D91常數(shù)項級數(shù)ppt課件

1、數(shù)項級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)第九章數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、數(shù)項級數(shù)的概念一、數(shù)項級數(shù)的概念 二、級數(shù)的基本性質(zhì)二、級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 四、柯西收斂原理四、柯西收斂原理 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第一節(jié) 第九章 一、數(shù)項級數(shù)的概念一、數(shù)項級數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形邊形, , 這

2、個和逼近于圓的面積這個和逼近于圓的面積 A .0a1a2ana設(shè)設(shè) a0 表表示示,時n即naaaaA210內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)表示邊數(shù)增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正則圓內(nèi)接正邊形面積為n23機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 引例引例2. 小球從小球從 1 米高處自由落下米高處自由落下, 每次跳起的高度減每次跳起的高度減少一半少一半, 問小球是否會在某時刻停止運動問小球是否會在某時刻停止運動? 說明道理說明道理.由自由落體運動方程由自由落體運動方程2g21ts 知知g2st 則小球運動的時間為則小球運動的時間為1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263. 2

3、( s )設(shè)設(shè) tk 表示第表示第 k 次小球落地的時間次小球落地的時間, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義：定義： 給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列,321nuuuu將各項依將各項依,1nnu即即1nnunuuuu321稱為無窮數(shù)項級數(shù)，稱為無窮數(shù)項級數(shù)， 其中第其中第 n 項項nu叫做級數(shù)的通項或叫做級數(shù)的通項或 一般項一般項,級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項和項和nkknuS1稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和.nuuuu321次相加次相加, 簡記為簡記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)并稱并稱 S 為級數(shù)的和為級數(shù)的和, 記作記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1n

4、nuS當(dāng)級數(shù)收斂時當(dāng)級數(shù)收斂時, 稱差值稱差值21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項為級數(shù)的余項.,lim不存在若nnS則稱無窮級數(shù)發(fā)散則稱無窮級數(shù)發(fā)散 .顯然顯然0limnnr機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù)又稱幾何級數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1q12nnqaqaqaaSqqaan1時，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而從而qannS1lim因此級數(shù)收斂因此級數(shù)收斂 ,;1 qa,1時當(dāng)q,limnnq由于從而從而,limnnS則部分和則部分和因此級數(shù)發(fā)散因此

5、級數(shù)發(fā)散 .其和為其和為機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 2). 假假設(shè)設(shè),1q,1時當(dāng)qanSn因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時當(dāng)qaaaaan 1) 1(因而因而nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n 為偶數(shù)為偶數(shù)從而從而nnSlim綜合綜合 1)、2)可知可知,1q時時, 等比級數(shù)收斂等比級數(shù)收斂 ;1q時時, 等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散 .那那么么,級數(shù)成為級數(shù)成為,a,0不存在不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 1

6、2lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級數(shù)所以級數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧:利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和23ln34lnnn1ln機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級數(shù)所以級數(shù) (2) 收斂收斂, 其和為其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 判別級數(shù)判別級數(shù)2211lnnn的斂散性的斂散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1l

7、n(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂 , 其和為其和為.2ln機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂于收斂于 S ,1nnuS則各項則各項乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級數(shù)所得級數(shù)1nnuc也收斂也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS那么那么nkknuc1,nScnnlimSc這說明這說明1nnuc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . n

8、nSclim說明說明: 級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即即其和為其和為 c S .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù)設(shè)有兩個收斂級數(shù),1nnuS1nnv則級數(shù)則級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S證證: 令令,1nkknuS,1nkknv那那么么)(1knkknvu nnS)(nS這說明級數(shù)這說明級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 那那么么)(1nnnvu 必發(fā)散必發(fā)散 .

9、但若二級數(shù)都發(fā)散但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .(用反證法可證用反證法可證)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù)不會影響級數(shù)的斂散性的斂散性.證證: 將級數(shù)將級數(shù)1nnu的前的前 k 項去掉項去掉,1nnku的部分和為的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時由于n數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級數(shù)收斂時當(dāng)級數(shù)收斂時, 其和的關(guān)系為其和的關(guān)

10、系為.kSS 類似可證前面加上有限項的情況類似可證前面加上有限項的情況 .極限狀況相同極限狀況相同, 故新舊兩級故新舊兩級所得新級數(shù)所得新級數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)數(shù)的和的和.證證: 設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù),1nnuS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu則新級數(shù)的部分和序列則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級數(shù)部分和為原級數(shù)部分和序列序列 ),2,1(nSn的一個子序列的一個子序列,nnmmS limlimS推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧

11、后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但但1111發(fā)散發(fā)散.因此必有因此必有例如，例如，用反證法可證用反證法可證例如例如機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4.判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性:141141131131121121解解: 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)發(fā)散 .nn121機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收

12、斂的必要條件 設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù),1nnuS則必有則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見可見: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項為其一般項為1) 1(1nnunn不趨于不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散因此這個級數(shù)發(fā)散.nun,時當(dāng)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注意注意:0limnnu并非級數(shù)收斂的充分條件并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)nnn13121111雖然雖然，01limlimnunnn但此級數(shù)發(fā)散但此級數(shù)發(fā)散 .事實

13、上事實上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 那那么么0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛盾矛盾! ! 所以假設(shè)不真所以假設(shè)不真 .21機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和若收斂求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 那那么么nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故故euuunn11從而從而,0limnnu這說明級數(shù)這說明級數(shù)(1) 發(fā)散發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11) 1(!

14、) 1(nnnnennnne!機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進(jìn)行拆項相消進(jìn)行拆項相消,41limnnS這說明原級數(shù)收斂這說明原級數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為其和為)2)(1(121121nn(2) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n12

15、12nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132這說明原級數(shù)收斂這說明原級數(shù)收斂, 其和為其和為 3 ., 3limnnS故(3) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 的充要條件是的充要條件是:四、柯西收斂原理四、柯西收斂原理 定理定理.收斂級數(shù)1nnu, 0,ZNpnnnuuu21時，當(dāng)Nn ,Zp對任意有有證證: 設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為),2, 1(nSn因為因為npnpnnnSSuuu21所以所以, 利用數(shù)列利用數(shù)列 ),2, 1(nSn的柯西收斂原理的柯西收斂原理即得本定理的結(jié)論即得本定理的結(jié)論 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6