第七章拉普拉斯變換及復(fù)頻域分析PPT課件

1、第七章 拉普拉斯變換及復(fù)頻域分析Chapter 7 Laplace Transform and Analysis on a Continuous-time LTI SystemsIntroduction7.1 拉普拉斯變換(Laplace Transform) 7.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換(Fourier Transform to Laplace transform) 當(dāng)信號 滿足絕對可積條件時，可以進(jìn)行以下傅里葉變換和反變換。但有些信號不能滿足絕對可積條件，不能直接進(jìn)行傅里葉變換。主要原因在于這些信號衰減太慢或者不衰減。 f t 為了克服以上困難，可和一個收斂因子 與 相乘，只要

2、值選擇合適，就能保證 滿足絕對可積條件，從而可求出 傅里葉變換，即： （7.1-1） 將上式與傅里葉變換定義式相比，可得：te f t tf t e jttj tFf t ef t eedtf t edt tFf t eFj 它的傅里葉反變換為 將上式兩邊乘以 ，則得 （7.1-2） 令 ， 12tj tf t eFjedte 12jtf tFjedsj 于是式（7.1-1）、式（7.1-2）改寫為： （7.1-3） （7.1-4） 式（7.1-3）和（7.1-4）是一對拉普拉斯變換（Laplace transform)。 stF sf t edt 12jstjf tF s e dsj 是 的

3、復(fù)頻域函數(shù)（象函數(shù)）； 反之， 是 的原函數(shù)； 可記為： 上述變換對也可用雙箭頭表示： F s f t f t F s 1F sL f tf tLF s f tF s 在實際應(yīng)用中，時間信號大多數(shù)為有始信號，即 ，則： 上式稱為 的單邊拉普拉斯變換（Unilateral Laplace Transform）。式中積分下限用 ，是考慮到其中可能包含沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)， f tf t u t 0stF sf t edt f t0 一般情況下，認(rèn)為0和 是等同的。0 7.1.2 拉普拉斯變換的收斂域(Convergence of Laplace Transform) 拉普拉斯變換的收斂特性（con

4、vergence characteristic of Laplace Transform）： 通常把使 滿足絕對可積條件的 值的范圍稱為拉氏變換的收斂域(Region of Convergence)，簡記為ROC，常用 S平面的陰影部分表示。 tf t e 存在的條件是被積函數(shù)為收斂函數(shù)，即： 故取決于s 值的選擇，也就是 值的選擇。 要求滿足條件： F s 0tf t edt lim0ttf t e s平面是一個復(fù)平面，它以 為橫軸， 為縱軸。 在s復(fù)平面上，收斂域是一個區(qū)域，客觀存在是由收斂坐標(biāo) 決定的，過 平行于虛軸的一條直線稱為收斂軸或收斂邊界。 對于有始信號 ，若滿足下列條件： 則收

5、斂條件為 ，收斂域位于收斂軸的j00 f t 0lim0ttf t e0 右邊。 對一些比指數(shù)函數(shù)增長更快的函數(shù)，例如 ，這些信號找不到它們的收斂坐標(biāo)，因而，不存在拉氏變換。但在實際工程上常見的有始有終信號其拉氏變換總是存在的。2,ttet 為了使用方便，將一些常用信號的拉氏變換對列于表7.1-1中，以備查用。 表7.1-1 常用信號的拉普拉斯變換（Typical Examples of unilateral Laplace transform） 本節(jié)例題 【例7.1-1】specify the corresponding regions of convergence of Laplace t

6、ransform of each of the following signals: （1） Solution: 即 ，收斂坐標(biāo)位于坐標(biāo)原點，收斂軸即虛軸，收斂域為s平面的右半部。 0nf ttn!limlimlim00nnttntttttnt eee00 （2） Solution: 即收斂域為 。收斂域為s平面上 的右半部。 0atf teu talimlim00atatttteeea0, aa a （3） Solution: 即對 沒有要求，全平面收斂。 f tAu tAu tlim( )0ttf te 0 【例7.1-2】Determine the Laplace transform o

7、f each of the following signals: (1)單位沖激信號 （2）單位階躍信號 t 001ststtF sLtt edse u t 00011stststF sL u tu t edsedsess （3）指數(shù)信號 （4）單邊正弦信號 由于 ateu t 001a s tatatstF sL eu teedtedtsa sin tu t1sin2j tj tteej 221111sin22j tj tF sLtu tLeeu tjjsjsjs （5）單邊衰減正弦信號 由于 sinatetu t11sin22ajtajtatatj tj teteeeeejj 221sin

8、21112ajtajtatF sL etu tL eeu tjj sajsajsa (6) （n為正整數(shù)）依此類推，可得： nt u t 110000nnnststnstnsttnnF sL t u tt edtetedttedtsss 1nnnL t u tL tu ts 121112 1 1!nnnnnn nn nnL t u tL tu tL tu tssssss s ss (7) （n為正整數(shù)） 即：依此類推，可得： ,0natt eu ta ()()1()10000nnatns a ts a tns a tnsttnnF sL t eu tt edtetedttedtsasasa 1

9、natnatnL t eu tL teu tsa 1!()natnnL t eu tsa 7.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)(Properties of Laplace transform of a signal) 拉氏變換建立了信號在時域和復(fù)頻域之間的對應(yīng)關(guān)系，故變換本身的一些性質(zhì)反映了信號的時域特性和復(fù)頻域特性的關(guān)系。掌握這些性質(zhì)不但為求解一些較復(fù)雜信號的拉氏變換帶來方便，而且有助于求解拉氏反變換。這些性質(zhì)與傅里葉變換的性質(zhì)在很多情況下是相似的。 （1）線性性質(zhì)(Linearity) 若有 則： 其中， 和 為任意常數(shù)，收斂域為兩函數(shù)收斂域之重疊部分。 111ftF s 222fsFs 1 122

10、112212a fta fta F sa Fs1a2a 證明： 線性性質(zhì)表明，如果一個信號能分解為若干個基本信號之和，那么該信號的拉氏變換可以通過各個基本信號的拉氏變換相加而獲得，反之亦然。 1 1221 12211220001122stststL a fta fta fta ftedtaft edtaft edta F sa Fs (2) 時移（延時）特性(Time shifting) 若有 則 0f tF s 000000stf ttu ttF s et 證明： 令 ，則 上式改寫為： 0000000ststtL f ttu ttf ttu ttedtf ttedt0ttx0,txt dx

11、dt 0000000s x tststsxL f ttu ttf x edxef x edxeF s 在使用這一性質(zhì)時，要注意區(qū)分下列不同的四個時間函數(shù)：0f tt 0f ttu t 0f t u tt 00f ttu tt (3) 尺度變換特性(Time scaling transform) 若有 則 0f tF s010sf atFaaaa 證明： 令 則： 這里 是有始信號。0stL f atf at edt,xa t d xa d t 00111ssxxaasL f atf x edxf x edxFaaaa f t 如果信號函數(shù)既時移又變換時間尺度， 則 00001stasf att

12、u attFeaa （4）頻移特性(Frequency shifting) 若有 則 0f tF s 0000000s tf t eF ssasaj 證明： 此性質(zhì)表明：時間函數(shù)乘以 ，其變換式在 s域內(nèi)移動 ，式中 可為實數(shù)或復(fù)數(shù)。 000000s sts ts tstL f t ef t eedtf t edtF ss 0s te0s0s （5） 時域微分定理(Differentiation in Time) 若有 且 存在，則： 這里， 是表示函數(shù) 。 0f tF s df tdt 0df tsF sfdt(0 )f0( )|tf t 證明：由拉氏變換定義 因為 是指數(shù)階信號，在收斂域內(nèi)

13、有： 所以 000stststdf tdf tLedtf t esf t edtdtdt f t lim0sttf t e 0df tLsF sfdt 由此可以推導(dǎo)得出 1120 00nnnnnnd f ts F ssfsffdt （6） 時域積分定理(Integral in time) 若有 則 其中 是 積分的初始值。 0f tF s 110tF sf x dxfss 010ff t dt f t 證明：因為 所以 其中右端第一項積分為常數(shù)，即 00ttf x dxf x dxf x dx 00ttLf x dxLf x dxLf x dx 0110Lf x dxfs 第二項積分由分部積分

14、公式可得 所以 000000110sttttststeLf x dxf x dx edtf x dxf t edtssF ss 110tF sLf x dxfss 同理可推證 1110nntnmnn mmF sftf x dxfss （7）S域微分定理(Differentiation in S) 若有 則 0f tF s dF stf tds 證明： 根據(jù)定義， 同理可推出 000stststdF sddf t ef tedttf tedtLtf tdsdsds 0nnnstnd F stf t edtLtf tds nnnd F stf tds （8）S域積分定理(Integral in S

15、) 若有 則 0f tF s 11sf tF s dst 證明： 1111110001s ts tsssstF s dsf t edt dsf tedsdtf tf tedtLtt （9） 時域卷積定理（Convolution in time) 若有 則 111ftF s 222ftFs 1212ftftF sFs12 證明： 因為 時， 令 則 121200stL ftftfftdedt 0,tt20ft,tx dxdt 12121200ssxL ftftfedfx edxF sFs （10）S域卷積定理（Convolution in S) 若有 則 證明 ，同上（略） 111ftF s 2

16、22ftFs 121*2F sFsj12( )( )f tf t12 （11）初值定理(Initial value relation) 若有 且 連續(xù)可導(dǎo)和 存在 則 0f tF s f t limssF s 00limlimstff tsF s 證明： 由時域微分定理可知 因為在區(qū)間 ， 00000stststdf tdf tdf tsF sfedtedtedtdtdtdt0 ,000 ,1sttte 所以， 對上式兩邊令 ，取極限有： 0000000ststdf tdf tsF sff tedtffedtdtdts 0limsfsF s （12）終值定理（Final value relat

17、ion） 若有 且 存在， 則 0f tF s limtf t 0limlimtsff tsF s 證明： 仍利用時域微分性質(zhì) 上式兩邊取S趨于零的極限，此時 00stdf tdf tLedtsF sfdtdt01stse 000limlim0stssdf tedtsF sfdt 因為 于是 即 0000limlimlim0stsstdf tdf tedtdtf tfdtdt 0lim0lim0tsf tfsF sf 0limlimtsff tsF s 現(xiàn)將拉氏變換的一些性質(zhì)列于表7.2-1。這些性質(zhì)在計算拉氏變換及其反變換中有很好的用處。 表7.2-1 拉普拉氏變換的性質(zhì)及定理（Proper

18、ties of Laplace transform ） 本節(jié)例題 【例7.2-1】Determine the Laplace transform of each of the following signals: （1） Solution： 而 則0cos( )tU t0001cos()2jtjttee00112jtej sj00112jtej sj 0220cosstu ts （2） Solution： 根據(jù) 又因 ，則( )u t( )( )du ttdt( )1t 0df tsF sfdt(0 )0f1( )u ts （3） ，其中 Solution： 因 ，又 則0( )(2 )cos

19、y tftt 2tf teu t1( )2f ts111(2 )2/ 224ftss 0001cos2f ttF sF s00111( )244Y sss （4） Solution： 根據(jù) 則有( )( )u tu t 1212ftftF sFs( )( )u tu t21s （5） Solution： 因 故 （ n為正整數(shù)）。 natt eu t1( )ateu tsa nnnd F stf tds 1()( 1) ()( )( 1)nnatnnatnndsst eu tteu tds natt e u t1!()nnsa(0)a （6） Solution： 因為 由此可得： sinty

20、tu tt 21sin1tu ts 1121sin1arctanarctanarctan(1/ )12sstLu tdssssts 【例7.2-2】Determine the Laplace transform of each of the following periodic signals: （1） Solution： 根據(jù) 故：0( ) ( )()Tkt u ttkT( )1t00( )stf ttF s e0( ) ( )()Tkt u ttkT011sTsTkee (2) 例2 圖所示周期函數(shù) Solution：該周期信號可寫作 其中 為單個矩形脈沖，其拉氏變換為 ： 00nftft

21、nT u tnT 0ftu tu t 001seFsL ftL u tL u ts 利用時移特性則得周期矩形脈沖序列的拉氏變換為 ： 0001111nssTsTF sL ftLftnT u tnTeFsese7.3 拉氏反變換（Inverse Laplace transform） 下面介紹對實用中常遇到的求拉氏反變換的幾種一般性方法。 7.3.1 查表法逆變換(Inverse Laplace transform by table) 如果是一些比較簡單的函數(shù)，可利用常見信號的拉氏變換, 查出對應(yīng)的原函數(shù)信號，或者借助拉氏變換若干性質(zhì)，配合查表，求出原時間信號。 7.3.2 部分分式展開法（海維塞

22、展開法）(partial-fraction expansion) 對線性系統(tǒng)而言，響應(yīng)的象函數(shù) 常具有有理分式(a rational fraction function)的形式，它可以表示為兩個實系數(shù)的 s的多項式之比，即 F s 11101110mmmmnnnnN sb sbsb sbF sD sa sasa sa 式中， 和 均為實系數(shù)(real coefficients)，n和 m為正整數(shù)(a plus integer)，多項式 稱為系統(tǒng)的特征多項式(eigen polynomial)， 稱為特征方程(eigen equation)，它的根稱為特征根（root of eigen equa

23、tion）（系統(tǒng)的固有頻率或自然頻率）。110,nna aa a110,mmbbb b D s 0D s 對此形式的象函數(shù)可以用部分分式展開法（或稱分解定理）將其表示為許多簡單分式之和的形式，而這些簡單項的反變換都可以在拉氏變質(zhì)表中找到。部分分式展開法簡單易行。 在上式展開成部分分式之前,需要用長除法將其分成多項式與真分式之和， 即 令 由于多項式 的拉氏反變換是沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，它們可直接求得，所以只需要確定 反變換就可以。 01m nm nN sQ sF sBB sBsD sD s 01m nm nB sBB sBs B s Q sD s (1) 的所有根均為單實根 若 的n個單實根分

24、別為 可以展開成下列簡單的部分分式之和（partial-fraction expansion） 0D s 0D s 12,ns ss 1212nnN sKKKF sD sssssss 式中的 為待定系數(shù)（to determine coefficients）。這些系數(shù)可以按下述方法確定：即 根據(jù)性質(zhì)，可得時域函數(shù)為12,nK KK 1,2,iiis sN sKssinD s 1ins tiif tK e u t (2) 的根具有共軛復(fù)根（conjugate complex root）且無重復(fù)根。 假設(shè)其共軛復(fù)根為： 和 則其展開式將含有如下兩項 0D s 1sj2sj12KKsjsj 對應(yīng)的反變

25、換為111112121112cosjtjtjtjtjjjtjtttK eK eK eeK eeK eeeK et （3） 的根含有重根（same real roots）。 若只有一個p 重根 ，則 按下式形式展開： 0D s 1s F s 11111121112111111pppnnpppnnN sF sD sKKKKKKKssssssssssssss 求重根項的部分分式系數(shù)的一般公式為 當(dāng)全部系數(shù)確定后， 則得 1111!p ipip is sN sdKsspidsD s 11111112121111 !2 !1!inpps ts tppii pN sLF sLD sKKKtttKeK ep

26、p 7.3.3 圍線積分法（留數(shù)法）（contour integration） 圍線積分法就是直接根據(jù)拉氏反變換的定義，計算下面的積分式 12jstjf tF s e dsj 這是復(fù)變函數(shù)積分問題。根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論可知，這里被積函數(shù)是復(fù)函數(shù)，其積分是在收斂區(qū)內(nèi)平行于虛軸的直線 且 進(jìn)行的。j 下面給出留數(shù)法求拉氏反變換的公式： 1. 為有理真分式，且有n 個單根時: N sF sD s 11Re;innststiiiis sf ts F s esssF s e 2. 為n 除有理真分式，且有 p階重根 階單根時 N sF sD snp 11111lim1 !ipnpststipssi n ps

27、 sN sdf tssessF s epD sds 本節(jié)例題 【例7.3-1】已知 ，求原函數(shù) 。 解：（1） 因 令 ，而1( )lnsF ss f t111111()ln1ssdssss111( )1F sss111( )1F sss(1) ( )te u t 根據(jù) ，可得 11sf tF s dst111111()ln1ssdssss1(1) ( )te u tt 【例7.3-2】Determine each of the following signals based on inverse Laplace transform: （1） Solution：由常見信號的拉氏變換可知 222

28、222sF ss 2222cos222tsetu ts 所以 122cos2tf tLF stetu t （2） Solution：利用配方法 由常見信號的拉氏變換可得 225sF sss 2222222112252121212sssF ssssss 1cos2sin2( )2tf tett U t （3） Solution： 進(jìn)行部分分式展開 2231sF ss ss 3121142131KKKKF sssss 得： 212112111132334200211322313421312122313sssssssssKsF sssddsKsF sdsdssssKsF ssssKsF sss 所以

29、 故其原函數(shù) 21131112 124112331F sssss 3131224123tttf tteeeu t 7.4 復(fù)頻域分析(analysis on complex domain) 7.4.1 微分方程的變換解(Solution of a n order linear constant coefficient differential equation by Laplace transform) 一般而言，如果單輸入-單輸出線性非時變系統(tǒng)(a single input-output continuous-time LTI system) 的激勵為 ，其全響應(yīng)為 。( )f t( )y

30、t 則描述線性非時變系統(tǒng)的激勵與響 應(yīng)之間關(guān)系的是n 階常系數(shù)線性微分方程，它可寫為： 式中 和 都是常數(shù)。( )1(1)110()(1)(1)110( )( ).( )( )( )( ).( )( )nnnmmmmytayta yta y tb ftbftb ftb f t110,.,naa a110,.,mmbbb b 利用拉普拉斯變換分析線性時不變系統(tǒng)，求解 n階常系數(shù)線性微分方程的步驟如下(The procedure to solve a n order linear constant coefficient differential equation based on Laplace

31、 transform)： （1）對于給定的 n個初始條件(initial condition) 一個n 階線性微分方程，進(jìn)行拉普拉斯變換，得(1)(0), (0), (0),.,(0)nyyyy11110110() ( )( )() ( )nnmmnmmsasa sa Y sM sb sbsb sb F s （2）得到式中， 其中 是與各初始狀態(tài) 有關(guān)的 s多項式。1110( )nnnA ssasa sa1110( )mmmmB sb sbsb sb111 1( )( )( ).( )nnnM sP saPsa P s(1)(0), (0), (0),.,(0)nyyyy( )( )( )(

32、)( )( )M sB sY sF sA sA s 令 則：( )( )( )XM sYsA s( )( )( )( )fB sYsF sA s( )( )( )XfY sYsYs （3）將 求拉普拉斯反變換 ： 就得到系統(tǒng)的全響應(yīng)( )( )( )( )( )( )M sB sY sF sA sA s11( )( )( )( )XXM sytLYsLA s11( )( )( )( )( )ffB sytLYsLF sA s( )( )( )Xfy tytyt 7.4.2 系統(tǒng)函數(shù)(system transmission function) 實際上，在分析具體網(wǎng)絡(luò)時，列寫微分方程的基本依據(jù)是：

33、根據(jù)元件端口電流與電壓的關(guān)系以及互感、理想變壓器等初、次級電流及電壓的關(guān)系等。利用基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）列寫方程式，對其進(jìn)行拉氏變換，再通過拉氏反變換可求出系統(tǒng)響應(yīng)。 如果對其網(wǎng)絡(luò)元件的輸入與輸出關(guān)系進(jìn)行拉氏變換，稱為網(wǎng)絡(luò)元件的 s域模型。 一般模擬系統(tǒng)元件的 s域模型(s model of circuit elements)如下： 1 電阻(resistor) 2 電容(capacitor) 或( )( )U sRI s(0)1( )( )cuU sI sscs( )( )(0)cI sscU scu 3自感(inductor) 或 若將網(wǎng)絡(luò)中已知電壓源、電流

34、源都變換為其象函數(shù)，未知電壓、電流也用其象函數(shù)表示，基爾霍夫定律的 s域形式也成立。( )( )(0)LU ssLI sLi(0)1( )( )LiI sU ssLs 若各網(wǎng)絡(luò)元件都用其 s域模型代替，（初始狀態(tài)變換為相應(yīng)的內(nèi)部象電壓源），則可作出原網(wǎng)絡(luò)的s 域模型。 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與激勵的象函數(shù)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)（system transmission function），用 表示。即： 和 都是有理多項式(rational polynomials)，其中系數(shù) 都是實常數(shù)。( )H s11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsb sbB sH sA ssasa sa(

35、)A s( )B s(0,1,2, ),ia in(0,1, 2,)jbjm 稱為微分方程式的特征多項式，方程 稱為特征方程，它的根稱為特征根。其中根 稱為系統(tǒng)函數(shù) 的極點(a pole)； 的根 稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點(a zero point)。( )A s( )0A s 12,np pp( )H s( )0B s 12,m 我們知道，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯逆變換。 因此，沖激響應(yīng)各分量的函數(shù)形式只決定 極點，其幅度和相角將由極點和零點共同確定。 由此可見，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)將完全決定于 零點和極點在s平面的分布狀況。 在左半開平面的極點對應(yīng)于沖激響應(yīng)的暫態(tài)分量，當(dāng)t趨近于無限大時，它

36、們趨近于零； 負(fù)實軸上的一階極點 對應(yīng)于指數(shù)衰減函數(shù) ； 一對共軛一階極點 對應(yīng)于衰減振蕩 ；( )H ste()jsin()tet 在虛軸上的一階極點對應(yīng)于沖激響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，當(dāng)t趨近于無限大時， 為有限值； 原點處的一階極點對應(yīng)于階躍函數(shù) ； 一對虛軸上的共軛極點 對應(yīng)于等幅振蕩 ；( )H s( )h t( )U t()jsin()t 在虛軸上的二階及二階以上極點或在右半開平面的極點所對應(yīng)的 都隨時間的增長而增大，當(dāng)t趨近于無限大時，它們都趨于無限大。( )H s( )ih t 如果 極點都在左半開平面，那么， 在虛軸上也收斂，系統(tǒng)的頻率特性(frequency response of

37、system)：( )H s11()()( )()mmjjsjniibjH jH sjp 對于任意極點 和零點 ，令 式中 分別是差矢量 和 的模， 是它們的幅角。上式可以寫為：ipjijjiijjjjpAejB e,ijA B()ijp()jj,j 1212()12()12()mnjmmjnb B BB eH jA AA e()( )jHe 其中 稱為幅頻特性(magnitude-frequency property) 稱為相頻特性(phase-frequency property)( )H1212( )mmnb B BBHA AA( ) 1212( )()()mn 7.4.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性（

38、stability of a continuous-time LTI system） 對于連續(xù)時間系統(tǒng)而言，一個系統(tǒng)，如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)（a stable system）。 因為如果輸入有界，零狀態(tài)響應(yīng)有界，就等效于 中的分量隨t 的增長而減小(exponential decay)或幅度不隨時間變化，由 的極點位置與沖激響應(yīng)的關(guān)系可知，因果系統(tǒng)是穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)函數(shù)的極點都在左半開平面(the left half plant)。( )h t( )H s 系統(tǒng)函數(shù)的極點是由多項式 的所有的根來確定的。 所有的根都在左半平面的多項式稱為霍爾維茲多項

39、式(a Routh- polynomial)。1110( )0nnnnA sa sasa sa 判斷多項式是否為霍爾維茲多項式的方法霍爾維茲行列式法(Routh determinant)： 將多項式 分為 和 兩部分。 取式中s的所有奇次冪項，而偶次冪項屬于1110( )nnnnA sa sasa sa( )M s( )N s( )M s( )N s （1）將給定 的各系數(shù)組成下行列式( )A s135241352413212000000000000000000000000nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 行列式的第1行是 的系數(shù)，第2行是 的系數(shù)。 第3

40、、4行與1、2行相同，但右移一列。 第5、6行也與第1、2行相同，但右移兩列。 依此類推，所有的空白的位置補(bǔ)上0。這樣可排成一個 的行列式。( )N s( )M snn 表示從 中去掉最后一行和最后一列組成的子行列式， 表示以 中去掉最后一行、一列組成的子行列式。這樣就有n個行列式。它們可統(tǒng)稱為霍爾維茲行列式。1nnn k1n k （2）霍爾維茲準(zhǔn)則指出：當(dāng)且僅當(dāng)所有的霍爾維茲行列式 ， 才是霍爾維茲多項式，即： . 0(1,2, )iin ( )A s10na1320nnnnaaaa135241300nnnnnnnnaaaaaaaa0n 7.4.4利用系統(tǒng)傳遞函數(shù)實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)框圖(a b

41、lock diagram representations for causal LTI systems on system transmission functions) 利用系統(tǒng)傳遞函數(shù) 實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)框圖，根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程寫出該系統(tǒng)函數(shù)，再將 化為 次冪的多項式：( )H s( )H s1s 即 用基本運(yùn)算單元符號，將 代替時域系統(tǒng)中的積分器，就可以畫出系統(tǒng)的直接基本結(jié)構(gòu)框圖實現(xiàn)框圖( block diagram representation)。 對于一般的連續(xù)系統(tǒng), 11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsb sbB sH sA ssasa sa()(1)(1)

42、1101(1)1101n mn mnnmmnnnb sbsb sb sasa sa s 1s 則其系統(tǒng)模擬圖如圖。 系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)框圖實現(xiàn)(series connection)： 也可以把系統(tǒng)分成兩個部分的乘積： 其中 12( )( )( )H sH s Hs1( )H s111nkn kkas 和 則把系統(tǒng)看作兩個子濾波器 （全極點網(wǎng)絡(luò)）(a all pole network) 和 全零點網(wǎng)絡(luò)）(a all zero point network)的級聯(lián)。 2( )Hs()0mn kkkb s1( )H s2( )Hs 系統(tǒng)并聯(lián)結(jié)構(gòu)框圖實現(xiàn)：濾波器系統(tǒng)也可以把系統(tǒng)函數(shù)分成幾個部分的相加實現(xiàn)： 這

43、意味著輸入 通過 k 個子濾波器后，在輸出端把它們累加起來就可得輸出 。 這種實現(xiàn)方法稱為濾波器并聯(lián)形式(parallel connection)實現(xiàn)。12( )( )( )H sH sHs x t y t 并聯(lián)形式實現(xiàn)的系統(tǒng)其方框圖如下圖所示。 本節(jié)例題 【例7.4-1】A causal LTI system S Related through a linear constant-coefficient differential equation of the form with initial condition To find the response of this system. (

44、2)(1)( )3( )2 ( )( )tytyty te u t(1)(0)(0)0yy Solution:對以上微分方程取 L 變換，令 得 可見，經(jīng)過 L 變換后，微分方程變換為代數(shù)方程。由上式可解得1 ( )( ), ( )( )1L y tY s L f tF ss21( )3( )2 ( )1Y ssY sY sss221111( )(2)(1)21(1)Y ssssss 取上式的逆變換，得：2( )() ( )tttfyteeteu t 【例7.4-2】 若描述某線性非時變系統(tǒng)的微分方程組為 其中 ， ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。112202201201ssuxxixx( )( )su tu t( )( )si tt 解: 對以上微分方程組取 L 變換，令 得 可解出11221( )( ), ( )( ), ( ), ( )1L x tX s L x tXs L u tLts11221( )( )0220( )( )12011sX sX sssXsXs 和1224224( )(22)22sX ss sssss2222212( )(22)22sXs