“K形圖”與勾股定理

1、優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載“K 形圖”與勾股定理在學(xué)習(xí)全等三角形時，我們曾多次與“ K 形圖”相遇。所謂“ K 形圖”，即如圖 1 所示，直線I上有一點 B，向兩方延生了線段 AB=BC 且 AB_BC.這時過 A、C 向丨作垂線段 AM、CN。所構(gòu)成的 AMBNC 即“ K 形圖”和容易我們得到.1. 2 =90，23=90. . 1 3又 AMB CNB =90,AB=CB.AMB三CNB AAS圖 1 1這個圖形在全等三角形的學(xué)習(xí)中有不少用處， 在學(xué)習(xí)勾股定理時，仍然發(fā)揮著它 獨特的功能。1 利用 K 形圖求正方形的面積例 1.如圖 2.直線I過正方形 ABCD 的頂點 B 點 A、C 到I的距離

2、分別為 1 和 2.（1） 求線段 BE 的長度（2） 求AB2的值（3） 求正方形 ABCD 的面積（天府前沿）圖 2 2比較圖 1 與圖 2,顯然圖 1 的 AMBCN 與圖 2 中的 AEBFC 是同一圖形。很容易聯(lián) 想到證明厶 AEBiCFB,從而 AE=BF,BE=CH,（ 1）可以解答。而厶 AEB 是直角三角形，直接運用勾股定理即可求出AB2的值。進(jìn)一步，ABCD 是正方形，S正方形=邊長2， SABCD二AB2故此題容易解答。2.在三條平行線中的 K 形圖形優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載例 2如圖 3，已知，在 ABC 中，.ABC =90,AB=AC 三角形的頂點在互相平行優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載

3、的三條直線 h、2、3上，且 h、12之間的距離為 2, 12、3之間的距離為 3，則 ABC的面積為_(天府前沿八年級第一章測試題)本題分析的難點在于一組三條平行線容易迷惑問們的視覺。件，注意圖形特點的分析方法，和圖 1 比較，分別從 A、 且 CF 交12于 P 我們可以CP=2,PF=AE 二二這時進(jìn)行比較，易證：AE CFB，從而的 AE=3,BE=5 則AB1 2 3可利用直角三角形 厶 AEB 求得。而等腰. ABC 的面積112SABC= AB AC = AB容易解答。223.在四條平行線中研究正方形的面積。例 3正方形 ABCD 四個頂點在一組平行線IJ、13、4上這四條平行線

4、之間的距 離分別是h、h2、h3(見圖 4)1求證h= h32設(shè)正方形的面積為S，求證ih1h22h1233若-h1 “2 ,當(dāng)h1變化時，說明正方形的面積 S 隨h1的變化情況2如果考慮充分利用條C 作 13的垂線段 AE、CF,211優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載20132013年 9 9 月 1616 日分析（1）: Z1 與 N 2 比較，AE| CF,BE|DF,故有 N1=Z2（一個角的兩邊平行于 另一個角的兩邊，這兩個角相等） EAB =/FCD =90 ,AB二CD.故可證明.ABE 二 CDF （AAS）.從而h h3（全等三角形對應(yīng)邊上的高 相等）這里要說明 AABE 二 CDF 有多種

5、方法這是其中之一。分析（2）結(jié)論中有 h, h22及岸，這種形式在勾股定理中多有體現(xiàn)，古考慮添加 輔助線構(gòu)造直角三角形。連接 BD 則等腰仏 BCD 與圖 3 相似，故作 BM DN 勻 垂直于I4- - 從而在直角 BCMBCM 中，有BM = hi h2，CM=CM=h3BC2= h,h22h,2, S = h,h222進(jìn)一步考察，圖 4 4 是圖 2 2 和圖 3 3 的綜合圖形并發(fā)展變化為四條平行線。223分析（3）由（2）S =（g+h22+hi,體現(xiàn)了正方形面積與h|,h2之間的關(guān)系。在一g+h2=123中，隱含了h1,h2之間的某種關(guān)系，用hi表示h2，有h-h,，代入（2 2）式中，就可以得出 S S 隨hi變化的情況。綜上所述，K K 形圖不僅在全等三角形中有不少作用，在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中，也體現(xiàn)了基 本知識、基本方法的作用，通