壓軸題解題策略平行四邊形的存在性問題

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略平行四邊形的存在性問題解題策略2015年9月13日星期日專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算.難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以 使計(jì)算又好又快.如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn).如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況.根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，靈活運(yùn)用坐標(biāo)平移，可以使得計(jì)算過程簡(jiǎn)便.根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用坐標(biāo)對(duì)稱

2、，可以使得解題簡(jiǎn)便.例題解析拋物線y= x2 與y軸交于點(diǎn)C, 是平行四邊形，圖1-1例？如圖1-1 ,在平面直角坐標(biāo)系中，已知2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))， 頂點(diǎn)為P,如果以點(diǎn)P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形 求點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】P、A、C三點(diǎn)是確定的，過 PAC的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩 兩相交，產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)D (如圖1-2).由 y=x2 2x + 3=(x+1)2 + 4,得 A3,0) , C(0, 3) , P( 1,4).由于 A( 3,0)右3 卜 3 j C(0, 3)，所以 P( 1,4) 右3 卜 3 j D(2, 7)由于 C(0,

3、3) 下3,在3 A 3,0),所以 P( 1,4)下3,在3 D2(-4, 1).由于 P(1,4)右 1,下 1 C(0, 3)，所以 A( 3,0)右 1,下 1 口(2, -1).我們看到，用坐標(biāo)平移的方法，遠(yuǎn)比用解析式構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便多了.圖1-2例？如圖2-1 ,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y=x2+2x + 3與x軸交于A、B兩點(diǎn)， 點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M A B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形， 求點(diǎn)M的坐標(biāo).圖2-1【解析】在-P、M A、B四個(gè)點(diǎn)中，A、B是確定的，以AB為分類標(biāo)準(zhǔn).由 y=x2+2x + 3=(x+1)(x 3),得 A(1,

4、0), B(3 , 0).如圖2-2,當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，PM與AB互相平分，因此點(diǎn)M與點(diǎn)P關(guān)于AB的中點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2.此時(shí)M2, 3).如圖2-3,圖2-4,當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PM/ AB, PM= AB= 4.所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或一4.所以M(4, 5)或(一4,21).我們看到，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)是確定的，在解圖2-2時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性先確定了點(diǎn) M的橫 坐標(biāo)；在解圖2-3和圖2-4時(shí)，根據(jù)平移先確定了點(diǎn) M的橫坐標(biāo).圖2-2圖2-3圖2-4例？如圖3-1 ,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y= x + 4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B, 點(diǎn)C在直線AB上，

5、在平面直角坐標(biāo)系中求，一點(diǎn)D,使彳導(dǎo)以Q A C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱 形.圖3-1【解析】由y= x + 4,得A(4, 0),直線AB與坐標(biāo)軸的夾角為45° .在Q A、C D四個(gè)點(diǎn)中，Q A是確定的，以線段OA為分類標(biāo)準(zhǔn).如圖3-2,如果OA是菱形的對(duì)角線，那么點(diǎn) C在OA的垂直平分線上，點(diǎn)C(2,2)關(guān)于OA 的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2, 2).如果OA是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3,以。為圓心，OA為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)恰好為點(diǎn)B(0, 4),那么正方形 AOCD勺頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4, 4).如圖3-4,以A為圓心，AO為半徑的圓與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn) C(42j

6、2,2")和C (4+2應(yīng)1立，點(diǎn)C和C'向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D(-2左,2點(diǎn))和D' (272, -272).圖3-2圖3-3圖3-4半軸交于點(diǎn)M在拋物線 的四邊形是 說明理由.圖4-1橫坐標(biāo)2例？如圖4-1 ,已知拋物線y =f x2+16x與x軸的負(fù) 33C,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, 3),點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn) 上，是否存在這樣的點(diǎn) M N,使彳導(dǎo)以M N、C E為頂點(diǎn) 平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)【解析】C(-4,0)、E(0, 3)兩點(diǎn)是確定的，點(diǎn)N的 也是確定的.以CE為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論平行四邊形：如圖4-2,當(dāng)CE為平行

7、四邊形的邊時(shí)，由于 C E兩點(diǎn)間的水平距離為4,所以M N 兩點(diǎn)間的水平距離也為4,因此點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為一6或2.將x= 6和x= 2分別代入拋物線的解析式，得 M( 6,16)或(2, 16)如圖4-3,當(dāng)CE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，M為拋物線的頂點(diǎn)，所以M(-2,-) .3圖4-2圖4-3例？如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y = ax2 2ax3a (a<0)與x軸交于A、B兩 點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，直線 AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn) C,且CD= 4AC設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn) Q在拋物線上，以點(diǎn) A D P、Q為頂 點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？

8、若能，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.圖5-1【解析】由 y = ax2 2ax3a = a(x+1)( x 3),得 A( 1,0).由 C* 4AQ 彳3 xd= 4.所以 D(4, 5 a).已知A(1,0)、D(4, 5 a), xp= 1,以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：如圖5-2,如果AD為矩形的邊，我們根據(jù) AD/ QP； AD= Q詠兩次平移坐標(biāo).由于A、D兩點(diǎn)間的水平距離為5,所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一4.所以Q4,21a).由于A、一口兩點(diǎn)間的豎直距離為一5a,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為26a.所以P(1,26 a).根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得 AP2=QD.所以22+ (26a)

9、2 =82+ (16a)2.整理，得7a2= 1.所以a=-此時(shí)P(1,-邛).如圖5-3,如果AD為矩形的對(duì)角線，我們根據(jù) AP/QD, AP= QD#兩次平移坐標(biāo).由于A、P兩點(diǎn)間的水平距離為2,所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2.所以Q2, -3a).由于Q D兩點(diǎn)間的豎直距離為一8a,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8a.所以P(1, 8 a).再根據(jù) AD= PQ,得 52+ (5a)2=12+(11a)2.整理，得4a2= 1,所以a=-1.此時(shí)P(1,-4) .2我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構(gòu)造矩形的外接矩形，使得外接矩形的.邊與坐標(biāo)軸平行，那么線段的等量關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系.上面我們根據(jù)

10、“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”列方程，還可以根據(jù)定義“有一個(gè)角 是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程.如圖5-2,如果/AD四90° ,那么MA=_ND；如圖5-3,如果/ QAP= 90。，那么GQ=3.MD NPGA KP圖5-2圖5-3例？如圖6-1,將拋物線ci： y = H3x2+V3沿x軸翻折，得到拋物線C2.現(xiàn)將拋物線ci向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線C2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為 N,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為 D、E.在平移過程中，是否存在以點(diǎn) A、N、E、M為頂點(diǎn)的 四邊形是矩形

11、的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們?nèi)未嬲?，將A、B、D、E、M N六個(gè)點(diǎn)及它們的坐標(biāo)在圖中都標(biāo)注出來(如圖 6-2),如果您看到了 MAEftANEDg 邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，那么平移就簡(jiǎn)單了.如圖6-3,在兩個(gè)等邊三角形平移的過程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANEM 保持平行四邊形的形狀，點(diǎn) O為對(duì)稱中心.【解法一】如果/AN匿900 ,根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊-的一半，可得A2EN =4.而AE= A»。白2AQ所以A0= 2,已知A五2,此時(shí)B。重合(如圖6-4

12、),所以 B0= 1.【解法二】如果對(duì)角線 MN= AE,那么0陣0A此時(shí)AMAO1等邊三角形.所以等邊三角 形 MABWzXMAOl合.因此 B、O重合，BO= 1.【解法三】在平移的過程中，A(_1_m,0)、B(1_m,0), M(-mJ3),根據(jù)。=OM2列方程(1 +m)2=m2+ 3.解得 1.圖6-2圖6-3例？如圖7-1 ,菱形ABCD勺邊長(zhǎng)為4, /B= 60另IJ在AD BC上，且ACG(1)求證四邊形EFGK平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形EFG日矩形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；(3)當(dāng)四邊形EFGH菱形時(shí)，求AE的長(zhǎng).圖6-4,E、H分別是AR CD的中點(diǎn)，E、G分D圖7-1【解析】(1

13、)證明三角形全等得EF= GH口 FG= HE大家最熟練了.(2)平行四邊形EFGH勺對(duì)角線FH= 4是確定的，當(dāng)E五FH= 4時(shí)，四邊形EFGHI矩形.以FH為直徑畫圓，你看看，這個(gè)圓與 AD有幾個(gè)交點(diǎn)，在哪里？如圖7-2.如圖7-3,當(dāng)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABG5口四邊形DCG郵是平行四邊形.如圖7-4,當(dāng)E與A重合時(shí)，zABG與 DCETB是等邊三角形.(3)如果平彳T四邊形EFGH勺對(duì)角線EGW FH互相垂直，那么四邊形EFGK菱形.過FH的中點(diǎn)。畫FH的垂線，EG就產(chǎn)生了.在 RtzXAOM, / OAE= 600 , AO= 2,此時(shí) AE= 1.又一次說明了如果會(huì)畫圖，答案就在圖形中.圖7- 2圖7-3圖7-4圖7-5例？如圖8-1 ,在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4, 0)、B(0, 3), 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, n),過點(diǎn)C作CEL AB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為x軸正半軸的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足O* 2OC 連結(jié)DEE以DE DA為邊作平行四邊形DEFA(1)如果平行四邊形DEFM矩形，求m的值；(2)如果平行四邊形DEFA*菱形，請(qǐng)直接寫出m的值.圖8-1【解析】這道題目我們著重講解怎樣畫示意圖