn)生的靜電場是軸對稱的，與變量與變量 無關(guān)。無關(guān)。( , )uu r一般解為：一般解為：0(cos )lllluAr P（5.2.9）比較（比較（5.

20、2.8）和（）和（5.2.9），有：），有：21/211(12 cos )udrr（5.2.8）21/201(cos )(1)(12 cos )llllAr Prrr（5.2.10）10,cos.llllllu rArB rP因為因為0|ru 所以：所以：數(shù)理方程數(shù)理方程21/201(cos )(1)(12 cos )llllAr Prrr（5.2.10）為確定系數(shù)為確定系數(shù) ，取特殊位置，取特殊位置lA0, cos1并利用并利用 ，式（，式（5.2.10）化為：）化為：(1)1lP011lllArr因為因為 ，上式左端可展成，上式左端可展成Talor級數(shù)，即級數(shù)，即1r 201llllrrr

21、Ar比較兩邊的系數(shù)，可知：比較兩邊的系數(shù)，可知：1(0,1,2,)lAl式（式（5.2.10）化為：）化為：21/201(cos )(1)(12 cos )lllr Prrr（5.2.11）或或2 1/201( )(1)(12)lllr P xrrxr（5.2.12）數(shù)理方程數(shù)理方程由此可見，由此可見，Legendre多項式多項式 是函數(shù)是函數(shù) 在在 的鄰域中進行級數(shù)展開時所得的系數(shù)。因此，該函數(shù)稱為的鄰域中進行級數(shù)展開時所得的系數(shù)。因此，該函數(shù)稱為Legendre多多項式項式 的的母函數(shù)母函數(shù)。( )lP x2 1/21(12)rxr0r ( )lP x類似地，在球外一點類似地，在球外一點2

22、1/21011(cos )(1)(12 cos )lllPrrrr（5.2.13）或或2 1/21011( )(1)(12)lllP xrrxrr（5.2.14）數(shù)理方程數(shù)理方程nLegendre多項式的遞推公式多項式的遞推公式11(1)( )(21)( )( )0llllPxlxP xlPx（5.2.15）11( )( )2( )( ) (1)llllP xPxxP xPxl（5.2.16）1( )( )(1)( )lllPxxP xlP x（5.2.17）證明式（證明式（5.2.15）。）。將母函數(shù)公式將母函數(shù)公式2 1/201( )(1)(12)lllr P xrrxr的兩邊對的兩邊對r

23、求一次微商，可得：求一次微商，可得：23/210()(1 2)( )lllxrrxrlrP x再用再用 乘上式兩邊，可得：乘上式兩邊，可得：2(1 2)rxr2100()( )(1 2)( )llllllxrr P xrxrlrP x比較等式兩邊比較等式兩邊 的系數(shù)，可得：的系數(shù)，可得：kr111( )( )(1)( )2( )(1)( )kkkkkxP xPxkPxkxP xkPx移項并整理：移項并整理：11(1)( )(21)( )( )0kkkkPxkxP xkPx結(jié)論得證。結(jié)論得證。數(shù)理方程數(shù)理方程nLegendre多項式的正交歸一性多項式的正交歸一性Legendre多項式在多項式在-

24、1,1上滿足如下正交歸一關(guān)系：上滿足如下正交歸一關(guān)系：110,( )( )2.21lklkP x P x dxlkl（5.2.18）第一式稱為正交性，第二式是第一式稱為正交性，第二式是Legendre多項式的模方：多項式的模方：2221lNl證明：證明：Legendre方程加上邊界條件方程加上邊界條件1( )xP x有限值構(gòu)成構(gòu)成Sturm-Liouville本征值問題。于是本征值問題。于是Legendre多項式具有正交性。多項式具有正交性。于是第一式成立。于是第一式成立。數(shù)理方程數(shù)理方程也可給出證明如下：也可給出證明如下：和和 分別為分別為l階、階、k階階Legendre方程的一個特解，故有

25、：方程的一個特解，故有：( )lP x( )kP x2( )(1)(1)( )0lldP xdxl lP xdxdx2( )(1)(1)( )0kkdP xdxk kP xdxdx以以 乘第一式，乘第一式， 乘第二式，再把結(jié)果相減，然后積分得：乘第二式，再把結(jié)果相減，然后積分得：( )kP x( )lP x11221111( )(1)( )( )(1)( ) (1)(1)( )( )0kllklkddP xxP x dxP xxPx dxdxdxl lk kP x P x dx對前兩項利用分部積分：對前兩項利用分部積分：11221111221111(1)( )( )(1)( )( )(1)(

26、)( )(1)( )( ) (1)(1)( )( )0kllklkkllkxP x P xxP x Px dxxP x PxxPx P x dxl lk kP x P x dx數(shù)理方程數(shù)理方程即即11 (1)(1)( )( )0lkl lk kP x P x dx因為因為 ，所以，所以lk11( )( )0lkP x P x dx第一式得證。第一式得證。下面證明第二式。下面證明第二式。由母函數(shù)關(guān)系式由母函數(shù)關(guān)系式2 1/201( )(1)(12)lllr P xrrxr有有200001( )( )( )( )12lkl klklklklkP x tP x tP x P x txtt將上式兩邊對

27、將上式兩邊對x積分，并應(yīng)用正交性，有：積分，并應(yīng)用正交性，有：111222111000( )( )( )12l kllkllkldxP x P x dx tPx dx txtt數(shù)理方程數(shù)理方程111222111000( )( )( )12l kllkllkldxP x P x dx tPx dx txtt2211222111120001(1 2)1(1)ln1 22(1 2)2(1)11( 1)( 1) ()2ln(1)ln(1)1121nnnnlnnldxdxtttxtttxtttttttttttnnl 故有故有11222211002( )2112llllldxtPx dx tlxtt比較比

28、較 的系數(shù)，有：的系數(shù)，有：2lt1212( )21lPx dxl（5.2.20）記記 為為 的模方，而的模方，而 為為 的歸一化因子，的歸一化因子，2221lNl( )lP x1lN( )lP x因為函數(shù)因為函數(shù) 在在-1,1上歸一：上歸一：( )llP xN211( )1llP xdxN（5.2.21）數(shù)理方程數(shù)理方程n按按 的廣義的廣義Fourier級數(shù)展開級數(shù)展開( )lP x按按Sturm-Liouville型本征值問題的一般結(jié)論，本征函數(shù)族型本征值問題的一般結(jié)論，本征函數(shù)族 是是完備的。如果定義在區(qū)間完備的。如果定義在區(qū)間-1,1的函數(shù)的函數(shù)f(x)具有連續(xù)二階導數(shù)，且滿具有連續(xù)二

29、階導數(shù)，且滿足與足與 相同的邊界條件，則可按相同的邊界條件，則可按 展成絕對且一致收斂級數(shù)展成絕對且一致收斂級數(shù)( )lP x( )lP x( )lP x0( )( )lllf xf P x（5.2.22）Fourier-Legendre級數(shù)級數(shù)其系數(shù)的計算公式為：其系數(shù)的計算公式為：11(21)( )( )2lllff x P x dx（5.2.23）如果使用原來的變量如果使用原來的變量 ，則有：，則有：0( )(cos )lllff P（5.2.24）其中其中0(21)( )(cos )sin2lllffPd （5.2.25）數(shù)理方程數(shù)理方程n一個重要公式一個重要公式21(1)( )( )

30、( )( )( )( )(1)(1)nmmnnmxxP x P xP x P xP x P x dxn nm m（5.2.26）證明：寫出證明：寫出Legendre方程的方程的Sturm-Liouville型形式：型形式：2(1)(1)0nndPdxn nPdxdx（5.2.27）2(1)(1)0mmdPdxm mPdxdx（5.2.28）用用 乘式（乘式（5.2.27），）， 乘式（乘式（5.2.28），結(jié)果相減再積分，得：），結(jié)果相減再積分，得：( )mP x( )nP x1221( )(1)( )(1)(1)(1)nmmnxnmxdPdPddP xxP xxdxdxdxdxdxm mn

31、nP P dx對左端兩項實施分部積分，未積出的部分相互抵消，從而結(jié)論得證。對左端兩項實施分部積分，未積出的部分相互抵消，從而結(jié)論得證。數(shù)理方程數(shù)理方程n例例1：在：在-1,+1上將上將 函數(shù)按函數(shù)按 展開成展開成FourierLegendre級數(shù)。級數(shù)。3)(xxf)(xPl解：設(shè)解：設(shè))()(03xPfxxflll求系數(shù)有兩種方法：求系數(shù)有兩種方法：一種是按公式一種是按公式(5.2.23)，將，將 代入，利用洛德利格斯代入，利用洛德利格斯公式（微分），采用分部積分技巧等。較繁瑣。公式（微分），采用分部積分技巧等。較繁瑣。3)(xxf另一種為比較系數(shù)法。另一種為比較系數(shù)法。2)(35235)(

32、1333xPxxxxP我們知道我們知道所以所以5)(25)(3)(313xPxPxxf由此可見，展開系數(shù)為：由此可見，展開系數(shù)為：時）（當3 , 10,52,5331lfffl數(shù)理方程數(shù)理方程n例例2：計算積分：計算積分 11.nP x dx解：方法一解：方法一 1101100,220.2 0 1nnnPx dxPx Px dxn 方法二：方法二： 利用遞推公式利用遞推公式 1121,nnnnP xPxPx有：有： 111111111112111111 (n1)21nnnnnnnPx dxPxPxdxnPPPPn因為因為 11,11,nnnPP 于是于是 1111111111100,2112

33、0.nnnnnPx dxdxn 數(shù)理方程數(shù)理方程n例例3：設(shè)：設(shè)f(x)是一個是一個k次多項式，證明當次多項式，證明當kn時，時，即即f(x)和和 在在-1,+1上正交。上正交。 110,nf x P x dx nP x證明：利用證明：利用Legendre多項式的微分表示：多項式的微分表示：21( )(1)2!nnnnndP xxn dx有：有： 112111111221111112!1111,2!2!nnnnnnnnnnnnndf x Px dxf xxdxndxddf xxfxxdxndxndx上式右端第一項之值為零，在對第二項分部積分上式右端第一項之值為零，在對第二項分部積分k-1次，并

34、注意次，并注意f(x)是一個是一個k次多項式，次多項式， 是常數(shù)，于是上式變?yōu)椋菏浅?shù)，于是上式變?yōu)椋?kfx數(shù)理方程數(shù)理方程 11211121112111112!1112!1110.2!n knkknnn kn knkknn kn knkknn kdfx Px dxfxxdxndxdfxxdxndxdfxxndx 數(shù)理方程數(shù)理方程5.3 Legendre多項式的應(yīng)用多項式的應(yīng)用n第第1節(jié)開始時提到的問題：在均勻電場節(jié)開始時提到的問題：在均勻電場 中放中放置一個導體球球的半徑為置一個導體球球的半徑為a，求在球外區(qū)域，求在球外區(qū)域中的電場。中的電場。0E定解問題：定解問題：2000,5.3.1c

35、os ,5.3.20.5.3.3rr aurauE zE ru 數(shù)理方程數(shù)理方程2000,5.3.1cos ,5.3.20.5.3.3rr aurauE zE ru 其級數(shù)形式的一般解為：其級數(shù)形式的一般解為：(1)0(cos )nnnnnnuA rB rP(5.3.4)利用利用Legendre多項式的性質(zhì)來確定待定系數(shù)。多項式的性質(zhì)來確定待定系數(shù)。先利用條件先利用條件(5.3.2)，將式，將式(5.3.4)代入，可得：代入，可得：00102cos(cos )cos(cos )rnnnnnnnnuE rA r PAArA r P 數(shù)理方程數(shù)理方程00102cos(cos )cos(cos )r

36、nnnnnnnnuE rA r PAArA r P 比較兩邊的系數(shù)，可得：比較兩邊的系數(shù)，可得：0100,0(2)nAAEAn (5.3.5)將上式代入一般解將上式代入一般解(5.3.4)，得到：，得到：(1)010( , )(cos )(cos )nnnnu rE rPB rP (5.3.6)再利用條件再利用條件(5.3.3)來確定系數(shù)來確定系數(shù)nB將上式代入以后，得到：將上式代入以后，得到：(1)010122(cos )(cos )0nnnnBBE aPB aPaa 數(shù)理方程數(shù)理方程(1)010122(cos )(cos )0nnnnBBE aPB aPaa 比較系數(shù)可得：比較系數(shù)可得：120010,0,0(2)nB aE aB aBn解得：解得：30100,0(2)nBBE aBn將它們代入式將它們代入式(5.3.4)，得到最后