同濟大學(xué)泰勒公式

1、二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 第三節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算泰勒 ( Taylor )公式 第三三章 特點:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?xx 的一次多項式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 求求 n 次近似多

2、項式次近似多項式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa

3、)()()(020201)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余項估計余項估計)()()(xpxfxRnn令(稱為余項) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)

4、0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn時的某鄰域內(nèi)當在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項拉格朗日余項 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(

5、00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當)0(之間與在xx泰勒 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項余項 .在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點nxxf0)( 式成立機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特例特例:(1) 當 n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當 n = 1 時, 泰勒公

6、式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 稱為麥克勞林（麥克勞林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nn

7、xnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由此得近似公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1

8、( n) 10(1nxxe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

9、) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n類似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用

10、1. 在近似計算中的應(yīng)用在近似計算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知例例1. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 1

11、0(由于, 30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計算可知當 n = 9 時上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.本例若每項四舍五入到小數(shù)點后 6 位,則 各項舍入誤差之和不超過,105 . 076總誤差為6105 . 076106105這時得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過.106因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .e!91!2111機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 用近似公式!21cos2xx計算 cos x 的近似值,

12、使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當588. 0 x時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到 0.005 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (

13、x1x2x!2 ) 1() 10(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx機

14、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項)(0nxxo當00 x時為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式,xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項式逼近函數(shù) , xsin例如例如 目

15、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練

16、習(xí) 計算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 泰勒泰勒 (1685 1731)英國數(shù)學(xué)家, 他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 .麥克勞林麥克勞林 (1698 1746)英國數(shù)學(xué)家, 著作有:流數(shù)論(1742)有機幾何學(xué)(1720)代數(shù)論(1742

17、)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) ., 1 ,0)(上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在設(shè)函數(shù)xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一點)(xf)(21之間與在其中x, 1,0 x由題設(shè)對證證:備用題備用題 1.321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf內(nèi)至少存在證明) 1,0(且得分別令, 1,0 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(!