【教學設計】《1.1.2.余弦定理》(人教版)

1、【教學設計】?人教版? 本節(jié)內(nèi)容通過利用向量的數(shù)量積推導余弦 定理，正確理解其結構特征和表現(xiàn)形式，解決 “邊、角、邊和“邊、邊、邊問題，初步體 會用余弦定理解決“邊、邊、角，體會方程思 想，激發(fā)學生探究數(shù)學、應用數(shù)學的潛能?！局R與能力目標】掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦 定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類根 本的解三角形問題?！具^程與方法目標】利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論， 并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類根 本的解三角形問題?！厩楦袘B(tài)度價值觀目標】培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形 問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向 量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物

2、之間的 普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。第2頁【教學重點】余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其根本應用 教教學難點】勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的 作用。教學過程'一、導入局部如圖1. 1-4,在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,a,b和C）求邊c 二、研探新知，建構概念聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑 來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因 A、 B均未知，所以較又t求邊co由于涉及邊長問題， 從而可以考慮用向量來研究這個問題。如圖在ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、a2 b2 c2 2bc cos A同 理 可 證22,2cab 2abcosC余弦定理：三角形中任何一邊

3、的平方等于其 他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的幗倍槍2 c2 2b即sA222b a c 2ac cos B222理解定理:起個式如甲竄優(yōu)個量? I從方程 的角度看其中三個量，可以求出第四個量，能否 由三邊求出一角？由學生推出從余弦定理，又可得到以下推論：從而正弦定理可解決兩類有關解三角形的問題：三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以 求出第三邊；三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之 間的關系，余弦定理那么指出了一般三角 形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個 定理之間的關系？由學生總結假設ABC中，C=900 ,那么 cosC 0 ,這時c2

4、 a2 b2第4頁由此可知余弦定理是勾股定理的推廣， 勾股定理 是余弦定理的特例。三、質(zhì)疑辯論，開展思維例1 .在ABC中，a 2凡c就屁）B = 45°, 求b及Ac2 2accosB =(2 3)2 ( 62)2 2 2 3 ( 6 . 2) COS 450求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:(力函注一CCUa b2 c2 a2 (2 2)2 ( 62 )2 (2,3)2 1用?？?. COSA -b許(2 2,解法二：: Sin A sinB 2 3 sin450, b 2 2又丁 遍 72 > 2.4 1.4 3.8,2 1.83.6,a V c , 即 00VA

5、e 900,A 600.評述：解法二應注意確定 A的取值范圍。例2.在ABC中a a 134.6 cm , b 87.8cm , c 161.7cm , 解三角形見課本第7頁例4,可由學生通過閱讀進行理解解:222cos a b ：a 2bc由余弦定理的推論得：87.8： ：6以1134.62 0.5543,2 87.8 161.7cos22. 2cabB 2ca_22_2134.62 161.72 87.820.8398,2 134.6 161.7變式訓練:1在AABC中, 和Ca=7,b=10,c=6求A、B解：;,22a b ccos A2bc= 0725, .二 A 44°2

6、. 22八 a b ccosC2ab=0.8071 ,36°. B =180° (A+C)=100° o2A ABC三個頂點坐標為（6, 5）、（一2, 8）、（4, 1）,求 A解法一 ：二 |AB| = #6 ( 2)2 (5 8)2 J73|BC|2 4)2 (8 1)285第7頁|AC| = d'(6 4)2 (5 1)2 275222cos AAB|AC| |BC| = 22 AB AC 365解法二：; AB = (-8, 3), aC=(-2, -4) .c0sA = AB?AC =( 8) £J) 3 ( 4)2.一|AB| |AC|JT3 2屈365 , ,2 84 ：四、課堂小結：1余弦定理是任何三角形邊角之間存在 的共