人教版四年級數(shù)學(xué)解題技巧解題思路大全最新

1、1 .想數(shù)碼例如，1989年“從小愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題 6:兩個四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)的每一個數(shù)碼都不小于5,第二個四位數(shù)僅僅是第一個四位數(shù)的數(shù)碼調(diào)換了位置。某同學(xué)的答數(shù)是16246。試問該同學(xué)的答數(shù)正確嗎？（如果正確，請你寫出這個四位數(shù)；如果不正確，請說明理由 ）。思路一：易知兩個四位數(shù)的四個數(shù)碼之和相等，奇數(shù)十奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)十偶數(shù)=偶數(shù)，這兩個四位數(shù)相加的和必為偶數(shù)。相應(yīng)位數(shù)兩數(shù)碼之和，個、十、百、千位分別是 17、13、11、15。所以該同學(xué)的加法做錯了。正確答案是思路二：每個數(shù)碼都不小于 5,百位上兩數(shù)碼之和的 11只有一種拆法 5+6,另一個5只可能與8組成13, 6 只可能與9組

2、成15。這樣個位上的兩個數(shù)碼，8 + 9= 16是不可能的。不要把“數(shù)碼調(diào)換了位置”誤解為“數(shù)碼順序顛倒了位置?！? .尾數(shù)法仞1 比較1222 X 1222和1221 X 1223的大小。由兩式的尾數(shù) 2X2=4, 1X3=3,且4 >3。知 1222 X 1222 >1221 X 1223仞2 二數(shù)和是382,甲數(shù)的末位數(shù)是 8,若將8去掉，兩數(shù)相同。求這兩個數(shù)。由題意知兩數(shù)的尾數(shù)和是12,乙數(shù)的末位和甲數(shù)的十位數(shù)字都是4。由兩數(shù)十位數(shù)字之和是 8-1 = 7,知乙數(shù)的十位和甲數(shù)的百位數(shù)字都是3。甲數(shù)是348,乙數(shù)是34。仞3請將下式中的字母換成適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。由3和a

3、5乘積的尾數(shù)是1 ,知a5只能是7;由3和a4乘積的尾數(shù)是72=5,知a4是5;不難推出原式為142857 X 3=428571。3 .從較大數(shù)想起例如，從110的十個數(shù)中，每次取兩個數(shù)，要使其和大于10,有多少種取法？思路一：較大數(shù)不可能取 5或比5小的數(shù)。取6有6 + 5;取 7 有 7 + 4, 7+5, 7+6;取10有九種10+1, 10+2,10+9。共為 1 +3+5 + 7 + 9=25（種）。思路二：兩數(shù)不能相同。較小數(shù)為1的只有一種取法 1+10;為2的有2+9, 2+10;較小數(shù)為9的有9+ 10。共有取法 1+2 + 3+4+5+4+3+2+1 =25（種）這是從較小數(shù)

4、想起，當(dāng)然也可從9或8、7、開始。思路三：兩數(shù)和最大的是 19。兩數(shù)和大于10的是11、12、19。和是 11 的有五種 1 +10, 2 + 9, 3+8, 4+7, 5+6;和是 11 19 的取法 5+4+4 + 3 + 3 + 2 + 2+ 1 + 1 = 25（種）。4 .想大小數(shù)之積用最大與最小數(shù)之積作內(nèi)項（或外項）的積，剩的相乘為外項（或內(nèi)項）的積，由比例基本性質(zhì)知交換所得比例式各項的位置，可很快列出全部的八個比例式。5 .由得數(shù)想例如，思考題：在五個 0.5中間加上怎樣的運算符號和括號，等式就成立？其結(jié)果是0, 0.5 , 1, 1.5 , 2。從得數(shù)出發(fā)，想：兩個相同數(shù)的差，

5、等于0;一個數(shù)加上或減去0,仍等于這個數(shù)；一個因數(shù)是0,積就等于0;0除以一個數(shù)(不是0),商等于0;兩個相同數(shù)的商為1;1除以0.5 ,商等于2;解法很多，只舉幾種：(0.5 -0.5) X0.5 X0.5 X0.5 =00.5 -0.5 - (0.5 - 0.5) X0.5 =0(0.5 + 0.5 + 0.5) X (0.5 0.5) = 0(0.5 + 0.5 0.5 0.5) X0.5 =0(0.5 -0.5) X0.5 X0.5 +0.5 =0.50.5 +0.5 +0.5 -0.5 -0.5 =0.5(0.5 +0.5) X(0.5 +0.50.5) = 0.5(0.5 +0.5

6、) X0.5 +0.5 -0.5 =0.5(0.5 -0.5) X0.5 +0.5 +0.5 = 10.5 +0.5 + (0.5 0.5) X0.5 = 1(0.5 -0.5) +0.5 +0.5 +0.5 = 1(0.5 +0.5) +0.5 (0.5 + 0.5) = 10.5 -0.5 + 0.5 +0.5 +0.5 =1.5(0.5 +0.5) X0.5 +0.5 +0.5 =1.50.5 +0.5 + 0.5 +0.5 -0.5 =1.50.5 +0.5 + 0.5 +0.5 -0.5 =1.50.5 +0.5 +0.5 +0.5 -0.5 =2(0.5 +0.5) +0.5 +0

7、.5 -0.5 =2(0.5 +0.5 +0.5 -0.5) +0.5=2(0.5 +0.5) X 0.5 +0.5 +0.5=2.想平均數(shù)思路一：由任意三個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是中間的數(shù)設(shè)第一個數(shù)為“1；則中間數(shù)占知這三個數(shù)是 14、15、16二、一個數(shù)分別為16 1 = 15,15- 1 = 14 或 16 2= 14。若先求第一個數(shù)，則思路三：設(shè)第三個數(shù)為 “1；則第二、三個數(shù)，知是15、 16。思路四：第一、三個數(shù)的比是 7 : 8,第一個數(shù)是 287)k = 14。若先求第三個數(shù)，則2十8 7)X8= 16。7.想奇偶數(shù)例1思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，不改變

8、它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的名果都等于100o例如1 +23-4+5 + 6 + 78-9= 100123 + 45-67 + 8-9=100你還能想出不同的添法嗎？1 + 2+3 + 4 + 5 + 6 + 7+8+9=45。若去掉 7 和 8 間的”，式左為 1 +2+3+4+5+6 + 78+9,比原式和 增大了 78 (7 +8) =63,即1 + 2+3 + 4 + 5 + 6 + 78+9= 45+63= 108。為使其和等于100,式左必須減去 8。加4改為減4,即可1+2 + 3-4 + 5+6+78+9= 100o“減去4”可變?yōu)椤皽p1、減3"

9、，即1 +23+4+5+6+78+9= 100二年級小學(xué)生沒學(xué)過負(fù)“1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?2 + 3 + 4+ 5+6 + 7 + 89。12-(1 +2) + 89 (8+9) =81。即 12 +3 + 4+5+6+7+89 = 45+81 = 100+26。要將“ 十 ”變?yōu)椤耙弧钡臄?shù)和為13,在3、4、5、6、7中有6 + 7, 3+4+6,因而有12 + 3 + 4+ 5-6-7 + 89= 100,12-3-4+ 5-6 + 7 + 89= 100,同理得12 + 3-4+5+67 + 8 +9= 100,1 + 23-4+56 + 7 + 8 +9= 100,1 + 2+

10、34-5+67-8 +9= 100,123 456 7 + 89= 100,123 + 4- 5+67-89= 100,123-45-67+89=1000為了減少計算。應(yīng)注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結(jié)果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)，結(jié)果不會是 100。(2)有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100o因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789,再減去余下的56,差大于100。仞2求59199的奇數(shù)和。由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方1 + 3+5+7 +

11、 + (2n - 1) = n2奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n1。例如，32對應(yīng)奇數(shù)2X 32 1 = 63。奇數(shù)199,從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n 1=199, n= 100)的位置上。知1199的奇數(shù)和是 1002 = 10000。此和包括 59, 2n1 = 57、n=29、157的奇數(shù)和為 292=841。所求為 10000 841 = 9159。或者 59 =30X 2 1, 302=900,10000900 + 59=9159。例1思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號

12、， 使所得的結(jié)果都等于100o例如1 +23-4+5 + 6 + 78-9= 100123 + 45-67 + 8-9=100你還能想出不同的添法嗎？1 +2+3 + 4+5+6 + 7 + 8 +9=45。若去掉7和8間的“ 十 ”，式左為 1+2 + 3 + 4+5+6+78 + 9,比原式和增大了 78 (7 +8) =63,即1 + 2 + 3+4+5+6+78+9= 45+63= 108。為使其和等于100,式左必須減去 8。加4改為減4,即可1 + 2+3-4+5 + 6 + 78+9= 100o“減去4”可變?yōu)椤皽p1、減3"，即1 + 23+4 + 5 + 6 + 78

13、 + 9= 100二年級小學(xué)生沒學(xué)過負(fù)數(shù)“1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?2+3+4+5 + 6 + 7 + 89。12(1+2) + 89(8+9) =81。即 12 +3+4+5+6+7 + 89=45 + 81 = 100+26o要將“ 十 ”變?yōu)椤耙弧钡臄?shù)和為13,在3、4、5、6、7中有6+7, 3+4 + 6,因而有12+3+4+5-6-7 + 89= 100,12-3-4+5-6 + 7 + 89= 100,同理得12+3-4+5 + 67 +8+9= 100,1 +23-4+56+7+8+9= 100,1 +2+34-5 + 67-8+9= 100,123 456 7 + 89=

14、 100,123 + 4- 5+67-89= 100,123-45-67+89=1000為了減少計算。應(yīng)注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號 )，結(jié)果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)，結(jié)果不會是100。(2)有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100o因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789,再減去余下的56,差大于100。例2求59199的奇數(shù)和。由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù) n的平方1 +3+5 + 7 + + (2n - 1) = n2奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用

15、n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n1。例如，32對應(yīng)奇數(shù)2X 32 1 = 63。奇數(shù)199,從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n 1 = 199, n= 100)的位置上。知1199的奇數(shù)和是 1002= 10000。此和包括 59, 2n1=57、n=29、157的奇數(shù)和為 292=841。所求為 10000 841 = 9159?；蛘?59 = 30 X 2 - 1, 302= 900,10000 900+59 = 9159。8 .約倍數(shù)積法任意兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積，等于這兩個自然數(shù)的積。證明：設(shè) M N(都是自然數(shù))的最大公約數(shù)為 P,最小公倍數(shù)為 Q且M N不

16、公有的因數(shù)各為 a、b 那么 Mx N= Px ax Px bo而 Q = Px ax b,所以 MX N= Px Q例1甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7,最小公倍數(shù)是105。甲數(shù)是21,乙數(shù)是多少？例2 已知兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是155,求這兩個數(shù)。這兩個互質(zhì)數(shù)的積為1 X 155=155,還可分解為 5X31。所求是1和155 , 5和31。例3 兩數(shù)的最大公約數(shù)是4,最小公倍數(shù)是 40,大數(shù)是數(shù)的2.5倍，求各數(shù)。由上述定理和題意知兩數(shù)的積，是小數(shù)平方的 2.5倍。小數(shù)的平方為 4X40-2.5 = 64。小數(shù)是8。大數(shù)是8X 2.5 =20o算理：4 X 40 = 8 X 20 = 8X(8

17、 X 2.5)=82 X 2.5。9 .想份數(shù)10巧用分解質(zhì)因數(shù)仞1四個比1大的整數(shù)的積是 144,寫出由這四個數(shù)組成的比例式。144 = 24X 32=(2 2 X 3) X (2 X 3) X 2=(4 X 3) X (6 X 2)可組成4 ： 6= 2 ： 3等八個比例式。仞2 三個連續(xù)自然數(shù)的積是4896,求這三個數(shù)。4896= 25 X 32 X 17= 24X 17X(2 X 32)=16X 17X 181728= 26 X 33=(2 2X 3) 3= 123385 = 5X 7X 11仞4 1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題3:找出1992的所有不同的質(zhì)因數(shù)，它們的和

18、是多少？1992=2X2 X2X3 X 832+3+83=88仞5甲數(shù)比乙數(shù)大 9,兩數(shù)的積是1620,求這兩個數(shù)。1620=22X34X5=(3 2X22) X (32 X 5)甲數(shù)是45,乙數(shù)是36o仞6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組四個數(shù)且積相等，求這兩組數(shù)。八個數(shù)的積等于 2X7X 2X 3X5X 3X 11X3X5X 5X 11X13X 13X13X 5X 7 X127X 3X 13X 127。每組數(shù)白積為 2X 32X 52X 7X 11 X 132 X 127。兩組為例7 600有多少個約數(shù)？600 = 6X 100= 2x 3X 2

19、X2X 5X 5=23X 3X 52只含因數(shù) 2、3、5、2X3、2X5、3X5、2X3X5的約數(shù)分別為：2、 22、 23;3；5、52;2X3、22X3、23X 3;2X5、22X5、23X5、2X52、22X 52、23X52;3X5、3X52;2X3X5、22X3 X 5、23X3X5、2X3X52、22X 3X 52、23X 3X 52。不含2X 3X 5的因數(shù)的數(shù)只有1。這八種情況約數(shù)的個數(shù)為；3+1 + 2 + 3 + 6 + 2 + 6+1=24o不難發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律：把給定數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，寫成得指數(shù)形式，各指數(shù)分別加1后相乘，其積就是所求約數(shù)的個數(shù)。(3 + 1) X (1 +1)

20、 X (2 + 1) =24o【小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路大全】巧想妙算文字題17 .想法則用來說明運算規(guī)律（或方法）的文字，叫做法則。子比分母少16。求這個分?jǐn)?shù)？由工個分?jǐn)?shù)乘以5,是分子乘以5分母不變”，結(jié)果是分子的 5倍比3倍比分母少16。知分子的 53=2（倍）是 2+16= 18,分子為 18 +2=9,分母為 9X5-2=43 或 9X3+ 16 = 4318 .想公式證明方法：以分母a ,要加（或減）的數(shù)為（2）設(shè)分子加上（或減去）的數(shù)為x,分母應(yīng)加上（或減去）的數(shù)為y。19 .想性質(zhì)仞1 1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽（C）卷題6:有甲、乙兩個多少倍?200+16= 12.5（倍）。仞

21、2思考題：三個最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子是連續(xù)自然數(shù)，分母大于10,且它們最小公分母是 60;其中一個分?jǐn)?shù)的值，等于另兩個分?jǐn)?shù)的和。寫出這三個分?jǐn)?shù)。由 分母都大于10,且最小公分母是 60”，知其分母只能是 12、15、20; 12、15、30; 12、15、60。由分子是連續(xù)自然數(shù)”，知分子只能是小于 12的自然數(shù)。滿足題意的三個分?jǐn)?shù)是（二）第400個分?jǐn)?shù)是幾分之幾？此題特點：（2）每組分子的排列：假設(shè)某一組分?jǐn)?shù)的分母是自然數(shù)n,則分子從1遞增到n,再遞減到1。分?jǐn)?shù)的個數(shù)為 n+n1 = 2n1,即任何一組分?jǐn)?shù)的個數(shù)總是奇數(shù)。（3）分母數(shù)與分?jǐn)?shù)個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，正是自然數(shù)與奇數(shù)的對應(yīng)關(guān)系分母：1、

22、2、3、4、5、分?jǐn)?shù)個數(shù)：1、3、5、7、9、（4）每組分?jǐn)?shù)之前（包括這組本身）所有分?jǐn)?shù)個數(shù)的和，等于這組的組號（這一組的分母）的平方。例如，第3組分?jǐn)?shù)前（包括第3組）所有分?jǐn)?shù)個數(shù)的和是 32=9。10X2 1 6=13（個）位置上。分別排在 81+ 7= 88（個），81+13=94（個）的位置上?；蛘?102=100, 100 12=88。100 6=94, 88 +6=94。問題（二）:由上述一串分?jǐn)?shù)個數(shù)的和與組號的關(guān)系，將400分成某數(shù)的平方，這個數(shù)就是第 400個分?jǐn)?shù)所在的組數(shù)400=202,分母也是它。第400個分?jǐn)?shù)在第20組分?jǐn)?shù)中，400是這20組分?jǐn)?shù)的和且正好是 20的平方無剩

23、余，故可斷定是最后一個，即若分解為某數(shù)的平方有剩余，例如，第 415個和385個分?jǐn)?shù)各是多少。逆向思考，上述的一串分?jǐn)?shù)中，分母是 35的排在第幾到第幾個？352-（35 X2-1） + 1=122569+1 = 1157。排在1157 1225個的位置上。20 .由規(guī)則想例如，1989年從小愛數(shù)學(xué)邀請賽試題：接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每一個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)字。例如，8X9 = 72,在9后面寫2, 9X2 = 18,在2后面寫8,得到一串?dāng)?shù)：1989286這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？先按規(guī)則多計算幾個數(shù)字，得1989286884286884顯然，

24、1989后面的數(shù)總是不斷重復(fù)出現(xiàn)286884 ,每6個一組。（1989 4）+6 = 3305最后一組數(shù)接著白五個數(shù)字是28688,即第1989個數(shù)字是8。21 .用規(guī)律仞1第六冊P62第14題：選擇“ 十、 X、+”中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別等 于 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。（1）2 2 2 2 2=0（2）2 2 2 2 2=1（10）2 2 2 2 2 =9解這類題的規(guī)律是：先想用兩、三個 2列出，結(jié)果為0、1、2的基本算式: 22=0, 2+2=1 ;再聯(lián)想 2 2+2=1, 2X 2-2=2, 2 + 2+2 = 3, 每題都有幾種選填方法，這里各介

25、紹一種： 2-2+2-2-2=02-2X 2 2+2=12-2+2-2X2=22X 2+2 + 2 2 = 32-2-2+2X2=52+2-2+2X2=62X 2X 2 2+2 = 72-2X 2X2X2 = 82-2+2X2X2=9仞2 第六冊P63題4:寫出奇妙的得數(shù)2+1X9=3+ 12X 9 =4+ 123X 9=5+ 1234X9 =6+ 12345X 9=得數(shù)依次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點：第一個加數(shù)由2開始，每式依次增加1。第二個加數(shù)由乘式組成，被乘數(shù)的位數(shù)依次為1、12、123、繼續(xù)寫下去7+ 123456X 9=11111118+ 12

26、34567X9=111111119+ 12345678X 9= 11111111110+123456789 X 9 = 111111111111 +1234567900 X 9=1111111111112 + 12345679011 X 9=111111111111很自然地想到，可推廣為(1)當(dāng)n=1、2時，等式顯然成立。 設(shè)n=k時，上式正確。當(dāng) n=k + 1時k+ 1+ 123-kx9=k+1 + 123 - (k -1) x 10+ k x 9=k+1 + 123 - (k - 1) X9X 10+9k=k +123(k - 1) x 9 x 10+ 1根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，由(1)、(

27、2)可斷定對于任意的自然數(shù)n,此等式都成立。仞3牢記下面兩個規(guī)律，可隨口說出任意一個自然數(shù)作分母的，所有真分?jǐn)?shù)的和。(1)奇數(shù)(除1外)作分母的所有真分?jǐn)?shù)的和、是 (分母1)+2。=(21 1) -2=10o22 .巧想條件比5小，分母是13的最簡分?jǐn)?shù)有多少個。764為64 (7 1) =58(個)，去掉13的倍數(shù)13、26、39、52,余下的作分子得 54個最簡分?jǐn)?shù)。仞2 一個整數(shù)與1、2、3,通過加減乘除(可添加括號)組成算式，若結(jié)果為 24這個整數(shù)就是可用的。4、5、 6、7、8、9、10中，有幾個是可用的。看結(jié)果，想條件，知都是可用的。4X (1 +2+3) = 24(5 +1 + 2

28、) X 3 = 246X (3 + 2- 1) = 247 X 3+ 1 + 2 = 248 X 3-(2 - 1) = 249 X 3 1 2 = 2410X2+ 1 + 3=2423 .想和不變無論某數(shù)是多少，原分?jǐn)?shù)的分子與分母的和7 + 11=18是不變的。|而新分?jǐn)?shù)的分子與分母的和為1+2=3,要保持原和不變，必同時擴(kuò)大18+3 = 6（倍）。某數(shù)為 7 6 = 1 或 12 11 = 1。24 .想和與差算理，原式相當(dāng)于求這個分?jǐn)?shù)25 .想差不變分子與分母的差4135 = 6是不變的。新分?jǐn)?shù)的此差是87 = 1,要保持原差不變，新分?jǐn)?shù)的分 子和分母需同時擴(kuò)大6+1 =6（倍）。某數(shù)為

29、 42 35 = 7,或 48-41 =7。與上例同理。23 11 = 12, 3 1=2, 12+2 = 6,某數(shù)為 116 = 5 或 23 18 = 5。分子加上3變成1 ,說明原分?jǐn)?shù)的分子比分母小 3。當(dāng)分母加上2后，分子比分母應(yīng)小3 + 2=526 .想差的1/2對于任意分母大于2的同分母最簡真分?jǐn)?shù)來說，其元素的個數(shù)一定是偶數(shù)，和為這個偶數(shù)的一半。 分母減去所有非最簡真分?jǐn)?shù)（包括分子和分母相同的這個假分?jǐn)?shù)）的個數(shù)，差就是這個偶數(shù)。例1求分母是12的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和。由12中2的倍數(shù)有6個，3的倍數(shù)有4個，（2刈）的倍數(shù)2個，知所求數(shù)是例2分母是105的，最簡真分?jǐn)?shù)的和是多少？倍數(shù)15個，（3%）、（5 >7）、（3斤）的倍數(shù)分別是7、3、5個，（3 >5X7）的倍數(shù)1個。知105 （35+21+15） （3 + 5 + 7）+11 =48,48 妥= 24。27.借助加減恒等式個數(shù)。若從中找出和為1的9個分?jǐn)?shù)，將上式兩邊同乘以 2,這九個分?jǐn)?shù)是28.計算比較例如，九冊思考題:1+11、2+11、3+11 10+1