1.5.2　全稱量詞命題和存量詞命題否定

1、1.5.2全稱量詞命題和存量詞命題否定 1.5.2 全稱量詞命題和存在量詞命題的否定 課標解讀 課標要求 核心素養(yǎng) 1.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定.(重點) 2.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.(重點) 1.通過對含量詞的命題的否定,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng). 2.借助全稱量詞命題和存在量詞命題的應(yīng)用,提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng). 問題:有以下命題:沒有男生愛踢足球;所有男生都不愛踢足球;至少有一個男生不愛踢足球;所有女生都 愛踢足球.其中命題"所有男生都愛踢足球'的否定是 .(填序號) 答案 . 1.全稱量詞命題、存在量詞命題的否定 2.全稱量詞命題、存在

2、量詞命題及其否定的關(guān)系 (1)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題. (2)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題. 思考:"一元二次方程 ax2 +2x+1=0 有實數(shù)解'是存在量詞命題還是全稱量詞命題?試改寫成相應(yīng)命題的形式,并寫出該命題的否定. 提示 是存在量詞命題.可改寫為"存在 xr,使 ax2 +2x+1=0',其否定為"xr,ax2 +2x+10'. 特別提醒 (1)一般命題的否定通常是保留條件否定其結(jié)論,得到真假性完全相反的兩個命題; (2)含有一個量詞的命題的否定,是在否定結(jié)論 p(x)的同時,改變量詞的屬性,即全稱量詞改為存在量詞

3、,存在量詞改為全稱量詞. 探究一 全稱量詞命題的否定 例 1 寫出下列全稱量詞命題的否定: (1)一切分數(shù)都是有理數(shù); (2)所有自然數(shù)的平方都是正數(shù); (3)任何實數(shù) x 都是方程 5x-12=0 的根; (4)對任意實數(shù) x,x2 +10. 解析 (1)存在一個分數(shù),它不是有理數(shù). (2)有些自然數(shù)的平方不是正數(shù). (3)存在實數(shù) x 不是方程 5x-12=0 的根. (4)存在實數(shù) x,使得 x2 +10. 思維突破 (1)對全稱量詞命題進行否定時要做到"兩變':一變量詞,即把全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~;二變結(jié)論(即否定結(jié)論). (2)對省略全稱量詞的全稱量詞命題可補上量詞后

4、進行否定. 1.寫出下列命題的否定,并判斷其真假: (1)p:無論 m 取任何實數(shù),方程 x2 +mx-1=0 必有實根; (2)p:xn + ,2x0. 解析 (1)p:存在一個實數(shù) m,使方程 x2 +mx-1=0 沒有實根. 因為該方程的判別式 =m2 +40 恒成立,所以p 為假命題. (2)p:xn + ,2x0.p 為假命題. 探究二 存在量詞命題的否定 例 2 寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷其真假: (1)p:x1,使 x2 -2x-3=0; (2)p:有些素數(shù)是奇數(shù); (3)p:有些平行四邊形不是矩形. 解析 (1)p:x1,x2 -2x-30.p 為假命題. (2)p:所

5、有的素數(shù)都不是奇數(shù).p 為假命題. (3)p:所有的平行四邊形都是矩形.p 為假命題. 思維突破 對存在量詞命題進行否定時,首先把存在量詞改為全稱量詞,然后對判斷詞進行否定,可以結(jié)合命題的實際意義進行表述. 2.寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷其真假: (1)有些三角形是銳角三角形; (2)x,yz,使得2x+y=3. 解析 (1)命題的否定:"所有的三角形都不是銳角三角形',命題的否定為假命題. (2)命題的否定:"x,yz,2x+y3'. 當 x=0,y=3 時,2x+y=3, 命題的否定是假命題. 探究三 全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用 例 3 已

6、知命題 p:xr,不等式 x2 +4x-1m 恒成立,求實數(shù) m 的取值范圍. 解析 令 y=x2 +4x-1,xr,則 y=(x+2) 2 -5-5, 因為xr,不等式 x2 +4x-1m 恒成立,所以只要 m-5 即可. 所以所求實數(shù) m 的取值范圍是m|m-5. 思維突破 含有量詞的命題中參數(shù)的取值范圍的求解策略 (1)對于全稱量詞命題"xm,ay(或 ay)'為真的問題,實質(zhì)就是不等式恒成立問題,通常轉(zhuǎn)化為求 y 的最大值(或最小值),即 ay max (或 ay min )的問題. (2)對于存在量詞命題"xm,ay(或 ay)'為真的問題,實質(zhì)就

7、是不等式能成立問題,通常轉(zhuǎn)化為求 y 的最小值(或最大值),即 ay min (或 ay max )的問題. 3.(1)(變條件)把例 3 中的條件變?yōu)?quot;xr,使不等式-x2 +4x-1m 有解',求實數(shù) m 的取值范圍; (2)(變條件)把例 3 中的條件"xr'改為"x1,+)',求實數(shù) m 的取值范圍. 解析 (1)令 y=-x2 +4x-1,則 y=-x 2 +4x-1=-(x-2) 2 +33, 因為xr,-x2 +4x-1m 有解,所以只要 m 小于函數(shù)的最大值即可, 所以所求實數(shù) m 的取值范圍是m|m3. (2)令 y=x2

8、 +4x-1,x1,+),則 y=(x+2) 2 -5(1+2) 2 -5=4,因為x1,+),不等式x2 +4x-1m 恒成立,所以只要 m4 即可. 所以所求實數(shù) m 的取值范圍是m|m4. 1.命題"x0,都有 x2 -x+30'的否定是( ) a.x0,使得 x2 -x+30 b.x0,使得 x2 -x+30 c.x0,都有 x2 -x+30 d.x0,都有 x2 -x+30 答案 b 2.命題"存在一個無理數(shù),它的平方是有理數(shù)'的否定是( ) a.任意一個有理數(shù),它的平方是有理數(shù) b.任意一個無理數(shù),它的平方不是有理數(shù) c.存在一個有理數(shù),它的平方

9、是有理數(shù) d.存在一個無理數(shù),它的平方不是有理數(shù) 答案 b 量詞"存在'改為"任意',結(jié)論"它的平方是有理數(shù)'否定后為"它的平方不是有理數(shù)',故選 b. 3.命題"xr,x2 +2x+5=0'的否定是 . 答案 xr,x2 +2x+50 解析 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,故將"'改為"',"='改為"'. 4.命題"每個函數(shù)都有最大值'的否定是 . 答案 有些函數(shù)沒有最大值 5.已知命題 p:xr,x2 +2a

10、x+a0.若命題 p 是假命題,求實數(shù) a 的取值范圍. 解析 若命題 p 為真命題,則 =4a2 -4a0,解得 0a1,當 p 為假命題時,a 的取值范圍是a|a0 或 a1. 邏輯推理文字推理問題的求解 甲、乙、丙、丁四個人參加某項競賽,四人在成績公布前做出了如下預(yù)測: 甲說:獲獎?wù)咴谝?、丙、丁三人? 乙說:我不會獲獎,丙獲獎; 丙說:甲和丁中有一人獲獎; 丁說:乙猜測的是對的. 成績公布后表明,四人中有兩人的預(yù)測與結(jié)果相符,另外兩人的預(yù)測與結(jié)果不相符.已知有兩人獲獎,則獲獎的是( ) a.甲和丁 b.甲和丙 c.乙和丙 d.乙和丁 素養(yǎng)探究:公務(wù)員考試中的文字型邏輯推理題,是近幾年高

11、考的重要題型,需要統(tǒng)籌文字條件篩選出有效信息,從而做出正確判斷,解決此類問題多采用對立假設(shè)分析法,過程中體現(xiàn)邏輯推理素養(yǎng). 答案 d 解析 易知乙、丁的預(yù)測要么同時與結(jié)果相符,要么同時與結(jié)果不符,若乙、丁的預(yù)測與結(jié)果相符,則甲、丙的預(yù)測與結(jié)果不相符,矛盾,故乙、丁的預(yù)測與結(jié)果不相符,從而獲獎的是乙和丁,故選 d. 來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人剛好碰在一起.他們除懂本國語言外,每人還會說其他三國語言中的一種.有一種語言是三個人都懂的,但沒有一種語言四個人都懂,現(xiàn)知道:甲是日本人,丁不會說日語,但他倆能自由交談;四人中沒有一個人既能用日語 交談,又能用法語交談;乙、丙、丁交談時,不能

12、只用一種語言;乙不會說英語,當甲與丙交談時,他能做翻譯.則甲、乙、丙、丁會說的語言分別是( ) a.日語和德語、法語和德語、英語和法語、英語和德語 b.日語和英語、日語和德語、德語和法語、日語和英語 c.日語和德語、法語和德語、英語和德語、英語和德語 d.日語和法語、英語和德語、法語和德語、法語和英語 答案 a 分析題目和選項,由中丁不會說日語,排除 b 選項;由知,沒有人既會日語又會法語,排除 d 選項;由知,乙、丙、丁不會同一種語言,排除 c 選項,故選 a. 1.命題"存在實數(shù) x,使 x1'的否定是( ) a.對任意實數(shù) x,都有 x1 b.不存在實數(shù) x,使 x1

13、c.對任意實數(shù) x,都有 x1 d.存在實數(shù) x,使 x1 答案 c "存在實數(shù) x,使 x1'的否定是"對任意實數(shù) x,都有 x1'. 2.命題"xr,|x|+x2 0'的否定是( ) a.xr,|x|+x2 0 b.xr,|x|+x2 0 c.xr,|x|+x2 0 d.xr,|x|+x2 0 答案 c 條件"xr'的否定是"xr',結(jié)論"|x|+x2 0'的否定是"|x|+x 2 0'. 3.關(guān)于命題 p:"xr,x2 +10'的敘述,正確的是(

14、 ) a.p:xr,x2 +10 b.p:xr,x2 +1=0 c.p 是真命題,p 是假命題 d.p 是假命題,p 是真命題 答案 c 命題 p:"xr,x2 +10'的否定是"xr,x 2 +1=0'.所以 p 是真命題,p 是假命題. 4.(多選)已知命題 p:實數(shù)的平方是非負數(shù),則下列結(jié)論正確的是( ) a.命題p 是假命題 b.命題 p 是存在量詞命題 c.命題 p 是全稱量詞命題 d.命題 p 既不是全稱量詞命題也不是存在量詞命題 答案 ac 命題 p:實數(shù)的平方是非負數(shù),是真命題,故p 是假命題,命題 p 是全稱量詞命題,故選 ac. 5.若命題 p:"xr,x2 -2x+m0'是真命題,則實數(shù) m 的取值范圍是( ) a.m1 b.m1 c.m1 d.m1 答案 b 命題 p:xr,x2 -2x+m0 是真命題,則 0,即 m1.故選 b. 6.命題"兩條直線平行,同位角相等'的否定為 . 答案 存在兩條直線平行,同位角不相等 7.命題 p:"有的三角形是直角三角形',則 p 的否定是 ,p 的否定是 (填"真'或"假')命題. 答案 所有的三角形都不是直角三角形;