函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)小測(cè)

1、2-21.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)一、選擇題1.設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是()A.b2-4ac>0 B.b>0，c>0C.b=0，c>0 D.b2-3ac<0答案D解析a>0，f(x)為增函數(shù)，f(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立，=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0，b2-3ac<0.2.(2009廣東文，8)函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-，2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2，+)答案D解析考查導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)

2、用.f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex，令f(x)>0，解得x>2，故選D.3.已知函數(shù)y=f(x)(xR)上任一點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率k=(x0-2)(x0+1)2，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.-1，+) B.(-，2C.(-，-1)和(1,2) D.2，+)答案B解析令k0得x02，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-，2.4.已知函數(shù)y=xf(x)的圖象如圖(1)所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中，y=f(x)的圖象大致是()答案C解析當(dāng)0f(x)<0，故y=f(x)在(0,1)上為減函數(shù)當(dāng)x>

3、;1時(shí)xf(x)>0，f(x)>0，故y=f(x)在(1，+)上為增函數(shù)，因此否定A、B、D故選C.5.函數(shù)y=xsinx+cosx，x(-，)的單調(diào)增區(qū)間是()A.-，-2和0，2B.-2，0和0，2C.-，-2和2，D.-2，0和2，答案A解析y=xcosx，當(dāng)-cosx<0，y=xcosx>0，當(dāng)00，y=xcosx>0.6.下列命題成立的是()A.若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則對(duì)任何x(a，b)，都有f(x)>0B.若在(a，b)內(nèi)對(duì)任何x都有f(x)>0，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)C.若f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f(x)

4、必存在D.若f(x)在(a，b)上都存在，則f(x)必為單調(diào)函數(shù)答案B解析若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則f(x)0，故A錯(cuò);f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)與f(x)是否存在無(wú)必然聯(lián)系，故C錯(cuò);f(x)=2在(a，b)上的導(dǎo)數(shù)為f(x)=0存在，但f(x)無(wú)單調(diào)性，故D錯(cuò).7.(2007福建理，11)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0時(shí)，f(x)>0，g(x)>0，則x<0時(shí)()A.f(x)>0，g(x)>0 B.f(x)>0，g(x)<0C.f(x)<0，g(x)>0 D.f(x)<

5、;0，g(x)<0答案B解析f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同(反)，x<0時(shí)，f(x)>0，g(x)<0.8.f(x)是定義在(0，+)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf(x)+f(x)0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若aA.af(a)f(b) B.bf(b)f(a)C.af(b)bf(a) D.bf(a)af(b)答案C解析xf(x)+f(x)0，且x>0，f(x)0，f(x)-f(x)x，即f(x)在(0，+)上是減函數(shù)，又09.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x-1)f(x)0，則必有()A.f(0)+f(2)&l

6、t;2f(1) B.f(0)+f(2)2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)答案C解析由(x-1)f(x)0得f(x)在1，+)上單調(diào)遞增，在(-，1上單調(diào)遞減或f(x)恒為常數(shù)，故f(0)+f(2)2f(1).故應(yīng)選C.10.(2010江西理，12)如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0)，則導(dǎo)函數(shù)y=S(t)的圖像大致為()答案A解析由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增減增減，其中恰露出一個(gè)角時(shí)變化不連續(xù)，故選A.二、填空題11.已知y=13x3+bx2+(

7、b+2)x+3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則b的范圍為_.答案b<-1或b>2解析若y=x2+2bx+b+20恒成立，則=4b2-4(b+2)0，-1b2，由題意b<-1或b>2.12.已知函數(shù)f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在區(qū)間(1，+)內(nèi)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.答案a1解析由已知a>1+lnxx在區(qū)間(1，+)內(nèi)恒成立.設(shè)g(x)=1+lnxx，則g(x)=-lnxx2<0(x>1)，g(x)=1+lnxx在區(qū)間(1，+)內(nèi)單調(diào)遞減，g(x)g(1)=1，1+lnxx<1在區(qū)間(1，+)內(nèi)恒成立，a1.13.函數(shù)y=ln(x2-

8、x-2)的單調(diào)遞減區(qū)間為_.答案(-，-1)解析函數(shù)y=ln(x2-x-2)的定義域?yàn)?2，+)(-，-1)，令f(x)=x2-x-2，f(x)=2x-1<0，得x<12，函數(shù)y=ln(x2-x-2)的單調(diào)減區(qū)間為(-，-1).14.若函數(shù)y=x3-ax2+4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案3，+)解析y=3x2-2ax，由題意知3x2-2ax<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立，即a>32x在區(qū)間(0,2)上恒成立，a3.三、解答題15.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1，-11).(1)求a、b的值;(2)討

9、論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解析(1)求導(dǎo)得f(x)=3x2-6ax+3b.由于f(x)的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1，-11)，所以f(1)=-11，f(1)=-12，即1-3a+3b=-113-6a+3b=-12，解得a=1，b=-3.(2)由a=1，b=-3得f(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).令f(x)>0，解得x<-1或x>3;又令f(x)<0，解得-1所以當(dāng)x(-，-1)時(shí)，f(x)是增函數(shù);當(dāng)x(3，+)時(shí)，f(x)也是增函數(shù);當(dāng)x(-1,3)時(shí)，f(x)是減函數(shù).16.求證：方程x-12sinx=0只有一

10、個(gè)根x=0.證明設(shè)f(x)=x-12sinx，x(-，+)，則f(x)=1-12cosx>0，f(x)在(-，+)上是單調(diào)遞增函數(shù).而當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0，方程x-12sinx=0有唯一的根x=0.17.已知函數(shù)y=ax與y=-bx在(0，+)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間.分析可先由函數(shù)y=ax與y=-bx的單調(diào)性確定a、b的取值范圍，再根據(jù)a、b的取值范圍去確定y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間.解析函數(shù)y=ax與y=-bx在(0，+)上都是減函數(shù)，a<0，b<0.由y=ax3+bx2+5得y=3ax2+2bx.令y>0，得3ax2+2b

11、x>0，-2b3a當(dāng)x-2b3a，0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).令y<0，即3ax2+2bx<0，x<-2b3a，或x>0.在-，-2b3a，(0，+)上時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).18.(2010新課標(biāo)全國(guó)文，21)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=12，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)x0時(shí)f(x)0，求a的取值范圍.解析(1)a=12時(shí)，f(x)=x(ex-1)-12x2，f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).當(dāng)x(-，-1)時(shí)，f(x)>0;當(dāng)x(-1,0)時(shí)，f(x)<0;當(dāng)x(0，+)時(shí)，f(x)>0.故f(x)在(-，-1，0，+)上單調(diào)遞增，在-1,0上單調(diào)遞減.(2)f(x)=x(ex-1-ax).令g(x