八上幾何輔助線專題講解和練習(xí)

1、八上數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談一、添輔助線有二種情況：1 按定義添輔助線 ：如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們，相交后證交角為 90； 證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍； 證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2 按基本圖形添輔助線：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔 助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形， 因此“添 線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵， 是添與二條平行線都相交的等第三 條直線（2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形： 出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等

2、線段時(shí)，往往要連結(jié)已知點(diǎn)補(bǔ)完整等腰三角形 ;（3）等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形： 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，添底邊上的中線；（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊， 要添直角三角形斜邊上的 中線。（）全等三角形：全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等。如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱， 就可以添加輔 助線構(gòu)造軸對(duì)稱形全等三角形；或添對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線即為對(duì)稱軸當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí) 可添加輔助線構(gòu)造中心對(duì)稱形全等三

3、角形加以證明， 添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩 連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線（）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn) 30，45，60，135，150 度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45 角直角三角形三邊比為 1：1： 2；30 度角直角三角形三邊比為 1：2： 3 進(jìn)行證明二、基本圖形的輔助線的畫(huà)法1. 三角形問(wèn)題添加輔助線方法方法 1：倍長(zhǎng)中線法。有關(guān)三角形中線的題目，常將中線倍長(zhǎng)構(gòu)造全等三角 形。方法 2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì) 定理和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。方法 3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫(huà)輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用角平 分

4、線、垂直平分線的性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換。方法 4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采 用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法進(jìn)行轉(zhuǎn)換， 所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分， 證其中 的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2. 平行四邊形中常用輔助線的添法 平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有 某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處， 目的都是造就線段的平行、 垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方 形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形（

5、3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等 積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等 .三、作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。 如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延 長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線； 另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線， 以達(dá)到應(yīng) 用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、角平分線，翻轉(zhuǎn)全等連。 如遇條件中，有垂線或角的平分線， 可以把圖形按軸對(duì)稱的方法， 并借助其他條件，而 旋轉(zhuǎn) 180 度，得到全等

6、形， ，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的 平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 有時(shí)邊角互相配合， 然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定 的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有 時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四：面積找底高，多邊變?nèi)叀?如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積） ，往往作底或 高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。 另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理， 其輔助線的做法， 即“割補(bǔ)” 有二百多種

7、，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀彼?、三角形中作輔助線的常用方法舉例、在證明三角形中多條線段的不等量關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等 關(guān)系證明，如：例 1：已知如圖 1-1 ： D、E為 ABC內(nèi)兩點(diǎn) ,求證 :ABACBDDECE.證明：（法一）將 DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB、AC 于 M、N，在 AMN中， AMAN MD DENE;（1）在 BDM中， MB MD BD；（2）在 CEN中， CN NE CE；（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得：AM ANMBMDCN NEMDDENEBDCEABACB

8、DDEEC圖1 1（法二：）如圖 1-2， 延長(zhǎng) BD交 AC于 F，延長(zhǎng) CE交 BF于 G， 在 ABF和 GFC和 GDE中有：AB AF BD DG GF （三角形兩邊之和大于第三邊） （ 1）GF FCGECE（同上）（2）DG GEDE（同上）（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得：AB AFGFFC DGGEBDDGGFGECEDE ABAC BDDE EC。、在證明三角形中某些角的不等量關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1 ：已知 D為 ABC內(nèi)的任一點(diǎn)

9、，求證： BDC BAC。圖2 1分析：因?yàn)?BDC與 BAC不在同一個(gè)三角形中， 沒(méi)有直接的聯(lián) 系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形， 使 BDC處于在外角的位置， BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng) BD交 AC于點(diǎn) E，這時(shí) BDC是 EDC的外角， BDC DEC，同理 DEC BAC， BDC BAC證法二：連接 AD，并延長(zhǎng)交 BC于 F BDF是 ABD的外角 BDF BAD，同理， CDF CAD BDF CDF BAD CAD即： BDC BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

10、NEF2圖3 1三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造 全等三角形，如：例如：如圖 3-1 ：已知 AD為 ABC的中線，且 12, 3 4, 求證： BE CFEF。分析：要證 BECFEF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把 BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知1 2， 3 4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。證明：在 DA上截取 DNDB，連接 NE， NF，則 DNDC，在 DBE和 DNE中：DN DB （輔助線的作法 ） 12（已知 ）ED ED （公共邊 ） DBE DNE （ SAS）BENE（

11、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得： CFNF在 EFN中 ENFNEF（三角形兩邊之和大于第三邊） BECF EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 4-1 ： AD為 ABC的中線，且 12，3 4，求證： BECFEF證明：延長(zhǎng) ED至 M，使 DM=D，E 連接CM， MF。在 BDE和 CDM中，BD CD（中點(diǎn)的定義 ） 1CDM （對(duì)頂角相等 ）ED MD （輔助線的作法 ） BDE CDM （ SAS）又 1 2， 34 （

12、已知） 1 2 3 4180（平角的定義） 3 2=90，即： EDF 90 FDM EDF 90在 EDF和 MDF中ED MD （輔助線的作法 ） EDFFDM （已證 ）DF DF （公共邊 ） EDF MDF （ SAS） EF MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 CMF中， CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE CFEF注：上題也可加倍 FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 5-1 ：AD為 ABC的中線，求證： ABAC2AD。分析：

13、要證 ABAC2AD，由圖想到： AB BDAD,ACCDAD，所以有 AB AC BDCD ADAD 2AD，左邊比要證結(jié)論多 BDCD，故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造 2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長(zhǎng) AD至 E，使 DE=AD，連接 BE，則 AE 2ADAD為 ABC的中線 （已知） BD CD （中線定義）在 ACD和 EBD中BD CD（已證 ）ADCEDB （對(duì)頂角相等 ）AD ED（輔助線的作法 ） ACD EBD （ SAS）BE CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 ABE 中有： AB BE AE（三角形兩邊之和大于第三 邊）AB

14、AC 2AD。DE圖5 1圖5 2常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知 ABC，AD是 BC邊上的中線，分別以 AB邊、 AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 5-2 ， 求證 EF 2AD。六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 ：在 ABC中， AB AC， 1 2， P為 AD上任一點(diǎn)。求證： ABAC PBPC。分析：要證： ABAC PBPC，想到利用三角形三邊關(guān) 系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第 三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 ABAC，故可在 AB 上截取 AN等于 AC，得 ABACBN， 再連接 PN，則 PCPN，又在 PNB中， PB

15、PN PBPC。證明：（截長(zhǎng)法）在 AB上截取 ANAC連接 PN , 在 APN和 APC中AN AC（輔助線的作法 ） 12（已知 ）AP AP（公共邊 ） APN APC （SAS） PC PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 BPN中，有 PBPN BN （三角形兩邊之差小于第三邊）BP PC PMPC（三角形兩邊之差小于第三邊 ）AB ACPBPC。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 7-1 ：已知 ACBD，ADAC于 A ，BCBD于 B， 求證： ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有 AD，BC的三角形全等 ，有幾種方案 ：ADC與 BCD，AOD與 BOC， ABD與 B

16、AC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng) DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于 E 點(diǎn)， AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90 （垂直的定義）在 DBE與 CAE中EE（公共角 ）DBECAE（已證 ）BD AC（已知 ） DBE CAE （AAS）ED EC EBEA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）ED EAECEB即： AD BC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖 8-1 ：ABCD，ADBC 求證： AB=C

17、D。 分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。 證明：連接 AC（或 BD） ABCD AD BC （已知） 1 2， 3 4 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）圖8 1C在 ABC與 CDA中12（已證 ） AC CA（ 公共邊 ）34（已證 ） ABC CDA （ASA） AB CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖 9-1：在 RtABC中，ABAC，BAC90， 1 2，CE BD的延長(zhǎng)于E 。求證： BD 2CE分析：要證 BD 2CE，想到要構(gòu)造線段 2CE，同時(shí)圖9 1CE與 ABC的平分線垂直，想到要將

18、其延長(zhǎng)。證明：分別延長(zhǎng) BA， CE交于點(diǎn) F。 BE CF （已知） BEF BEC90 （垂直的定義）在 BEF與 BEC中，12（已知 ） BE BE（ 公共邊 ） BEFBEC（已證 ）1 BEF BEC（ASA） CE=FE= CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）2 BAC=90 BE CF （已知） BAC CAF90 1 BDA90 1 BFC90 BDA BFC在 ABD與 ACF中BACCAF （已證 ）BDABFC （已證 ）AB AC （已知） ABD ACF （AAS） BDCF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖 10-1

19、；AC、BD相交于 O點(diǎn)，且 ABDC，ACBD，求證： A D。分析：要證 A D，可證它們所在的三角形 ABO和 DCO全等，而只有 AB DC和對(duì) 頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB DC，AC BD，若連接 BC，則 ABC和 DCB全等，所以，證得 A D。A圖10 1證明：連接 BC，在 ABC和 DCB中AB DC（已知 ） AC DB（已知 ）BC CB（公共邊 ） ABC DCB （SSS）A D （ 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 ）一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1 ：ABDC， A D 求證： ABC DCB。分析：由 ABD

20、C， A D，想到如取 AD的中點(diǎn) N，連接 NB，NC，再由 SAS公理有ABN DCN，故 BNCN， ABN DCN。下面只需證 NBC NCB，再取 BC的中點(diǎn) M，連接 MN，則由 SSS 公理有 NBM NCM，所以 NBC NCB。問(wèn)題得證。AN DN （輔助線的作法 ）圖11 1證明：取 AD，BC的中點(diǎn) N、M，連接 NB，NM， NC。則 AN=DN，BM=CM，在 ABN和 DCNAD（已知 ）AB DC （已知） ABN DCN （ SAS） ABN DCN NB NC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相 等）在 NBM與 NCM中NB NC（已證） BMCM （輔助線的作法 ）

21、 NBC ABN NMNM （公共邊 ） NMB NCM，（SSS） NBC NCB（ 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） NCB DCN 即 ABC DCB。五、巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在 ABC中， BD：DC1： 3，AE： ED2：3， 求 AF： FC。解：過(guò)點(diǎn) D 作 DG如圖 2， BCCD，AF FC，求 EF：FD解：過(guò)點(diǎn) C 作 CG如圖 3，BD：FC。六、輔助線總結(jié)由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角 平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對(duì)稱性； b、角

22、平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊） 。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)， 一般考慮作垂線； 其它情況下 考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與 猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能 掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地 去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常 見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖 1-1 ，AOC=BOC，如取 OE=O，F(xiàn) 并連接

23、DE、DF，則有 OED OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖 1-2 ，ABAC。3已知：如圖 2-5, BAC=CAD,ABA，DCEAB，1AE=2 （ AB+AD）. 求證： D+ B=180 。OBC圖圖1圖-23-21-34.已知：如圖2-6, 在正方形 ABCD中，E為 CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為 BC上的點(diǎn)， FAE=DAE。求證： AF=AD+C。F CAB2-7 ，ACB=90 ,CD足為 D，AE平分AB，垂已知：如圖CF在 Rt ABC中，圖2-7圖示 3-1 CDE交 CD于 F，過(guò) F作 FH2 證： BD=2C。E分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分

24、線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例 3已知：如圖 3-3 在 ABC中， AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線，過(guò)頂點(diǎn) B 作 BFAD，交 AD的延長(zhǎng)線于 F，連結(jié) FC并延長(zhǎng)交 AE于 M。求證： AM=M。EEBF分析：由 AD、AE是 BAC內(nèi)外角平分線，可得 EAAFB已知，如圖， C=2 A，圖A3-3F圖4-2AC=2BC。求證： ABC是直角三角形。A2已知：如圖， AB=2AC，1=2，DA=D，B 求證： DCACDCC4已知：如圖在 ABC中，A=90，AB=AC，BD是 ABC的平分線，求證：BC=AB+AD、由線段和差想到的輔助線口訣： 線

25、段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等 于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線 段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式， 通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)， 如直接證不出來(lái)， 可連接兩點(diǎn) 或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三 角形三邊的不等關(guān)系證明，如：已知如圖 1-1：

26、D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn), 求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將 DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB、AC于 M、 N， 在 AMN中， AM+ANMD+DE+（NE1;） 在 BDM中，MB+MDB；（D 2） 在 CEN中， CN+NEC；E（ 3） 由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（法二：圖 1-2 ）延長(zhǎng) BD交 AC于 F，廷長(zhǎng) CE交 BF于 G，在 ABF和 GFC和 GDE中有：AB+AFBD+DG+（G三F 角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FCGE+（CE同上）（2）DG+GED（E同上）

27、（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+。EC圖2 1在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)， 可連 接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上， 小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1 ：已知 D為 ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證： BDCBAC。分析：因?yàn)?BDC與 BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添 加輔助線構(gòu)造新的三角形，使 BDC處于在外角的位置， BAC處于在內(nèi)角的位 置；證法一：延長(zhǎng) BD交 AC于點(diǎn) E，這時(shí) BD

28、C是 EDC的外角， BDC DEC，同理 DECBAC， BDCBAC 證法二：連接 AD，并廷長(zhǎng)交 BC于 F，這時(shí) BDF是 ABD的 外角， BDFBAD，同理， CDFCAD， BDF+CDFBAD+CAD，即： BDCBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)， 通常將大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：圖3 1例如：如圖 3-1 ：已知 AD為ABC的中線，且 1= 2, 3=4,求證： BE+CFE。F分析：要證 BE+CFE，F(xiàn) 可利用三角形三邊關(guān)系定理 證明

29、，須把 BE，CF，EF 移到同一個(gè)三角形中，而由已知 1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段， 利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把 EN，F(xiàn)N，EF 移到同個(gè)三角形中。 證明：在 DN上截取 DN=D，B 連接 NE， NF，則 DN=D，C在 DBE和 NDE中：DN=D（B 輔助線作法）1=2（已知）ED=ED（公共邊） DBE NDE（SAS）BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得： CF=NF在 EFN中 EN+FNE（F三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CFE。F注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)， ?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段， 構(gòu)造全 等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素

30、。截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P為 AD上 任一點(diǎn)求證： AB-ACPB-P。C分析： 要證： AB-ACPB-P，C 想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)?欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在 AB 上截取 AN等于 AC，得 AB-AC=B，N 再連接 PN，則 PC=PN，又在 PNB中， PB-PNPB-P。C證明：（截長(zhǎng)法）在 AB上截取 AN=AC連接 PN,在 APN和 APC中AN=AC（輔助線作法）1=2（已知）AP=AP（公共邊） APN APC（ SAS）, PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)

31、邊相等）在 BPN中，有 PB-PNB（N 三角形兩邊之差小于第三邊） BP-PCPM-PC三（角形兩邊之差小于第三邊 ） AB-ACPB-P。C例 1如圖， AC平分 BAD，CEAB，且 B+ D=180，求證： AE=AD+B。E例 2 如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分BAD，CEAB于 E，AD+AB=2A，E求證： ADC+B=180oCCD例 3 已知：如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC，A=108， BD平分 ABC。求證： BC=AB+D。C例 4 如圖，已知 Rt ABC中， ACB=90，1于 M，且 AM=M。B 求證： CD=2 DB。1如圖， ABCD，AE、

32、DE分別平分 BAD各 ADE，求證： AD=AB+C。DE2.如圖， ABC中， BAC=90，AB=AC，AE是過(guò) A 的一條直線，且 B，C在 AE 的異側(cè)，BD AE于 D，CEAE于 E。求證： BD=DE+CE三、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中， 如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)， 那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì) （直角三角形斜邊中線性質(zhì)、 等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。一）中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖 1，AD是 ABC的中線，則

33、 SABD=SACD= SABC（因?yàn)?ABD與 ACD是等底同高 的）。例 1如圖 2， ABC中，AD是中線，延長(zhǎng) AD到 E，使 DE=AD， DF是 DCE的中線。已知 ABC的面積為 2，求： CDF 的面積。解：因?yàn)?AD 是 ABC的中線，所以 SACD= SABC= 2=1，又因 CD是 ACE的中線，故 SCDE=SACD=1 ，因 DF是 CDE的中線，所以 SCDF= SCDE= 1= 。 CDF的面積為 。（二）由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例 2如圖 3，在四邊形 ABCD中， AB=CD，E、 F 分別是 BC、AD的中點(diǎn)， BA、CD的延長(zhǎng) 線分別交 EF的延長(zhǎng)線

34、 G、 H。求證： BGE= CHE。證明：連結(jié) BD，并取 BD的中點(diǎn)為 M，連結(jié) ME、 MF， ME是 BCD的中位線， ME CD， MEF=CHE， MF是 ABD的中位線， MF AB， MFE=BGE， AB=CD， ME=M，F(xiàn) MEF=MFE，從而 BGE= CHE。（三）由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例 3圖 4，已知 ABC中， AB=5， AC=3，連 BC上的中線 AD=2，求 BC的長(zhǎng)。 解：延長(zhǎng) AD 到 E，使 DE=AD，則 AE=2AD=2 2=4。在 ACD和 EBD中， AD=ED， ADC= EDB， CD=BD， ACD EBD， AC=BE，從而 BE=AC

35、=3。在 ABE中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故 E=90， BD= = ，故 BC=2BD=2 。例 4如圖 5，已知 ABC中， AD是 BAC的平分線， AD又是 上的中線。求證： ABC 是等腰三角形。證明：延長(zhǎng) AD到 E，使 DE=AD。仿例 3 可證：BED CAD， 故 EB=AC， E= 2， 又 1= 2，BC 邊 1= E， AB=EB，從而 AB=AC，即 ABC是等腰三角形。四）直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5如圖 6，已知梯形 ABCD中， AB2：如圖， ABC中， E、F 分別在 AB、AC上， 是中點(diǎn)，試比較 BE+CF與 EF的大小 .3：

36、如圖，ABC中，BD=DC=A，CE 是 DC的中點(diǎn)，求證： AD平分 BAE.CCDDAEEFFDBCCBBBBDDD 圖5 2 EBBCDEA8E中考應(yīng)用（09崇文二模）以 ABC的兩邊 AB、AC為腰分別向外作等腰 Rt ABD 和等 腰 Rt ACE ， BAD CAE 90 , 連接 DE，M、N分別是 BC、DE的中點(diǎn)探究： AM與 DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng) ABC為直角三角形時(shí)，AM與 DE 的位置關(guān)系 是，線段 AM與 DE的數(shù)量關(guān)系是；2）將圖中的等腰 Rt ABD 繞點(diǎn) A 沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) （0 BA,AD CD， BD 平分ABC ，求證：A C 180

37、05:如圖在 ABC中，ABAC，12，P為 AD上任意一點(diǎn)，求證 ;AB-ACPB-PC中考應(yīng)用08 海淀一模）三）、平移變換為 ABC的角平分線，直線 MNAD于為 MN上一點(diǎn)， ABC周長(zhǎng)記為 PA， EBC周長(zhǎng)記為 PB . 求證 PB PA2：如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D、E，且BD=CE，求證： AB+ACAD+AE.四）、借助角平分線造全等分ODO，求證：OE=OD1：如圖，已知在 ABC中， B=60，ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn)2：（06 鄭州市中考題）如圖， ABC中， AD平 BAC，DGBC且平分 BC，DEAB于 E，DFACFB于 F. （1）說(shuō)明 BE

38、=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、 BE的長(zhǎng).中考應(yīng)用（06 北京中考）如圖， OP是 MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：1）如圖，在 ABC中，ACB是直角， B=60，AD、CE分別是 BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn) F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出 FE與 FD之間的數(shù)量關(guān)系；2）如圖，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 （1） 中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在 （1） 中所得結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)證明；由。F五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形 ABCD中， E為 BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為 CD上

39、的一BE+DF=EF， 求EAF的度數(shù) .點(diǎn)，2：D為等腰 Rt ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交 BC,CA于點(diǎn) E,F。BAECFA當(dāng) MDN 繞點(diǎn) D 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 DE=D。F 若 AB=2，求四邊形 DECF的面積。3. 如圖， ABC是邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形， BDC 是等腰三角形，且CBDC 1200 ，以 D為頂點(diǎn)做一個(gè) 600角，使其兩邊分別交 AB于點(diǎn) M，交 AC于點(diǎn) N，連接 MN，則 AMN 的周長(zhǎng)為中考應(yīng)用（07 佳木斯）已知四邊形 ABCD中， AB AD，BC CD， AB BC， ABC 120 ，MBN 60 ，MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的

40、兩邊分別交 AD，DC（或 它們的延長(zhǎng)線）于 E，F(xiàn) 當(dāng)MBN 繞 B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE CF 時(shí)（如圖 1），易證 AE CF EF AAEMCN圖 3 ）PFB=4, 以 ADB為一 NP、DEMAB當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE CF 時(shí)，在圖 2和圖 3這兩種情況下，上述結(jié) 論是否成立若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段 AE，CF ，EF 又有怎樣的數(shù) 量關(guān)系請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明西城C09 年F一模）已D知N 兩點(diǎn)落在直線 AB 的兩側(cè) .（1） 如圖,當(dāng)（圖 A1）PB=45時(shí),求 AB及（圖PD2）的長(zhǎng);（2） 當(dāng) APB變化,且其它條件不變時(shí) ,求 PD的最大值,及相應(yīng) APB的大小

41、.09 崇文一模）在等邊 ABC的兩邊 AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N，D 為 ABC 外一點(diǎn)，且 MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：當(dāng) M、 N 分別 在直線 AB、AC上移動(dòng)時(shí)， BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN 的周長(zhǎng) Q與等邊ABC的周長(zhǎng) L 的關(guān)系圖1 圖 2 圖3（I ）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) M、N邊 AB、AC上，且 DM=DN時(shí)， BM、NC、MN之間的數(shù)Q 量關(guān)系是 ； 此時(shí) L ；（II ）如圖 2，點(diǎn) M、N邊 AB、AC上，且當(dāng) DM DN時(shí)，猜想（ I ）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（III ） 如圖 3，當(dāng) M、 N分別在邊 AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 AN=x ，則 Q=（用 x、L表示）六 梯形的輔助線口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出 現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形 問(wèn)題的基本思路。 至于選取哪種方法， 要結(jié)合題目圖形和已知條件。 常見(jiàn)的幾種 輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化 為三角形、平行四 邊形。ADB A DB E C平移對(duì)角線。 轉(zhuǎn)化為三角形、平 行四邊形。BADECE延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。EBAD BC作高，轉(zhuǎn)化為 直角三角