北京市2021-2022學(xué)年高二10月份月考數(shù)學(xué)試題含解析

1、試卷主標(biāo)題姓名：_ 班級：_考號：_一、選擇題（共10題）1、 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn) 如圖所示，則復(fù)數(shù) （ ） A B C D 2、 某圓錐的母線長為 ，底面半徑長為 ，則該圓錐的體積為（ ） A B C D 3、 一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的 4 個(gè)球，其中有 2 個(gè)紅色球， 2 個(gè)綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出 2 個(gè)球，則兩個(gè)球顏色相同的概率是（    ） A B C D 4、 設(shè) 是兩個(gè)不同的平面， 是平面 內(nèi)的一條直線，則 “ ” 是 “ ” 的（    ） A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件

2、 D 既不充分也不必要條件 5、 在 中，若 ，則 （ ） A B C D 6、 對某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，所得樣本的頻率分布直方圖如圖 . 由圖可知，這一批電子元件中壽命的 分位數(shù)為（ ） A B C 350 D 7、 在 中， ，則 （ ） A B C D 8、 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國 60% 以上人口的主糧 . 以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國的 “ 第五大發(fā)明 " ，育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻(xiàn) . 某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻在面積相等的兩塊稻田中連續(xù) 6

3、 年的產(chǎn)量 ( 單位： kg) 如下： 品種 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說法正確的是（ ） A 甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大 B 甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小 C 甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等 D 甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定 9、 已知正方體 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱長等于 a ，則 的值為（ ） A a 2 B 2 a 2 C 3 a 2 D a

4、2 10、 下面四個(gè)結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ） 空間向量 ，若 ，則 ； 若空間四個(gè)點(diǎn) P ， A ， B ， C ， ，則 A ， B ， C 三點(diǎn)共線； 已知向量 ， ，若 ，則 為鈍角； 任意向量 滿足 A 4 B 3 C 2 D 1 二、填空題（共5題）1、 已知一組不全相等的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 10 ，方差為 2 ，現(xiàn)再加入一個(gè)新數(shù) 10 ，則新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) _ ，方差 _.( 填 “ 變大 ” ， “ 變小 ” ， “ 不變 ”) 2、 某班有 42 名學(xué)生，其中選考物理的學(xué)生有 21 人，選考地理的學(xué)生有 14 人，選考物理或地理的學(xué)生有 28 人，從該班任選一名學(xué)生，則該生既選

5、考物理又選考地理的概率為 _. 3、 已知 = （ 2 ， 3 ， 1 ）， = （ -4 ， 2 ， x ）且 ，則 | |=_. 4、 在四棱錐 中，底面 ABCD 是正方形， E 為 PD 中點(diǎn)，若 = ， = ， = ，則 = _ 5、 已知 是不重合的兩條直線， 為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： 若 ， ，則 ； 若 ，且 ，則 ； 若 ， ，則 所有正確命題的序號為 _ 三、解答題（共6題）1、 設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率 0.5, 購買乙種商品的概率為 0.6, 且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立 , 各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的 . （ 1 ）求進(jìn)入商場

6、的一位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率； （ 2 ） 求進(jìn)入商場的一位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率 2、 已知 ABC 中， ， a 3 再從條件 、條件 這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求： （ 1 ） b 的值； （ 2 ） ABC 的面積 條件 ： b + c 6 ； 條件 ： b 2 c 3、 BMI ( 身體質(zhì)量指數(shù) ) 是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，其計(jì)算公式是： 在我國，成人的 數(shù)值參考標(biāo)準(zhǔn)為： 為偏瘦； 為正常； 為偏胖； 為肥胖某公司有 3000 名員工，為了解該公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層

7、隨機(jī)抽樣的方法抽取了 100 名男員工 50 名女員工的身高體重?cái)?shù)據(jù)，計(jì)算得到他們的 BMI ，進(jìn)而得到頻率分布直方圖如下： （ 1 ）該公司男員工和女員工各有多少人？ （ 2 ）根據(jù) BMI 及頻率分布直方圖，估計(jì)該公司男員工為肥胖的有多少人？ （ 3 ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該公司男員工 BMI 的平均數(shù)為 ，女員工 BMI 的平均數(shù)為 ，比較 與 的大小 ( 直接寫出結(jié)論，不要求證明 ) 4、 如圖，已知直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中， AC BC ， M 為 AB 的中點(diǎn) （ 1 ）求證： CM 平面 ABB 1 A 1 ； （ 2 ）求證： AC 1 平面 CMB 1

8、 5、 為了解一種植物果實(shí)的情況，隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測量重量（單位：克），按照 分為 5 組，其頻率分布直方圖如圖所示 （ 1 ）求圖中 a 的值； （ 2 ）估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù) 和方差 （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （ 3 ）已知這種植物果實(shí)重量不低于 32.5 克的即為優(yōu)質(zhì)果實(shí)若所取樣本容量 ，從該樣本分布在 和 的果實(shí)中，隨機(jī)抽取 2 個(gè)，求抽到的都是優(yōu)質(zhì)果實(shí)的概率 6、 若函數(shù) （ ），非零向量 ，我們稱 為函數(shù) 的 “ 相伴向量 ” ， 為向量 的 “ 相伴函數(shù) ” （ 1 ）已知函數(shù) ，求 的 “ 相伴向量 ” ； （ 2 ）記向量 的 “ 相伴函

9、數(shù) ” 為 ，將 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象上的所有點(diǎn)向左平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) ，若 ， ，求 的值； （ 3 ）對于函數(shù) ，是否存在 “ 相伴向量 ” ？若存在，求出 的 “ 相伴向量 ” ；若不存在，請說明理由 =參考答案=一、選擇題1、 B 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面表示的方法，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可 . 【詳解】 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn) 如圖所示，所以 ，因此 ， 故選： B 2、 A 【分析】 由已知條件求出圓錐的高，從而可求出圓錐的體積 【詳解】 解：由題意得圓錐的高為 ， 所以圓錐的體積為 ， 故選： A 3、 B 【分析

10、】 記兩個(gè)球顏色相同為事件 ，先求基本事件的總數(shù)，再計(jì)算事件 包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式即可求解 . 【詳解】 從 4 個(gè)球中不放回地依次隨機(jī)摸出 2 個(gè)球，基本事件有 種， 記兩個(gè)球顏色相同為事件 ，事件 包含的基本事件有 種， 所以兩個(gè)球顏色相同的概率是 ， 故選： B. 4、 A 【分析】 根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解 . 【詳解】 因?yàn)橹本€ 是平面 內(nèi)的一條直線，且 ，根據(jù)面面垂直的判定定理，可得 ，所以充分性成立； 反之：直線 是平面 內(nèi)的一條直線，由 ，但 不一定成立，所以必要性不成立， 所以 “ ” 是 “ ” 的充分

11、不必要條件 . 故選： A. 5、 D 【分析】 利用余弦定理直接求解即可 . 【詳解】 因?yàn)?，所以 ， 所以 ，又 ， 所以 . 故選： D 6、 B 【分析】 根據(jù)頻率分布直方圖判斷 分位數(shù)位于 ，設(shè)為 ，再列出方程，由此能求出這一批電子元件中壽命的 分位數(shù) 【詳解】 解：由頻率分布直方圖得 的頻率為： ， 的頻率為： ， 所以 分位數(shù)位于 之間， 設(shè) 分位數(shù)為 則， ，解得 由圖可知，這一批電子元件中壽命的 分位數(shù)為 故選： B 7、 C 【分析】 由正弦定理化邊為角即可求解 . 【詳解】 在 中，由正弦定理可得： ， 因?yàn)?，所以 ，可得 ， 因?yàn)?，所以 ， 故選： C. 8、 D

12、 【分析】 分別計(jì)算兩種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得出正確選項(xiàng) . 【詳解】 對于選項(xiàng) A ：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)： ， 乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)： ， 所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故選項(xiàng) A 不正確； 對于選項(xiàng) B ：甲種水稻產(chǎn)量分別為： ，中位數(shù)為 ， 乙種水稻產(chǎn)量分別為 ，中位數(shù)為 ， 所以甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)大，故選項(xiàng) B 不正確； 對于選項(xiàng) C ：甲種水稻產(chǎn)量的極差為： ，乙種水稻產(chǎn)量的極差為： ，甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差不相等，故選項(xiàng) C 不正確； 對于選項(xiàng) D ：甲種水稻的產(chǎn)量的方差為：

13、 乙種水稻的產(chǎn)量的方差為： ， 甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等， 甲種水稻的產(chǎn)量的方差小于乙種水稻的產(chǎn)量的方差， 所以甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定，故選項(xiàng) D 正確， 故選： D. 9、 B 【分析】 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷作答 . 【詳解】 在正方體 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則 A ( a ， 0 ， 0) ， B ( a ， a ， 0) ， C 1 (0 ， a ， a ) ， =(- a ， a ， a ) ， =(- a ， 0 ， a ) ， 所以 a 2 +0

14、+ a 2 2 a 2 故選： B 10、 C 【分析】 根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算、向量平行的意義及坐標(biāo)表示、數(shù)量積的定義、性質(zhì)對各命題逐一判斷即可 【詳解】 對于 ，因 ， ，則 ， 正確； 對于 ，因 ，則 ，即 ，即 A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線， 正確； 對于 ， 10 x -3 ，若 為鈍角，則 ，且 與 不共線，由 得 ，當(dāng) 時(shí)， ，即 ， 由 與 不共線得 ，于是得當(dāng) 且 時(shí)， 為鈍角， 錯(cuò)誤； 對于 ， 是 的共線向量，而 是 的共線向量， 錯(cuò)誤， 綜上可知， 正確 . 故選： C 二、填空題1、 不變 變小 【分析】 根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解 . 【詳解】 設(shè)原來的一

15、組數(shù)據(jù)有 個(gè)分別為： ，則 ， 方差 ， 加入一個(gè)新數(shù) 10 后， 平均數(shù)為 ， 所以平均數(shù)不變， 新的方差為 ， 所以新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，方差變小， 故答案為：不變，變小 . 2、 【分析】 先計(jì)算出該班有既選考物理又選考地理的人數(shù)，再除以班級總?cè)藬?shù)即可求解 【詳解】 設(shè)選考物理的學(xué)生為集合 ，選考地理的同學(xué)為集合 ， 由題意可得： ， 即 ，解得： ， 所以該班有 人既選考物理又選考地理， 所以從該班任選一名學(xué)生，則該生既選考物理又選考地理的概率為 ， 故答案為： . 3、 2 【分析】 由 得 ，再由模的坐標(biāo)運(yùn)算求模 【詳解】 = （ 2 ， 3 ， 1 ）， = （ -4 ， 2

16、， x ）且 ， =-8+6+ x =0 ， 解得 x =2 ， = （ -4 ， 2 ， 2 ）， | |= = =2 . 故答案為： 2 . 【點(diǎn)睛】 本題考查向量垂直與數(shù)量積之間的關(guān)系，考查模的坐標(biāo)運(yùn)算 是數(shù)量積中的一個(gè)重要性質(zhì) 4、 【分析】 根據(jù)底面 ABCD 是正方形， E 為 PD 中點(diǎn)，向量加法的平行四邊形法則得到 ，而 ，即可求得 的結(jié)果 . 【詳解】 解： = ( + ) = + ) = + = 故答案為： . 【點(diǎn)睛】 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用以及向量共線定理和空間向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封閉圖形中求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是基礎(chǔ)題型 .

17、 5、 【分析】 對于 ，過 作平面 ，使 ，則 ，由面面垂直的判定定理得 ；對于 ， 或 ；對于 ，過 作平面 ，使得 ，可得 ，再由線面垂直的性質(zhì)得 【詳解】 由 是不重合的兩條直線， 為不重合的兩個(gè)平面知： 對于 ，過 作平面 ，使 ，則 ，因?yàn)?，所以 ， 又 ，所以 ，故 正確； 對于 ，若 ，且 ，則 或 ，故 錯(cuò)誤； 對于 ，過 作平面 ，使得 ，因?yàn)?，則 ， 因?yàn)?， ，所以 ，所以 ，故 正確 故答案為： 三、解答題1、 （ 1 ） 0.5 ；（ 2 ） 0.8 【詳解】 記 A 表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲種商品； 記 B 表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買乙

18、種商品； 記 C 表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種 ; 記 D 表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種 . （ ） P = = = （ ） 2、 （ 1 ）答案不唯一，具體見解析；（ 2 ）答案不唯一，具體見解析； 【分析】 若選條件 ：（ 1 ）由已知可得 c 6 b ，利用余弦定理可得 b 的值；（ 2 ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 sin C 的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解 若選條件 ：（ 1 ）由已知利用余弦定理可得 b 2 7 b +12 0 ，解方程可得 b 的值；（ 2 ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 sin C 的值，

19、根據(jù)三角形的面積公式即可求解 【詳解】 若選條件 ： b + c 6 ，即 c 6 b ， （ 1 ）因?yàn)?， a 3 ， 所以由余弦定理 c 2 a 2 + b 2 2 ab cos C ，可得： ，可解得 b 4 （ 2 ）因?yàn)?， 所以 ABC 的面積 若選條件 ： b 2 c ， （ 1 ）因?yàn)?， a 3 ， 所以由余弦定理 c 2 a 2 + b 2 2 ab cos C ，可得： ，可得 b 2 7 b +12 0 ， 解得 b 4 或 3 （ 2 ）因?yàn)?， 當(dāng) b 4 時(shí)， ABC 的面積 ， 當(dāng) b 3 時(shí)， ABC 的面積 3、 （ 1 ） 2000 人， 1000 人；

20、（ 2 ） 240 人；（ 3 ） 1 2. 【分析】 （ 1 ）根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系可求得男女員工人數(shù)； （ 2 ）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求出男員工肥胖人數(shù)； （ 3 ）由圖計(jì)算出 1 ， 2 即可 【詳解】 （ 1 ）由題可得男員工人數(shù)為 3000× 2000 人， 女員工人數(shù)為 3000× 1000 人； （ 2 ）男員工肥胖人數(shù)為 2000× （ 0.02×4+0.01×4 ） 240 人； （ 3 ） 1 2 由圖可得 1 18×0.08×4+22×0.11×4+26×0.03

21、×4+30×0.02×4+34×0.01×4 22.32 ， 2 14×0.02×4+18×0.11×4+22×0.07×4+26×0.03×4+30×0.02×4 20.72 ， 所以 1 2 4、 （ 1 ）證明見解析；（ 2 ）證明見解析 【分析】 （ 1 ）由直三棱柱的性質(zhì)可推出 AA 1 CM ，由等腰三角形的性質(zhì)知 CM AB ，然后由線面垂直的判定定理，得證； （ 2 ）連接 BC 1 ，交 B 1 C 于點(diǎn) O ，連接 OM ，易知 OM AC 1 ，再由線面平行的判定定理，得證 【詳解】 （ 1 ）證明：由直三棱柱的性質(zhì)知， AA 1 平面 ABC ， CM 平面 ABC ， AA 1 CM ， AC BC ， M 為 AB 的中點(diǎn)， CM AB ， 又 AA 1 AB A ， AA 1 、 AB 平面 ABB 1 A 1 ， CM 平面 ABB 1 A 1 （ 2 ）證明：連接 BC 1 ，交 B 1 C 于點(diǎn) O ，連接 OM ，則 O 為 BC 1 的中點(diǎn)， M 為 AB 的中點(diǎn)， OM AC 1 ， OM 平面 CMB 1 ， AC 1 平面 CMB 1 ， AC 1 平面 CMB 1 5、 （ 1 ） ；