拓撲學連通性

1、第五章連通性普通幾何中的圖形“連通性是一個非常直觀的概念，似乎無需給出數(shù)學的定義。然而，對于一些復雜的圖形，單憑直觀是不行的，例如：例：設E2的一個子集曲線有A,B兩局部構成，其中1A = x,sin x 0,1xB=0, y一1廠1如右圖，細線為A,粗線為B,我們很難判斷它們是否連通的。有兩種描述圖形連通的方法：1 1 、利用集合是否相交來判定；2 2 、利用任何亮點是否有圖形內(nèi)的線段相連。前者稱為“連通性，后者稱為“道路連通性 在上例中，X是連通的，但是，不是道路連通的。 5-1連通空間先看一個例子：考慮R上的兩個子集0,1與1,2。它們是不交的，即交為空集。但是，它們的并為0,2卻構成了

2、一個“整體；而0,1與1,2也是不相交的，但它們的并仍是兩個局部。原因是：0,1的一個聚點1,屬于1,2,而不屬于1,2。為此，給出一個“別離的概念。定義 1 1 設A和B是拓撲空間X的兩個非空子集，如果AcB =0與Ac B，那么稱A與B是別離的。定義 2 2 稱拓撲空間X是連通的，如果X不能表示為兩個非空別離集合的并。顯然，連通與下面幾種說法是等價的。1X不能分解為兩個非空不相交開集的并；2X不能分解為兩個非空不相交閉集的并；3X沒有既開又閉的非空真子集；4X中只有X和。是既開又閉的。上述的四種說法與連通是等價的，可以作為習題，有同學們自己去證明。例1 (1) (R,zf)是連通的，因為它

3、的任意兩個非空開集一定相交。(2)雙曲線不連通，它的兩支是互不相交的的非空閉集。1(3) E1空間是連通的。結論(3)是明顯的。但是，人們常常里利用連通空間論證其它空間的連通性， 所以，E1常常被作為論證一維流形連通的出發(fā)點。因此，有必要去證明一下。證明的思路：E1中任何非空真子集不可能既是閉的乂是開的，那么E1是連通的。以下是證明：不妨設A是E1的非空真閉集，于是只要證明A不會是開集。設A的下確界為a,上確界為b。因為A是閉集，那么有awA,bwA。又設x任A，不妨假定x -E2連通。就是說，連通分支是極大連通子集。如果X是連通的，那么它只有一個連通分支，即命題 1 1 連通分支是閉集。證明

4、：設A是X的一個連通分支，由定理2, A也是連通的。由A的極大性推出A = A。因 此，A是閉集。例如，在E1中，(a,b)區(qū)間是連通的，那么a,b也是連通的。定義 4 4 拓撲空間X稱為局部連通的，如果Vxw X , x的所有連通鄰域構成x的鄰域基。注釋:關于“局部連通的有多種定義表達形式。粗略地說：局部連通性就是每一點處都有一個“任意小的連通鄰域?！皩τ趚 wX , x的每一個鄰域U,存在x的一個連通鄰域V ,使得V u U，此時稱x處局部 連通的；如果X的每一點x都是局部連通的，稱X是局部連通的。這一解釋可以從定義 4 4 直接推出。連通與局部連通的關系：(1)局部連通的空間不一定是連通

5、的。例如，R的子空間-1,0) u (0,1 是不連通的，但它是局部連通的。(2)連通的空間未必是局部連通的。例如，設是R2的子空間：X = Au B ,其中A=(x,y) x = 0,-13y11B =( x, y) 0 x 一 .1例如，在刖面討論過的例子中，R中圖形y =sin ,(0 x1)記為B , Y上閉區(qū)間一1,1記x為A。我們知道X = Au B = B，且B是連通的，貝UB也是連通的(即X連通)。但是，A中任一點與B中任一點不能用道路連接，即X不是道路連通的。定理 6 6 道路連通空間的連續(xù)映象是道路連通的。證明：設X是道路連通的，f :XTY連續(xù)，寸y0,yw f (X)，

6、取x w f3), x (yD。由于X道路連通，故有道路F ,使得F(i) = x,i= 0,1 ,于是f是f (X)中的道路，且f，F(xiàn)(i) =yi,i =0,1。這即證明了f(X)是道路連通的。二、道路連通分支在拓撲學中規(guī)定它的點之間的一個關系：假設點x與y可用X上的道路連接，那么說與y相關，記做x：y(弧連通的)?？梢宰C明，是一個等價關系。定義7拓撲空間X在等價關系 下分成的等價類，稱為X是道路連通分支，簡稱道路分支。根據(jù)定義乙下面的結論是顯然的：(1)(1), x僅屬于X的某一個(唯一的)道路分支。(2)(2)X的每個道路連通子集包含在某個道路分支中。(3)(3)X是道路連通的 u 它

7、只有一個道路分支。0 0 和 1,1,那么運動就是閉區(qū)(4)(4)拓撲空間的道路分支是它的極大道路連通子集。附錄：代數(shù)拓撲學中常見概念介紹一關于流形概念球面、環(huán)面以及我們所熟悉的其它曲面，它們往往比平面復雜得多。但是，從局部上分析，有些曲面上的每一點近旁都有一塊區(qū)域同胚與平面。具有這種局部歐氏 特性的拓撲空間成為流形。定義 1 1 一個 HausdorfrfHausdorfrf 空間X稱為n維拓撲流形，如果X的任一點都有一個同胚于En的開鄰域。二維流形稱為曲面。如E2, S2球面，T2環(huán)面，平面和 M?M? biusbius 帶都是曲面。沒有邊界點全是內(nèi)點的緊致連通曲面稱為閉曲面。研究曲面分類

8、問題是代數(shù)拓撲的一項重要內(nèi)容。二關于同倫與根本群概念同倫與根本群概念也是研究曲面分類中提出的概念。在拓撲學中，利用道路概念替代曲線， 道路本身是一種映射。同倫是一種描述連續(xù)映射變形道路收縮變形的概念。定義 2 2 設f , f是0,1 T X的兩個道路，且f和f 都以Xo為起點，以Xi為終點。如果存在 連續(xù)映射F :0,1 x0,1T X使得對于每一個s在0,1和t在0,1,Fs,0 =fs,Fs,1 = f sF0,t =x,F1,t=為那么稱f與f是道路同倫的，F(xiàn)稱為f與f之間的一個道路同倫，記f：f。解釋：所謂f與f同倫，意味著f可以“連續(xù)的變?yōu)閒。系：是等價關系。X的所有道路在:下分成的等價類稱為X的道路類。從分析知，所謂f與f同倫，即X上存在道路f到f的連續(xù)變形。知，同倫關X X從道路變形角度看，球面上閉曲線可以連續(xù)的變形收縮成一點，而環(huán)面上那么不可以。見下列圖。這種差異可以反映閉曲面的不同幾何特征。關于道路的乘法和逆設a是拓撲空間點x到y(tǒng)的道路連接，b是y到z的道路連接，定義道路a, b的乘法ab是從x到z的道路連接。(ab是道路a, b的乘法)。當a從x連接y,那么a是從y連接x的道路，a稱為a的逆。于是，下屬結論是正確的。(1)假設a : b，貝U 5：b。(2)假設a : b,