七年級數(shù)學(xué)思維探究（三）有理數(shù)的運算（含答案）

1、.楊輝，中國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家，大約于世紀(jì)中葉至末葉生活在錢塘（今杭州）一帶他一生著作很多，著名的數(shù)學(xué)書共種卷大家熟悉的“楊輝三角”數(shù)表就在他年所著的詳解九章算術(shù)一書里記載著，他在續(xù)古摘奇算法中介紹了各種形式的“縱橫圖”及有關(guān)的構(gòu)造方法3有理數(shù)的運算有理數(shù)及其運算是整個數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)，有關(guān)式的所有運算都是建立在數(shù)的運算基礎(chǔ)上深刻理解有理數(shù)相關(guān)概念，掌握一定的有理數(shù)運算技能是數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)有理數(shù)的運算不同于算術(shù)數(shù)的運算：這是因為有理數(shù)的運算每一步要確定符號，有理數(shù)的運算很多是字母運算，也就是常說的符號演算運算能力是運算技能與推理能力的結(jié)合這就要求我們既能正確地算出結(jié)果，又善于觀察問題的結(jié)構(gòu)

2、特點，選擇合理的運算路徑，提高運算的速度有理數(shù)運算常用的技巧與方法有：利用運算律；以符代數(shù)；恰當(dāng)分組；裂項相消；分解相約；錯位相減等問題解決例1 （1）已知，記，則通過計算推測的表達式_（用含的代數(shù)式表示）（2）若、是互為相反數(shù)，、是互為倒數(shù)，的絕對值等于，則的值是_試一試 對于（2），運用相關(guān)概念的特征解題例2 已知整數(shù)、滿足，且，那么等于（ ）A B C D試一試 解題的關(guān)鍵是把表示成個不同整數(shù)的積的形式例3 計算（1）；（2）；（3）試一試 對于（1），設(shè)原式，將各括號反序相加；對于（2），若計算每個分母值，則易掩蓋問題的實質(zhì)，不妨先從考察一般情形入手；對于（3），視除數(shù)為一整體，從尋找

3、被除數(shù)與除數(shù)的關(guān)系入手，例4 在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求的值（結(jié)果用表示），設(shè)計了如圖所示的幾何圖形（1）請你用這個幾何圖形求的值；（2）請你用圖，再設(shè)計一個能求的值的幾何圖形試一試 求原式的值有不同的解題方法，而剖分圖形面積是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵例5 在，前面任意添上正號和負(fù)號，求其非負(fù)和的最小值分析與解 首先確定非負(fù)代數(shù)和的最小值的下限，然后通過構(gòu)造法證明這個下限可以達到即可整數(shù)的和差仍是整數(shù)，而最小的非負(fù)整數(shù)是代數(shù)和的最小值能是嗎？能是嗎？由于任意添“+”號或“-”號，形式多樣，因此，不可能一一嘗試再作解答，從奇數(shù)、偶數(shù)的性質(zhì)入手因與的奇偶性相同，故所求代數(shù)和的奇偶性與的奇偶性相同，即為奇數(shù)因此

4、，所求非負(fù)代數(shù)和不會小于又，所求非負(fù)代數(shù)和的最小值為類比類比是一種推理方法，根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，作出它們在其他特征上也可能相似的結(jié)論觸類旁通，即用類比的方法提出問題及尋求解決問題的途徑和方法例6觀察下面的計算過程問：（1）從上面的解題方法中，你發(fā)現(xiàn)了什么？用字母表示這一規(guī)律（2）“學(xué)問”，既要學(xué)會解答，又要學(xué)會發(fā)問愛因斯坦曾說：。提出問題比解決問題更重要”請用類比的方法盡可能多地提出類似的問題分析與解 （1）（2）從連續(xù)自然數(shù)到連續(xù)偶數(shù)，從個到個，從分?jǐn)?shù)到整數(shù)，類比可提出下列計算問題：；數(shù)學(xué)沖浪知識技能廣場1如圖，每一個小方格的面積為，則可根據(jù)面積計算得到如下算式：_（用表示，是正

5、整數(shù)）2某數(shù)學(xué)活動小組的位同學(xué)站成一列做報數(shù)游戲，規(guī)則是：從前面第一位同學(xué)開始，每位同學(xué)依次報自己順序數(shù)的倒數(shù)加，第位同學(xué)報，第位同學(xué)報，第位同學(xué)報，這樣得到的個數(shù)的積為_3計算：（1）_（2）_4“數(shù)學(xué)王子”高斯從小就善于觀察和思考，在他讀小學(xué)時就能在課堂上快速地計算出，今天我們可以將高斯的做法歸納如下： +有，請類比以上做法，回答下列問題：若為正整數(shù)，則_5設(shè)，在代數(shù)式，中負(fù)數(shù)的個數(shù)是（ ）A B C D6我國郵政國內(nèi)外埠郵寄印刷品郵資標(biāo)準(zhǔn)如下：克以內(nèi)元，每增加克（不足克按克計）元某人從成都郵寄一本書到上海，書的質(zhì)量為克，則他應(yīng)付郵資（ ）元A B C D7為了求的值，可令，則，因此，所以

6、仿照上面推理計算出的值是（ ）A B C D8下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第個數(shù)：；第個數(shù)：；第個數(shù)：；第個數(shù)：那么，在第個數(shù)、第個數(shù)、第個數(shù)、第個數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）A第個數(shù) B第個數(shù) C第個數(shù) D第個數(shù)9觀察圖形，解答問題：（1）按下表已填寫的形式填寫表中的空格：圖圖圖三個角上三個數(shù)的積三個角上三個數(shù)的和積與和的商（2）請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖中的數(shù)和圖中的數(shù)10觀察下列等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：；請解答下列問題：（1）按以上規(guī)律列出第個等式：_=_；（2）用含的代數(shù)式表示第個等式：_=_（為正整數(shù)）；（3）求的值思維方法天地11計算：（1）_（2）_（3）_1

7、2設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可分別表示為，的形式，又可分別表示為，的形式，則_13已知，則_14已知、滿足且，則代數(shù)式的值是_15的值是（ ）A B C D16如果個不同的正整數(shù)、滿足，那么等于（ ）A B C D E17如果，那么的值為（ ）A B C D不確定18觀察下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；請你根據(jù)觀察得到的規(guī)律判斷下列各式正確的是（ ）A BC D19觀察下面的等式：，；，；，；，（1）小明歸納上面各式得出一個猜想：“兩個有理數(shù)的積等于這兩個有理數(shù)的和”，小明的猜想正確嗎？為什么？（2）請你觀察上面各式的結(jié)構(gòu)特點，歸納出一個猜想，并證明你的猜想20同學(xué)們，我們曾經(jīng)研究過

8、的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達式為但為時，應(yīng)如何計算正方形的具體個數(shù)呢？下面我們就一起來研究并解決這個問題首先，通過探究我們已經(jīng)知道時，我們可以這樣做：（1）觀察并猜想：，；（2）歸納結(jié)論：=（_）+（_）=_+_；（3）實踐應(yīng)用：通過以上探究過程，我們就可以算出當(dāng)為時，正方形網(wǎng)格中正方形的總個數(shù)是_應(yīng)用探究樂園21我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起

9、來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案例如，求的值，其中是正整數(shù)對于這個求和問題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對的奇偶性進行討論如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實，那就非常的直觀，現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為，個小圓圈排列組成的，而組成整個三角形小圓圈的個數(shù)恰為所求式子的值為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行

10、四邊形此時，組成平行四邊形的小圓圈共有行，每行有個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為，即（1）仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法；設(shè)計相關(guān)圖形，求的值，其中是正整數(shù)（要求：畫出圖形，并利用圖形作必要的推理說明）（2）試設(shè)計另外一種圖形，求的值，其中是正整數(shù)（要求：畫出圖形，并利用圖形作必要的推理說明）22在“”的小方格中填上“+”、“-”號，如果可以使其代數(shù)和為，就稱數(shù)是“可被表出的數(shù)”（如是可被表出的數(shù)，這是因為是的一種可被表出的方法）（1）求證：是可被表出的數(shù)，而是不可被表出的數(shù)；（2）求可被表出的不同方法的種數(shù)3有理數(shù)的運算問題解決例1 （1） （2）例2 D ，例3 （1） 設(shè)原式，又，兩式相加得，所以；（2） ；（3） 原式，其中例4 （1）原式；（2）略數(shù)學(xué)沖浪1 2 3（1）；（2） 4 由，得5B 6A 7D8A 提示：第個數(shù)為，把第、個數(shù)分別求出9（1）略（2）圖：，；圖：，解得10（1）；（2）；（3）原式11（1）；（2）；（3）12 這兩個三數(shù)組在適當(dāng)?shù)捻樞蛳聦?yīng)相等，于是可以斷定，與中有一個為，與中有一個為，可推得，13 14 15B 16E 17A 18C19（1）小明的猜想顯然是不正確的，易舉出反例，如（2）將第一組等式變形為，得出如下猜想：“若是正整數(shù)，則”證明：左邊右邊20（1）；（2）；